2019年天津市和平区第一学期九年级结课质量调查数学试卷

这是一份2019年天津市和平区第一学期九年级结课质量调查数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. sin45∘ 的值等于
A. 12B. 22C. 32D. 1

2. 如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是 ( )
A. B.
C. D.

3. 图中所示几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

4. 如图，把一个圆形转盘按 1:2:3:4 的比例分成A，B，C，D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为
A. 35B. 25C. 15D. 110

5. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛．设比赛组织者应邀请 x 个队参赛，则 x 满足的关系式为
A. 12xx+1=28B. 12xx−1=28
C. xx+1=28D. xx−1=28

6. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果 △ABC 的周长是 16，面积是 12，那么 △DEF 的周长、面积依次为
A. 8，3B. 8，6C. 4，3D. 4，6

7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，则 EF:FC 等于
A. 3:2B. 3:1C. 1:1D. 1:2

8. 若一个正六边形的边心距为 23，则该正六边形的周长为
A. 243B. 24C. 123D. 4

9. 如图，⊙O 中 AC 为直径，MA，MB 分别切 ⊙O 于点 A，B，∠BAC=25∘，则 ∠AMB 的大小为
A. 25∘B. 30∘C. 45∘D. 50∘

10. 如图，正比例函数 y1=k1x 和反比例函数 y2=k2x 的图象交于 A−1,2，B1,−2 两点，若 y1A. x<−1 或 x>1B. x<−1 或 0C. −11

11. 在等边 △ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD，将 △BCD 绕点 B 逆时针旋转 60∘，得到 △BAE，连接 ED，若 BC=5，BD=4，有下列结论：
① AE∥BC；
② ∠ADE=∠BDC；
③ △BDE 是等边三角形；
④ △ADE 的周长是 9．
其中，正确结论的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

12. 已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴为 x=−1，与 x 轴的一个交点在 −3,0 和 −2,0 之间，其部分图象如图所示，则下列结论：
① 若点 −72,y1，−32,y2，54,y3 是该抛物线上的点，则 y1 ②3b+2c<0；
③tat+b≤a−b（t 为任意实数），
其中正确结论的个数是
A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 已知反比例函数的图象经过点 A 、点 B，点 A 的坐标为 1,3，点 B 的纵坐标为 1，则点 B 的横坐标为 ．

14. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABʹCʹDʹ 的位置，旋转角为 α0∘<α<90∘．若 ∠BADʹ=70∘，则 α= ．

15. “石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏．游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率 P= ．

16. 与直线 y=2x 平行的直线可以是 （写出一个即可）．

17. 如图，点 D，E，F 分别在正三角形 ABC 的三边上，且 △DEF 也是正三角形．若 △ABC 的边长为 a，△DEF 的边长为 b，则 △AEF 的内切圆半径为 ．

18. 如图，在 △ABC 中，BA=BC=4，∠A=30∘，D 是 AC 上一动点，
（Ⅰ）AC 的长 = ；
（Ⅱ）BD+12DC 的最小值是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. （1）解方程：x2x−5=4x−10．
（2）已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x+2k−4=0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围．

20. 已知抛物线 y=x2+bx+c 过点 0,0，1,3, 求抛物线的解析式，并求出抛物线的顶点坐标．

21. 已知 AB 为 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，在 CD 的延长线上取一点 P，PG 与 ⊙O 相切于点 G，连接 AG 交 CD 于点 F．
（1）如图 ①，若 ∠A=20∘，求 ∠GFP 和 ∠AGP 的大小；
（2）如图 ②，若 E 为半径 OA 的中点，DG∥AB，且 OA=23，求 PF 的长．

22. 如图，从一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的俯角为 α，且 tanα=23，无人机的飞行高度 AH=5003 米，桥的长度 PQ 为 1255 米．
（1）求点 H 到桥左端点 P 的距离；
（2）若从无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30∘，求这架无人机的长度 AB．

23. 某学校计划组织全校 1441 名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共 62 辆A，B两种型号客车作为交通工具．如表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数．设学校租用A型号客车 x 辆，租车总费用为 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数解析式，请直接写出 x 的取值范围．
（2）若要使租车总费用不超过 21940 元，一共有几种租车方案?哪种租车方案总费用最省?最省的总费用是多少?

24. 如图，四边形 AOBC 是正方形，点 C 的坐标是 42,0．
（1）正方形 AOBC 的边长为 ，点 A 的坐标是 ；
（2）将正方形 AOBC 绕点 O 顺时针旋转 45∘，点 A，B，C 旋转后的对应点为 Aʹ，Bʹ，Cʹ，求点 Aʹ 的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；
（3）动点 P 从点 O 出发，沿折线 OACB 方向以 1 个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点 Q 从点 O 出发，沿折线 OBCA 方向以 2 个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为 t 秒，当它们相遇时同时停止运动，当 △OPQ 为等腰三角形时，求出 t 的值（直接写出结果即可）．

25. 已知二次函数 y=ax2−2ax+3 的最大值为 4，且该抛物线与 y 轴的交点为 C，顶点为 D．
（1）求该二次函数的解析式及点 C，D 的坐标；
（2）点 Pt,0 是 x 轴上的动点，
（i）求 ∣PC−PD∣ 的最大值及对应的点 P 的坐标；
（ii）设 Q0,2t 是 y 轴上的动点，若线段 PQ 与函数 y=a∣x∣2−2a∣x∣+3 的图象只有一个公共点，求 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. D
4. C
5. B
6. A【解析】∵ 在 △ABC 和 △DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，
∴ABDE=ACDF=2，
又 ∵∠A=∠D，
∴△ABC∽△DEF，且 △ABC 和 △DEF 的相似比为 2:1，
∵ 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，且 △ABC 的周长是 16，面积是 12，
∴△DEF 的周长为 16÷2=8，面积为 12÷4=3．
7. D【解析】∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠ECB，∠EDB=∠FBC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DEBC=EFCF，
∵ 点 E 是边 AD 的中点，
∴AE=DE=12AD=12BC，
∴EFFC=12．
8. B【解析】如图，过 O 作 OG⊥AB 于点 G，
∵OA=OB，
∴AB=2AG，
在 Rt△AOG 中，OG=23，∠AOG=30∘，
∴AG=OGtan30∘=23×33=2，
∴AB=2AG=4，
故这个正六边形的周长 =4×6=24．
9. D【解析】解法一：∵MA 切 ⊙O 于点 A，
∴∠MAC=90∘，又 ∠BAC=25∘，
∴∠MAB=∠MAC−∠BAC=65∘，
∵MA，MB 分别切 ⊙O 于点 A，B，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA=65∘，
∴∠M=180∘−∠MAB+∠MBA=50∘；
解法二：连接 OB，
∵MA，MB 切 ⊙O 于 A，B，
∴∠MBO=∠MAO=90∘，
∵∠BAC=25∘，OA=OB，
∴∠AOB=180∘−2∠BAC=130∘，
∴∠M=360∘−90∘−90∘−130∘=50∘．
10. D
【解析】根据图象找出直线在双曲线下方的 x 的取值范围：由图象可得，−11 时，y111. C【解析】∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60∘，AC=BC=5，
∵△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60∘，得到 △BAE，
∴∠BAE=∠C=60∘，AE=CD，
∴∠BAE=∠ABC，
∴AE∥BC，
∴ ①正确；
∵△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60∘，得到 △BAE，
∴∠DBE=60∘，BD=BE=4，
∴△BDE 为等边三角形，
∴ ③正确；
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD>60∘，∠ADE+∠BDC=180∘−∠BDE=120∘，
∴∠ADE<∠BDC，
∴ ②一定不正确；
∵AE=CD，DE=BD=4，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+CD+DB=AC+BD=5+4=9,
∴ ④正确．
12. C【解析】①∵ 抛物线的对称轴为 x=−1，点 54,y3 在抛物线上，
∴−134,y3 在抛物线上，
∵−72<−134<−32，且抛物线对称轴左边图象 y 值随 x 的增大而增大，
∴y1 ∴① 错误；
②∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴为 x=−1，
∴−b2a=−1，
∴2a=b，
∴a=12b，
∵ 当 x=−3 时，y=9a−3b+c<0，
∴9×12b−3b+c=32b+c<0，
∴3b+2c<0，
∴② 正确；
③∵ 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的对称轴为 x=−1，开口向下，
∴ 当 x=−1，y最大=a−b+c，
∵ 当 x=t 时，y=at2+bt+c，且 t 为任意实数，
∴at2+bt+c≤a−b+c，
∴at2+bt≤a−b，
∴③ 正确．
第二部分
13. 3
14. 20∘
15. 13
16. y=2x+1（答案不唯一）
17. 36a−b
【解析】如图，
∵△ABC，△DEF 都为正三角形，
∴AB=BC=CA，EF=FD=DE，∠BAC=∠B=∠C=∠FED=∠EFD=∠EDF=60∘，
∴∠1+∠2=∠2+∠3=120∘，∠1=∠3，
∵ 在 △AEF 和 △CFD 中，∠BAC=∠C,∠1=∠3,EF=FD,
∴△AEF≌△CFDAAS，
同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE，
∴BE=AF，即 AE+AF=AE+BE=a，
设 M 是 △AEF 的内心，过点 M 作 MH⊥AE 于 H，作 MJ⊥EF 于 J，作 MK⊥AF 于 K，
则根据切线长定理可得：AH=AK，EH=EJ，KF=JF，
∴AH=AE−EH=AE−EF+FJ=AE−EF+AF−AK=12AE+AF−EF=12a−b，
∵MA 平分 ∠BAC，
∴∠HAM=30∘，
∴HM=AH⋅tan30∘=12a−b⋅33=36a−b．
18. 43，23
【解析】（Ⅰ）过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，
∵ BA=BC=4，
∴ AC=2AE，
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90∘，∠A=30∘，
∴ AE=ABcs30∘=4×32=23，BE=12AB=2，
∴ AC=43；
（Ⅱ）过点 B 作 BE⊥AC 于点 E，延长 BE 到 M 使 BE=ME，过 M 点作 MN⊥BC 于 N，交 AC 于点 F，连接 FB，则当 D 点与 F 点重合时，DN=12DC，BD+12DC 最小，最小值即为 MN 的长度．
∵ MN⊥BC，
∴ ∠CNF=90∘，
∵ ∠A=30∘，
∴ FN=12CF，
当 D 点运动到与 F 点重合时，BD+12DC=BD+DN，
∵ BE⊥AC，BE=ME，
∴ BD=MD，
∴ BD+DN=MD+DN=MN，
∵ BE⊥AC，∠A=30∘，
∴ ∠CBM=60∘，∵ BM=2BE=4，
在 Rt△BMN 中，MN=BMsin60∘=4×32=23，
∴ BD+12DC 的最小值为 23．
第三部分
19. （1）
x2x−5=22x−5,∴x2x−5−22x−5=0,∴2x−5x−2=0,∴2x−5=0或x−2=0,∴x1=52,x2=2.
（2） Δ=4−42k−4=20−8k．
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，即 20−8k>0，
∴k<52．
20. 由已知抛物线 y=x2+bx+c 过点 0,0，1,3，
得 c=0,1+b+c=3,
解这个方程组，得 b=2,c=0,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2+2x，
∵y=x2+2x+1−1=x+12−1，
∴ 该抛物线的顶点坐标为 −1,−1．
21. （1） 连接 OG，
∵CD⊥AB 于点 E，
∴∠AEF=90∘，
∵∠A=20∘，
∴∠EFA=90∘−∠A=90∘−20∘=70∘，
∴∠GFP=∠EFA=70∘，
∵OA=OG，
∴∠OGA=∠A=20∘，
∵PG 与 ⊙O 相切于点 G，
∴∠OGP=90∘，
∴∠AGP=∠OGP−∠OGA=90∘−20∘=70∘．
（2） 连接 CG，
∵CD⊥AB 于点 E，
∴∠BEC=90∘，
∵DG∥AB，
∴∠GDC=∠BEC=90∘，
∴CG 为 ⊙O 的直径，
∵E 为半径 OA 的中点，
∴OE=12OA=12OC，
在 Rt△OCE 中，sinC=OEOC=12，
∴∠C=30∘，
∵PG 与 ⊙O 相切于点 G，CG 为 ⊙O 的直径，
∴∠CGP=90∘，
在 Rt△CGP 中，tanC=PGCG，
∴PG=CG⋅tanC=2OA⋅tan30∘=2×23×33=4，
∵∠CGP=90∘，
∴∠CGA+∠PGF=90∘，
∵∠AEF=90∘，
∴∠A+∠AFE=90∘，
∵OA=OG，
∴∠A=∠CGA，
∴∠PGF=∠AFE，
∵∠PFG=∠AFE，
∴∠PGF=∠PFG，
∴PF=PG=4．
22. （1） ∵AB∥HP，
∴∠APH=∠BAP=α，
在 Rt△AHP 中，tan∠APH=AHHP，
∴HP=AHtan∠APH=AHtanα=500323=250（米）．
答：点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米．
（2） 过点 B 作 BC⊥HQ 于点 C，
∵∠BAH=∠AHC=∠HCB=90∘，
∴ 四边形 AHCB 是矩形，
∴AB=HC，BC=AH=5003，
∵AB∥HP，
∴∠BQH=∠DBQ=30∘，
在 Rt△BCQ 中，tan∠BQH=BCCQ，
∴CQ=BCtan∠BQH=BCtan30∘=500333=1500（米），
可得 CP=CQ−PQ=1500−1255=245（米），
∴AB=HC=HP−CP=250−245=5（米）．
答：这架无人机的长度 AB 为 5 米．
23. （1） y=380x+28062−x=100x+17360（20.1≤x≤62，且 x 为整数）．
（2） 100x+17360≤21940，解得 x≤45.8，
∴20.1≤x≤45.8，
∵x 取整数，
∴ 共有 25 种方案，
在 y=100x+17360 中，
∵100>0，
∴y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=21 时，总费用最省，此时 y=100×21+17360=19460（元）．
答：共有 25 种租车方案，当A型号租 21 辆，B型号租 41 辆时，总费用最省，最省的总费用是 19460 元．
24. （1） 4；22,22
【解析】连接 AB，与 OC 交于点 D，
由四边形 AOBC 为正方形，得 AD=OD=12OC=22，
∴ 点 A 的坐标为 22,22，OA=OC⋅sin45∘=42⋅22=4．
（2） 如图，
∵ 四边形 AOBC 是正方形，
∴∠AOB=90∘，∠AOC=45∘，
∵ 将正方形 AOBC 绕点 O 顺时针旋转 45∘，
∴ 点 Aʹ 落在 x 轴上，
∴OAʹ=OA=4，
∴ 点 Aʹ 的坐标为 4,0，
∵OC=42，
∴AʹC=OC−OAʹ=42−4，
∵ 四边形 OACB，OAʹCʹBʹ 是正方形，
∴∠OAʹCʹ=90∘，∠ACB=90∘，
∴∠CAʹE=90∘，∠OCB=45∘，
∴∠AʹEC=∠OCB=45∘，
∴AʹE=AʹC=42−4，
∴S△OBC=12S正方形AOBC=12×42=8，
S△AʹEC=12AʹC⋅AʹE=1242−42=24−162，
∴S四边形OAʹEB=S△OBC−S△AʹEC=8−24−162=162−16，
∴ 旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为 162−16．
（3） t=83 或 t=4．
【解析】∵t=4 时，点 P 与 A 重合，点 Q 与 C 重合，且 △OAC 是等腰三角形，
∴ 当 t=4 时，△OPQ 为等腰三角形；
当点 P 在 OA 上，点 Q 在 OB 上时，OP=t，OQ=2t，则直角三角形 OPQ 不是等腰三角形；
当点 P 在 OA 上，点 Q 在 BC 上时，
∵△OPQ 是等腰三角形，
∴ 点 Q 在 OP 的垂直平分线上，
∴QB=12OP，
∴2t−4=t2，
∴t=83；
当点 P 在 AC 上时，点 Q 在 AC 上时，OP≠OQ≠PQ，
∴△OPQ 不是等腰三角形，
∴ 当 t=4或83 时，△OPQ 为等腰三角形．
25. （1） ∵x=−−2a2a=1，
∴y=ax2−2ax+3 的对称轴为 x=1，
∵y=ax2−2ax+3 的最大值为 4，
∴ 抛物线顶点 1,4，
得 a−2a+3=4，
解得 a=−1，
∴ 该二次函数的解析式为 y=−x2+2x+3，C 点坐标为 0,3，顶点 D 的坐标为 1,4．
（2） （i）∵∣PC−PD∣≤CD，
∴ 当 P，C，D 三点在一条直线上时，∣PC−PD∣ 取得最大值如图 1，
连接 DC 并延长交 x 轴于点 P，∣PC−PD∣=CD=12+4−32=2，
∴∣PC−PD∣ 的最大值是 2，
易得直线 CD 的方程为 y=x+3，
把 Pt,0 代入，得 t=−3，
∴ 此时对应的点 P 的坐标为 −3,0．
（ii）如图 2，
y=a∣x∣2−2a∣x∣+3 的解析式可化为 y=−x2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0，
设线段 PQ 所在直线的方程为 y=kx+b，将 Pt,0，Q0,2t 的坐标代入，可得线段 PQ 所在直线的方程为 y=−2x+2t，
① 当线段 PQ 过点 −3,0，即点 P 与点 −3,0 重合时，线段 PQ 与函数 y=−x2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0 的图象只有一个公共点，此时 t=−3，
∴ 当 t≤−3 时，线段 PQ 与函数 y=−x2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0 的图象只有一个公共点；
② 当线段 PQ 过点 0,3，即点 Q 与点 C 重合时，线段 PQ 与函数 y=−x2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0 的图象只有一个公共点，此时 t=32，
当线段 PQ 过点 3,0，即点 P 与点 3,0 重合时，t=3，
此时线段 PQ 与函数 y=−x2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0 的图象有两个公共点，
∴ 当 32≤t<3 时，线段 PQ 与函数 y=−x2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0 的图象只有一个公共点；
③ 将 y=−2x+2t 代入 y=−x2+2x+3x≥0，并整理，得 x2−4x+2t−3=0，
Δ=16−42t−3=28−8t，
令 28−8t=0，解得 t=72，
∴ 当 t=72 时，线段 PQ 与函数 y=−x2+2x+3,x≥0−x2−2x+3,x<0 的图象只有一个公共点，
综上所述，t 的取值范围为 t≤−3 或 32≤t<3 或 t=72．