2021年江西省新余市渝水区第一中学高考四模数学试卷（文）

这是一份2021年江西省新余市渝水区第一中学高考四模数学试卷（文），共21页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年江西省新余一中高考数学四模试卷（文科）
一、选择题（共12小题）.
1．设集合P＝{x|x2﹣4x+3≤0}，Q＝{y|y＝}，则P∩Q＝（　　）
A．[1，3] B．[2，3] C．[0，+∞） D．∅
2．复数z＝+i，则在复平面内，复数z2对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．某学生准备参加某科目考试，在12次模拟考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试成绩的众数与中位数分别为（　　）

A．95，94 B．95，94.5 C．93，94.5 D．95，95
4．已知函数f（x）＝，则f（﹣1）+f（1）＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．垂直于直线y＝x﹣2且与圆x2+y2＝1相切于第三象限的直线方程是（　　）
A．x+y﹣1＝0 B． C． D．x+y+1＝0
6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcosA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（　　）条件
A．充分必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
8．函数y＝ln（）+sinx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若M（﹣1，y）是角θ终边上一点，且，则y＝（　　）
A． B．3 C．或3 D．或﹣3
10．若函数f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在区间（，1）内有极小值，则a的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
11．已知Q为双曲线的右顶点，M为双曲线右支上一点，若点M关于双曲线中心O的对称点为N，设直线QM，QN的倾斜角分别为α，β且，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B． C．y＝±4x D．
12．已知点A、B、C、D在同一个球面上（球的半径为定值），△ABC是等腰直角三角形，且，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（　　）
A．25π B． C． D．9π
二、填空题
13．已知＝（﹣1，3），＝（1，t），若（﹣2）⊥，则实数t＝　 　．
14．已知正数a，b满足a+b＝1，则+的最小值为　 　．
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为　 　．
16．已知直线l：y＝k（x+4）与圆（x+2）2+y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x﹣4y﹣6＝0的距离的最大值为　 　
三、解答题：本大题共6小题，17题10分，18题19题20题21题22题各12分，共70分.
17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）△ABC外接圆半径，，求△ABC的面积．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AB⊥BB1，BB1＝2，O、D分别为AB1、A1C1的中点．
（1）求证：OD∥平面BCC1B1；
（2）若平面ABC⊥平面ABB1A1，求直线OD到平面BCC1B1的距离．

20．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3 日
3月4日
3月5日
温差x（℃）
10
11
13
12
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率；
（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x．
（参考公式：回归直线方程为＝x，其中＝，＝）
21．已知椭圆C：的右顶点为，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的左焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，问椭圆C上是否存在点P，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝mx+nxlnx的图象在点（e，f（e））处的切线方程为y＝4x﹣e．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈（1，+∞），不等式f（x）＞t（x﹣1）+1恒成立，求正整数t的最大值．


参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．设集合P＝{x|x2﹣4x+3≤0}，Q＝{y|y＝}，则P∩Q＝（　　）
A．[1，3] B．[2，3] C．[0，+∞） D．∅
解：集合P＝{x|x2﹣4x+3≤0}＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，
Q＝{y|y＝}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）；
则P∩Q＝[1，3]．
故选：A．
2．复数z＝+i，则在复平面内，复数z2对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵z＝+i，∴z2＝（+i）2＝+i﹣＝﹣+i，
则复数z2对应的点的坐标为（﹣，），对应的点在第二象限，
故选：B．
3．某学生准备参加某科目考试，在12次模拟考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试成绩的众数与中位数分别为（　　）

A．95，94 B．95，94.5 C．93，94.5 D．95，95
解：由茎叶图知，该组数据从小到大排列为：
86，88，81，93，93，94，95，95，95，97，98，98；
所以此学生该门功课考试成绩的众数是95，
中位数为×（94+95）＝94.5．
故选：B．
4．已知函数f（x）＝，则f（﹣1）+f（1）＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
解：根据题意，f（x）＝，
f（﹣1）＝1+log21＝1，f（1）＝21＝2，
则f（﹣1）+f（1）＝1+2＝3，
故选：B．
5．垂直于直线y＝x﹣2且与圆x2+y2＝1相切于第三象限的直线方程是（　　）
A．x+y﹣1＝0 B． C． D．x+y+1＝0
解：根据题意，要求直线与直线y＝x﹣2垂直，设其方程为x+y﹣b＝0，
又由要求直线与圆x2+y2＝1相切，则有＝1，解可得b＝±，
当b＝时，要求直线为x+y﹣＝0，不经过第三象限，不符合题意，
当b＝﹣时，要求直线为x+y+＝0，经过第三象限，符合题意，
故要求直线的方程为x+y+＝0，
故选：B．
6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
解：①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；
②中，由于AF∥DE，而AF⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，故A1F∥平面BD1E；
③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1F与平面BD1E不平行；

故选：B．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“bcosA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（　　）条件
A．充分必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．既不充分也不必要
解：在△ABC中，bcosA﹣c＜0，则sinBcosA﹣sinC＜0，
所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＞sinBcosA，
则有sinAcosB＞0，
因为sinA＞0，
所以cosB＞0，故角B为锐角，
当B为锐角时，△ABC不一定是锐角三角形，
当△ABC为锐角三角形时，B为锐角，
故“bcosA﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件．
故选：C．
8．函数y＝ln（）+sinx的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
解：函数y＝f（x）＝ln（）+sinx，
则f（﹣x）＝ln（）+sin（﹣x）＝﹣ln（）﹣sinx＝﹣f（x），
可得f（x）是奇函数，排除C，D，
当x＝时，可得f（）＝ln；
∵＝ln＞ln＝﹣1；
∴f（）＝ln＜0
图象在x轴下方；
故选：A．
9．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若M（﹣1，y）是角θ终边上一点，且，则y＝（　　）
A． B．3 C．或3 D．或﹣3
解：因为角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若M（﹣1，y）是角θ终边上一点，
所以tanθ＝﹣y，
又，即＝＝7，整理可得3tan2θ+8tanθ﹣3＝0，
解得tanθ＝﹣3，或，
则y＝3，或﹣．
故选：C．
10．若函数f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在区间（，1）内有极小值，则a的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣∞，﹣2）
解：f′（x）＝ax+（1+2a）﹣＝，
若f（x）在（，1）有极小值，
则f′（x）在（，1）先小于0，再大于0，
则，解得：﹣2＜a＜﹣1，
故选：C．
11．已知Q为双曲线的右顶点，M为双曲线右支上一点，若点M关于双曲线中心O的对称点为N，设直线QM，QN的倾斜角分别为α，β且，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±2x B． C．y＝±4x D．
解：设M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），
因为tanαtanβ＝，则k，
所以，
又，所以y，所以，
所以，所以，
所以双曲线的渐近线方程为y＝，
故选：B．
12．已知点A、B、C、D在同一个球面上（球的半径为定值），△ABC是等腰直角三角形，且，若四面体ABCD体积的最大值为，则该球的表面积为（　　）
A．25π B． C． D．9π
解：∵△ABC是等腰直角三角形，且，∴AC＝，
设球的半径为R，球心到平面ABC的距离为d，设当四面体ABCD体积取得最大值时，D到平面ABC的距离为h，则，解得h＝4．
由图可得，即，解得．
∴该球的表面积为S＝．
故选：A．

二、填空题
13．已知＝（﹣1，3），＝（1，t），若（﹣2）⊥，则实数t＝　2　．
解：由已知，得﹣2＝（﹣3，3﹣2t）；
因为（﹣2）⊥，
所以（﹣2）•＝3+3（3﹣2t）＝0，
解得t＝2．
故答案为：2．
14．已知正数a，b满足a+b＝1，则+的最小值为　3　．
解：∵正数a，b满足a+b＝1，
∴+＝+＝++1≥2+1＝3，当且仅当a＝b＝时取“＝“，
故答案为：3．
15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2n+1，若不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an对∀n∈N+恒成立，则整数λ的最大值为　4　．
解：当n＝1时，，得a1＝4；
当n≥2时，，两式相减得，得，
∴．
又，∴数列{}是以2为首项，1为公差的等差数列，，即．
∵an＞0，∴不等式2n2﹣n﹣3＜（5﹣λ）an，等价于5﹣λ．
记，n≥2时，．
∴n≥3时，，．
∴5﹣λ，即，
∴整数λ的最大值为4．
16．已知直线l：y＝k（x+4）与圆（x+2）2+y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M到直线3x﹣4y﹣6＝0的距离的最大值为　4　
解：圆（x+2）2+y2＝4的圆心C（﹣2，0），半径r＝2，
圆心C（﹣2，0）到直线y＝k（x+4）的距离
d＝＝＜2，
直线l：y＝k（x+4）过定点A（﹣4，0），
设M（x0，y0），B（x1，y1），
则，代入（x+2）2+y2＝4，
可得（x0+3）2+y02＝1．
∴M的轨迹是以（﹣3，0）为圆心，以1为半径的圆，
则M到直线3x﹣4y﹣6＝0的距离的最大值为 +1＝4．
故答案为：4．

三、解答题：本大题共6小题，17题10分，18题19题20题21题22题各12分，共70分.
17．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin2B＝bsinA．
（1）求角B的大小；
（2）△ABC外接圆半径，，求△ABC的面积．
解：（1）因为asin2B＝bsinA，所以2asinBcosB＝bsinA，
由正弦定理得2abcosB＝ba，
∴cosB＝，
∵0＜B＜π，
∴B＝；
（2）因为△ABC外接圆半径，，
由正弦定理可知b＝2r•sinB＝2．
由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，
即4＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝12﹣3ac．
解得ac＝．
所以△ABC的面积S＝acsinB＝＝．
18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若bn＝（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，且①，
当n＝1时，a1＝S1＝1，
当n≥2时，②，
①﹣②得：（首项符合通项），
故．
（2）由（1）得，
所以①，
2②，
①﹣②得：，
＝2（2+4+…+2n﹣1）+1﹣（2n﹣1）•2n＝，
整理得：．
19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AB⊥BB1，BB1＝2，O、D分别为AB1、A1C1的中点．
（1）求证：OD∥平面BCC1B1；
（2）若平面ABC⊥平面ABB1A1，求直线OD到平面BCC1B1的距离．

【解答】（1）证明：连接A1B，则A1B与AB1交于点O，连接BC1，如图所示：

由四边形ABB1A1是矩形，O、D分别是棱A1B、A1C1的中点，
所以OD是△A1BC1的中位线，所以OD∥BC1，
又OD⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以OD∥平面BCC1B1；
（2）解：若平面ABC⊥平面ABB1A1，取AB的中点P，连接CP，
因为△ABC是正三角形，所以CP⊥AB，
因为平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，CP⊂平面ABC，所以CP⊥平面ABB1A1，
因为△ABC是边长为2的正三角形，且AB⊥BB1，BB1＝2，所以CP＝2×sin60°＝，
设直线OD到平面BCC1B1的距离为h，即点O到平面BCC1B1的距离为h，
由＝，
得××2×1×＝××2×2×h，解得h＝，
即直线OD到平面BCC1B1的距离为．
20．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月1日
3月2日
3月3 日
3月4日
3月5日
温差x（℃）
10
11
13
12
8
发芽数y（颗）
23
25
30
26
16
（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均小于25”的概率；
（2）请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x．
（参考公式：回归直线方程为＝x，其中＝，＝）
解：（1）m，n构成的基本事件（m，n）有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个．其中“m，n均小于25”的有1个，其概率为 ．
（2），
于是，，
故所求线性回归方程为 ．
21．已知椭圆C：的右顶点为，离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过椭圆C的左焦点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点，问椭圆C上是否存在点P，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意可知a＝，
又∵离心率为，∴c＝1，
∴，
∴椭圆C的标准方程为：．
（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），
设直线l的方程为y＝k（x+1），
联立方程，消去y得：（1+2k2）x2+4k2x+2（k2﹣1）＝0，
∴△＝8k2+8＞0，，
则＝（x1+x2，y1+y2）
＝（x1+x2，k（x1+x2+2））
＝
则点P，
又∵点P在椭圆上，
∴，
整理得：4k2＝1，解得k＝，
∴椭圆C上存在点P，使得，此时直线l的方程为y＝．
22．已知函数f（x）＝mx+nxlnx的图象在点（e，f（e））处的切线方程为y＝4x﹣e．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对任意x∈（1，+∞），不等式f（x）＞t（x﹣1）+1恒成立，求正整数t的最大值．
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝nlnx+m+n，
所以有，解之得，
故函数的解析式为：f（x）＝2x+xlnx；
（2）f（x）＞t（x﹣1）+1可化为2x+xlnx＞t（x﹣1）+1，
因为x∈（1，+∞），所以，
令，则由题意知对任意的x∈（1，+∞），t＜g（x）min，
而，x∈（1，+∞），
再令h（x）＝x﹣2﹣lnx（x＞1），则，
所以h（x）在（1，+∞）上为增函数，
又h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，
所以存在唯一的x0∈（3，4），使得h（x0）＝0，即x0﹣2＝lnx0，
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，所以g（x）在（1，x0）上单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g'（x）＞0，所以g（x）在（x0，+∞）上单调递增，
所以＝，
所以t＜x0+1，
又x0∈（3，4），所以x0+1∈（4，5），
因为t为正整数，所以t的最大值为4．