2021-2022年中考复习考点 - 圆综合专题(word版含答案）

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知识总结
与垂径定理相关
若点P是中点，连接OP，则OP⊥AB．
若过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线．
变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线．
与圆周角定理相关
若点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB．
特别地，若点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°．
若连接PA、PB，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB．
可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC．
可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB．
垂径定理与圆周角定理结合
如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC．
以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形．
经典例题
【例1】如图，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，过点作直线．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，，求的长．
【例2】如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，当，时，求的长．
【例3】如图，是的外接圆的直径，点在延长线上，且满足．
（1）求证：是的切线；
（2）弦交于点，若，求的长．
【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE＝8，，求DG的长，
圆中线段的计算
知识总结
线段的计算——勾股定理
【例5】如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，且于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
线段的计算——三角函数
【例6】如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点，与交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求直径的长．
【例7】如图，在中．，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求点到的距离．
线段的计算——相似三角形
【例8】如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点，过点的切线交于点．
（1）求证：．
（2）若，，求线段的长．
圆中的相似
知识总结
基本相似模型
（1）射影定理
如图，AB是直径，CD⊥AB．则：；
；
．
（2）母子型相似
如图，若∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB．．
经典例题
【例9】如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为 ．
【例10】如图，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，作直径，过点的切线交的延长线于点，作于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）当且时，求劣弧的长度．
【例11】如图，为的直径，为上一点，是弧的中点，与、分别交于点、．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的值．
参考答案
【例1】（1）相切．
∵AD平分∠BAC，∴点D是弧BC中点，连接OD，则OD⊥BC，
又∵DF∥BC，∴OD⊥DF，∴DF是圆O的切线．
（2）连接CD，易证△AEB∽△CED，∴，代入得：，
解得：，∴，故BD的长为．
【例2】（1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴BD是直径，
∵∠BAC=∠BDC，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠BAC+∠CBD=90°，
又∠DEC=∠BAC，∴∠DEC+∠CBD=90°，∴∠BDE=90°，即BD⊥DE，
∴DE是圆O的切线．
（2）∵BD⊥DE，AC∥DE，∴BD⊥AC，∴点D是弧AC中点，
易证△BAD≌△BCD，∴AC=AB=8，
记BD与AC交点为H，射影定理可得：，
代入可得：，∴，
易证△DHC∽△DCB，可得：，代入得：，
解得：，∴．
故AC的 长为．
【例3】（1）∵∠B=∠D，且∠ADC+∠CAD=90°，
∴∠PAC+∠CAD=90°，即AD⊥AP，
∴PA是圆O的切线．
（2）易证△AFE∽△AEB，∴，即
∴，又AC=AE，
∴．
【例4】（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
又OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴AC∥OD，
∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，∴BC是圆O的切线．
（2）连接DF、EF，∠DFE=∠DAE=∠ODA，
∴∠AFD=90°+∠DFE=90°+∠ODA=∠ADB，
∴△AFD∽△ADB，∴，∴，
∴．
（3），解得：r=5，
∴OA=OD=OE=5，AB=13+5=18，AC=，
，∴，
易证△OGD∽△FGA，∴，
∴．
故DG的长为．
【例5】（1）连接OC，则OC⊥CD，
∵∠BCE+∠CBE=90°，∠BCD+∠BCO=90°，
且∠CBE=∠BCO，∴∠BCE=∠BCD．
（2）设BE=x，则CE=2x，
在Rt△OCE中，，
即，解得：，
易证tan∠CDO=tan∠OCE=，∴
∴，
解得：，故．
【例6】（1）∠BAC+∠AOF=90°，∠AOF=2∠C=∠CAE，
∴∠BAC+∠CAE=90°，
∴AE是圆O的切线．
（2）连接AD，则∠DAC=∠C，∴tan∠DAC=，
∵DH=9，∴DA=12，
∵，∴DB=16，∴AB=20，
故直径AB的长为20．
【例7】（1）连接AN，则AN⊥BC，
又∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，
∴AN平分∠BAC，∴∠CAN=∠BAN=∠BCP，
∵∠CAN+∠ACN=90°，∴∠BCP+∠CAN=90°，
∴CP是圆O的切线．
（2）过点B作BH⊥AC交AC于点H，
∵，∴，，
∵，∴，
，，
，，
∴，代入解得：．
故点B到AC的距离为．
【例8】（1）连接OB，则OB⊥BC，∴∠PBC+∠OBA=90°，
∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴∠D+∠A=90°，
又∠A=∠OBA，∴∠CBP=∠ADB．
（2）连接PD，∵OP⊥AD且点O是AD中点，∴PA=PD，
易证△OAB∽△PAD，∴，代入得：，
解得：PA=8，∴PB=PA-AB=8-1=7，
故PB的长为7．
【例9】由，易证△BPA∽△BAQ，∴∠BAQ=∠BPA=90°，
即AQ⊥AB，当点P与点C重合时，此时AQ的长即为点Q运动路径长，
此时AQ=AB=4．
易证CQ=CP，在Rt△BCQ中，根据射影定理可得：，
∴．
【例10】（1）∵AF⊥PF，OC⊥PF，∴AF∥OC，∴∠FAC=∠ACO，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OAC，
∴AC平分∠FAB．
（2）易证△ACF≌△ACE，∴∠ACF=∠ACE，
∵∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠BCP=90°，
∴∠BCE=∠BCP，延长CE与BD交于点Q，
易证CQ=CP，在Rt△BCQ中，根据射影定理可得：，
∴．
（3）易证△AEC∽△DCP，∴，
∴，，∴，△OBC是等边三角形，
∴∠BOD=120°，∴，
故弧BD的长为．
【例11】（1）∵点D是弧BC中点，∴OD⊥BC，
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∴DO∥AC．
（2）∵∠DCB=∠DAC，∴△DEC∽△DCA，
∴，∴．
（3）思路1：连接BD，则BD=CD，∠DBC=∠DAC，
设DE=a，则DB=2a，DC=2a，DA=4a，
∴AE=3a，，，
，
∴，，又∠CDA=∠ABC，∴．
思路2：，则，即，
可得，∴．