2024年中考数学高频考点专题复习：圆与三角形的综合（圆的综合问题）

这是一份2024年中考数学高频考点专题复习：圆与三角形的综合（圆的综合问题），共40页。试卷主要包含了已知，求证，如图，矩形中，，等内容，欢迎下载使用。

1．已知：是的两条弦，（如图1），点M、N分别在弦上，且，连接．
(1)求证：；
(2)当是锐角时，如果，求证：四边形是等腰梯形；
(3)过M作，交于E；过N作，交于点F，如图2．求证：．
2．已知：为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，延长交的延长线于点的平分线分别交于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，如果是的中点，且，求线段的长．
3．如图，已知是的直径，C为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的半径为3，求图中阴影部分的面积．
4．已知以为直径的半圆上有一点，，垂足为点，点是半径上一点（不与点、重合），作交弧于点，连接．
(1)如图，当的延长线经过点时，求的值；
(2)如图，作，垂足为点，连接．
试判断与的大小关系，并证明你的结论；
当是等腰三角形，且，求的值．
5．如图，内接于，是的直径，与相切于点，交的延长线于点，为的中点，连接、．
(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求．
6．如图，中，，以为直径的交于点D，过点D分别作于点E，于点F，延长交于点G，延长分别交于点H，交于点M．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求，的长．
7．如图，是的直径，点在上，是的中点，的延长线与过点的切线交于点，与的交点为．

(1)求证：；
(2)若的半径是，，求的长．
8．如图，四边形内接于，为的直径，，过点D的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当时，求的长．
9．如图，矩形中，，．E是的中点，以为直径的与交于F，过F作于G．
(1)求证：是的切线．
(2)求的值．
10．如图，是的直径，直线与相切于点，且，为上一点，，，交于点．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若，求的长．
11．已知：在中，弦与弦交于点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，为上一点，且，连接交于点，求证：为中点；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点作的垂线交于点，交于点，垂足为，连接，若，求的长．
12．已知：在中，四边形的边与相切于点A，点B，C在上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点E，连接交于点F，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点H，交于点G，交于点K，点M为的中点，连接，，若，，求四边形的面积．
13．已知：是的外接圆，的平分线交于点D，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，是的直径，过点A作，垂足为点E，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点F在上，连接分别交，于点G，H，若，，求线段的长．
14．如图，内接于，为直径，D为圆周上的点，弦交于E，连接，作，垂足为F．
(1)求证：．
(2)当，，时，
①求的长．
②直接写出___________．
15．在中，，，点是外一动点（点，点位于两侧），连接，．
(1)如图1，点是的中点，连接，，当为等边三角形时，的度数是______；
(2)如图2，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，是的外接圆，点在上，点为上一点，连接，，当，时，直接写出面积的最大值及此时线段的长．
参考答案：
1．（1）解：连接、，则，
∴.
∵，，，
∴.
∴.
又∵，
∴.
又∵，，
∴.
∴.
（2）∵，
∴.
又∵，
∴.
∴.
又∵，
∴.
∴.
又∵与不平行，
∴四边形是梯形.
又∵，
∴.
又∵，
∴，
∴梯形是等腰梯形.
（3）分别过作，交于；过点作，交于.
过点作，过点作垂足分别为、.
又 ∵，
∴.
又 ∵，
∴.
∴.
∵，
∴四边形是矩形，
∴，.
同理 ，.
∴.
又∵，
∴.
∴.
又∵，
∴，
∴.
2．（1）证明：如图1，连接．
切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图2，是的直径，
，
，
，
，
平分，
，
又 ，
，
，
．
（3）解：如图3，过点作交的延长线于点，过点作于点．
，
又，
，
又，
，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，．
3．（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
即，
解得：，
由（1）得：是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，解得：，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
4．（1）当的延长线经过点时，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）与的大小关系为：，
理由：延长交于点，延长交于点，延长交于点，连接，，，，如图，
∵
∴，
∵为直径，，
∴,
∴为的中位线，
∴，
∵为直径，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴设，则，
∴，
当时，
由（）知：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，
过点作于点，如图，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∵，
∴，
∴ ，，
∴，
当时，则，连接，如图，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴ ，，
∴，
∴，
∴，
∴
综上，当是等腰三角形，且，的值为或或．
5．（1）解：如图，连接．
，
．
是直径，
，
，
为的中点，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
，
又为半径，
是的切线
（2），，
，
，
，
，
．
为的中点，为中点，
，
6．（1）证明：连接，如图所示：
，
∵于点F，
∴，
则中，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
，
∵为的直径，
∴，
∵，
则在中，
设，则，
则在中，
∴，即，，
∵于点E，
∴，则，
∵在中，，，
∴等腰三角形中三线合一，即，
又∵于点E，于点F，
在中，
，
∴，
∴，
则，
设，，
∵，
∴，即，
又∵中，
∴或（舍去），
则，，
∴，
∵在和中，，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
7．（1）证明：∵是的中点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，如图：

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径是，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
8．（1）证明：连接交于点H，如图，
，
∵，
∴，
∴半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴半径，
∴是的切线；
（2）证明：连接，如图，
，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：连接交于点H，连接，如图，
，
由（1）（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，
∴．
9．（1）连接交于点O，
∵是的直径，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴点O是的圆心，
∵E是的中点，
∴，
∵ ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
10．（1）证明：连接，如图，

直线与相切于点，
，
，
，
，
；
（2）解：作于，如图，

则四边形为矩形，
，
，
，
；
（3）作于，如图，

为直径，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
∽，
：：，
，
在中，，
在中，．
11．（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
（2）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为中点；
（3）解：连接，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
12．（1）证明：如图1在中连接并延长交于
与相切于点
；
（2）如图2，，
四边形是平行四边形
；
（3）如图3，连接并延长交于，
连接，，，交于
，，
，

，
，
，
为的直径，
，
，，
设，则
在中，
，，，，，
为中点，为中点，为的中位线
，
为的中点

，
在中，，
，，，，
．
13．（1）证明：连接，
平分，
，
，
，
．
（2）证明：连接，作于F，
是的直径，
，
平分，
，
，
都是等腰直角三角形，即，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：作于N，连接并延长，交于P，
由（2）知，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，即，
，
，
，
作于Q，
∵，
，
，
，，
作于M，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
，
，
连接，
，
，
即，
．
14．（1）证明：∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①如图，过点C作于H，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（1）解：，，点是的中点，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：线段，，之间的数量关系为：，理由如下：
过点作交的延长线于点，如图所示：
则，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
；
（3）解：连接，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，
，
是的外接圆，
是的中点，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
是定值，
点到的距离最大时，面积的面积最大，
是的直径，
过点作于，延长与的交点恰好是点时，点到的距离最大，面积的面积最大，
，
，
，
，
此时，在直角中，，
在直角中，，
在直角中，，
由（2）知，，
，
，
，
即面积的面积最大值为，此时，．