江西省新余市第一中学2022届高三高考押题卷数学（理）试题

这是一份江西省新余市第一中学2022届高三高考押题卷数学（理）试题，共24页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知左、右焦点分别为，的双曲线，圭表等内容，欢迎下载使用。
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江西省新余市第一中学2022届高三高考押题卷数学（理）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分




注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数.则实数（       ）
A． B． C． D．3
2．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（       ）
A． B． C． D．
3．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （       ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
4．某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，以下结论不正确的是（ ）

A．估计这1000名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是300
B．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85
C．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75
D．估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是23.875
5．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出著名的普森公式：，联系两个天体的星等､和它们对应的亮度､.这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是，猎户星座的“参宿一”星等是，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（       ）倍.（当较小时，）
A． B． C． D．
6．已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为（       ）
A． B．
C． D．
7．使用某软件的随机数命令随机生成介于与之间的个随机数，构成个数对，其中满足的共有个，则以下值最接近理论值的是（       ）
A． B． C． D．
8．已知某几何体的三视图如图所示，点A，B在正视图中的位置如图所示(A，B分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从A到B的最短距离为（       ）

A． B． C． D．
9．已知平面向量满足，，则的最小值为（     ）
A． B． C． D．
10．圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为（       ）

A． B．
C． D．
11．已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）
A． B． C． D．
12．已知函数，有下述四个结论：
①函数是奇函数
②函数的最小正周期是
③函数在上是减函数
④函数在上的最大值是1
其中正确的结论一共有（       ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



二、填空题
13．若，，则______.
14．已知正整数 ，若的展开式中不含x5的项，则n的值为_______
15．若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______
16．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________
评卷人
得分



三、解答题
17．在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：

1
2
3
4
5

2.4
2.7
4.1
6.4
7.9

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式：
参考数据：，
（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案．
方案一：每满500元可减50元；
方案二：每满500元可抽奖一次，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互独立．
某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．
18．已知数列满足.
（1）证明为等差数列，并求数列的通项；
（2）设，求数列的前项和.
19．如图，在四棱锥，，，平面，.

（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20．已知椭圆的左、右焦点为，为上一点，垂直于轴，且、、成等差数列，.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过点，与椭圆交于两点，且点在轴上方. 记的内切圆半径分别为，若，求直线的方程.
21．已知函数．
（1）若轴是曲线的一条切线，求的值；
（2）若当时，，求的取值范围．
22．已知曲线C1：（t为参数），C2：（α为参数且），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C3：θ＝（ρ∈R）．
（1）求曲线C1，C2的普通方程；
（2）若C2上的点P对应的参数α＝，Q为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．
23．已知.
（1）解关于的不等式：；
（2）若的最小值为，且，求证：.

参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
结合复数的乘法运算求出，进而结合纯虚数的概念即可求出结果.
【详解】
由已是纯虚数，所以且，可得，
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
利用数形结合法得到圆与直线的交点个数，得到集合的元素个数求解.
【详解】
如图所示：
，
集合有3个元素，
所以集合的真子集的个数为7，
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为，，，，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出ÜD，，所以甲是丁的充分不必要条件.
【详解】
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，，
由甲是乙的充分不必要条件得，ÜB，
由乙是丙的充要条件得，，
由丁是丙的必要不充分条件得，ÜD，
所以ÜD，，故甲是丁的充分不必要条件.
故选：A.
4．B
【解析】
【分析】
A：根据频率直方图中小矩形的面积代表每个小组的频率进行求解判断即可；
B：根据在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标进行求解判断即可；
C：根据在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标进行求解判断即可；
D：根据在频率分布直方图中，平均数即为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和进行求解判断即可.
【详解】
解：对于，每周的自习时间不小于25小时的频率为，
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是0.3×1000=300，故选项正确.
对于B，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，
故估计这1000名学生每周的自习时间的众数是，故选项C错误；
对于C，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，设中位数为，则有，解得，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故选项C正确；
对于D，在频率分布直方图中，平均数即为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，
所以估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是，故选项D正确.
故选：B.
5．B
【解析】
【分析】
根据题意，设“十字架三”的星等是，“参宿一”的星等是，“十字架三”的亮度是，“参宿一”的亮度是，结合对数的运算性质即可求出结果．
【详解】
解：设“十字架三”的星等是，“参宿一”的星等是，“十字架三”的亮度是，“参宿一”的亮度是，
则，，设，
两颗星的星等与亮度满足，
，
，
与最接近的是，
故选：B．
6．A
【解析】
【分析】
首先由，得到，再根据双曲线的定义，得到的值，即可根据公式，计算双曲线的渐近线方程.
【详解】
由，得，∴点P在双曲线左支上，故，∴，得双曲线的方程为，∴双曲线C的渐近线方程为，
故选：A.
7．A
【解析】
【分析】
个数对对应空间直角坐标系中第一卦限棱长为的正方体，满足的点为在第一卦限内的球，利用几何概型的概率公式即可求解.
【详解】
解：个数对对应空间直角坐标系中第一卦限棱长为的正方体，满足的点为在第一卦限内，且距离原点小于，即在球心为原点，且半径为的球内，根据几何概型的概率公式，可得点落在球内的概率为，所以最接近的为正确答案.
故选：.
8．A
【解析】
【分析】
作出三视图的直观图，并展开，根据三视图中的数据求得展开图中的边长，半径，圆心角等，从而求得AB的长.
【详解】
由三视图可知该几何体为下底面半径，上底面半径，高为的圆台，故其母线长为，其侧面展开图为以上、下底面周长为弧长，圆台母线长为半径的扇环，如图所示，将圆台补形为圆锥，

由相似三角形知，，即，解得，
即圆锥的母线为3，记扇形的圆心角为，则，
即，解得
由三视图可知，点B为展开图中圆弧的中点，在中，
，，，则，
故
故选：A
9．D
【解析】
【分析】
根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.
【详解】
因为，所以，，
，因为，所以，
设，，，
，，
所以，
即，
所以点在以为圆心，半径的圆上，
表示圆上的点与定点的距离，
所以的最小值为，
故选：D.
10．A
【解析】
【分析】
先求出，然后利用正弦定理求出，在中，求出即可.
【详解】
解：由题意可知，，
在中，由正弦定理可知：
，即.
则.
在中，，
所以.
故选：A.
11．A
【解析】
【分析】
首先设出直线方程，代入抛物线方程，利用根系关系及平面向量数量积坐标公式得到，再计算和的面积之和，利用均值不等式求其最小值即可.
【详解】

设直线的方程为，，，
.
，
解得：或.
因为位于轴的两侧，所以.
即：，.
设点在轴的上方，则，，.


当且仅当时，即时，取“”号.
所以和的面积之和的最小值为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了均值不等式求最值，属于难题.
12．A
【解析】
【分析】
①利用函数的奇偶性的定义判断；②利用函数的周期性定义判断；③将函数转化为，利用正弦函数的性质判断； ④将函数转化为，利用正弦函数的性质判断；
【详解】
①，所以函数是偶函数，故错误；
②故错误；
③，因为，则，
所以函数在上不是减函数，故错误；
④，因为，则，
所以，当时，等号成立，
所以函数在上的最大值是1，故正确.
故选：A
13．##-0.25
【解析】
【分析】
切化弦，再利用二倍角正余弦公式化简计算作答.
【详解】
依题意，，因，则，
则有，解得，
所以.
故答案为：
14．10
【解析】
【分析】
写出通项公式，根据的展开式中不含x5的项可得，求得答案.
【详解】
的二项展开式中第k+1项为，
又因为的展开式不含的项，
所以，
即即，所以，
故答案为：10
15．
【解析】
【分析】
设与直线平行且与曲线相切于点时，此时两点距离的最小值为点到直线的距离，求出函数的导函数，求出求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；
【详解】
解：设与直线平行且与曲线相切于点时，
此时两点距离的最小值为点到直线的距离，

因为，所以，即得，
，所以点到直线的距离为，
所以两点距离的最小值为．
故答案为：
16．##
【解析】
【分析】
作图后由二面角的定义与勾股定理，列方程求出正三棱锥高与球的半径之比，再得两个三棱锥的高之比
【详解】
如图，

正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，
设到底面的距离为，到底面的距离为，
则，取的中点，连接，，，记与平面的交点为，
由两个正三棱锥和内接于同一个球，故一定为球的直径，
记其中点为，且由题意可知，为正三角形的中心，
因此，，分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，
由，，，且为的中点，可得，，，
则为正三棱锥的侧面与底面所成的角为，
，，记球的半径为，于是，
在中，由勾股定理可得，，
解得，于是，则．
故答案为：
17．（1）答案见解析；（2）专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据计算出相关系数可得结论；
（2）设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，，求出，从而可得顾客获取现金的期望值，再求得顾客直接得现金的金额，比较可得．
【详解】
解：（1）由题知，，，
．
则．
故与的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；
（2）设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，
由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则，∴．
由于顾客每中一次可获得100元现金奖励，
因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为．
由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160小于直接返现的200元现金，
故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖．
18．（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得是公差为2的等差数列，再由可得答案.
（2）得 ，再利用分组转化为等差和等比数列求和可得答案.
【详解】
（1）由，得，
故是公差为2的等差数列，
故，由，得，
故，于是.
（2）依题意，，
故


.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由平面，得，再根据，可得平面，从而可得出，再根据，可得，连接，证得，再根据，即可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得出结论；
（2）由（1）知平面，，以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量法即可得出答案.
【详解】
（1）证明：因为平面，平面，所以.
又因为，，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，所以.
连接.因为，所以，，
得，又，所以，即.
因为平面，平面，所以，又，
所以平面，因为平面，所以.
（2）解：由（1）知平面，，以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为，设，则，，，，
，，，.
设平面的一个法向量为，则得
所以.令，得，所以.
设平面的一个法向量为，则得
所以，，得，所以.
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
20．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)设出椭圆焦点坐标，由给定条件建立a，b，半焦距c的方程组求解即得；
(2)设出直线l的方程，联立直线l，椭圆C的方程组，消去x，借助三角形面积及其内切圆半径关系，确定出点A与B的纵坐标的关系即可作答.
【详解】
（1）设点，因垂直于轴，则，，
显然有，由已知得，又，即，
而，从而得，解得，因，于是得，
所以椭圆的方程为；
（2）令点，，显然直线l不垂直于y轴，设直线，
由消去x得，
，，由题意，有，，
由，而，得，
由，又，得，
又，解得，
于是得，解得，
而，即，，得，
故直线的方程为.
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设切点为，由导数的几何意义可得，结合切点在曲线上即可求解；
（2）由题意知对于恒成立，构造函数
，则，，通过三次求导，讨论的单调性，即可得最值，进而可得的取值范围．
【详解】
（1）根据题意，设切点为，
由可得，
切线的斜率，
又因为切点在曲线上，所以，
由可得：，解得或（舍），
当时，
所以的值为.
（2）若当时，，
则对于恒成立，
令，只需，，
，则，
，，
，所以在单调递增，
当即时，，此时，
所以在单调递增，
所以，
可得在单调递增，
所以符合题意，
当即时，，
因为在单调递增，
所以存在使得，
此时当时，；当时，；
所以在单调递减，在单调递增，
又因为，
所以当时，；
此时在单调递减，
所以当时，，
不满足恒成立，
综上所述：的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.
22．（1）；；（2）．
【解析】
【分析】
（1）利用三角函数同角平方关系消参得到曲线C1，曲线C2普通方程．
（2）求出PQ的中点坐标为（），和直线C3：直角坐标方程为x﹣y＝0，利用点到直线的距离公式得解
【详解】
解：（1）曲线C1：（t为参数），转换为普通方程为．
曲线C2：（α为参数且，转换为普通方程为．
（2）由于C2上的点P对应的参数α＝，所以P（0，1），点Q，
所以PQ的中点坐标为（），
直线C3：θ＝（ρ∈R）转换为直角坐标方程为x﹣y＝0，
所以d＝，
当时，．
23．（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）分类讨论解不等式；
（2）分类讨论法求得，然后结合基本不等式证明．
【详解】
（1）不等式为，
时，不等式为，或．所以；
时，不等式为，或，无解；
时，不等式为，恒成立，所以
综上，原不等式的解集为．
（2）时，，在上递增，，
时，，在上递减，所以．
综上．
，
当且仅当，即时等号成立．
所以．