2019年广东省佛山市禅城区中考数学科研试卷（一）

这是一份2019年广东省佛山市禅城区中考数学科研试卷（一），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −5 的绝对值是
A. 5B. −15C. −5D. 15

2. 某种细菌的半径是0.00000618米，用科学记数法把半径表示为
A. 618×10−6B. 6.18×10−7C. 6.18×106D. 6.18×10−6

3. 下列运算正确的是
A. a+2a=3a2B. a3⋅a2=a5C. a42=a6D. a4+a2=a4

4. “对称美“体现了中国古人的和谐平衡的精神之美．从古至今，人们将对称元素赋予建筑、器物、绘面、饰品等事物上．在下列我国古代建筑简图中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 小明记录了自己一周每天的零花钱（单位：元），分别如下：5，4.5，5，5.5，5.5，5，4.5；则这组数据的中位数是
A. 5B. 4.5C. 5.5D. 5.2

6. 如图，直线 l1∥l2，且分别与直线 l 交于 C，D 两点，把一块含 30∘ 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 ∠1=52∘，则 ∠2 的度数为
A. 52∘B. 102∘C. 98∘D. 108∘

7. 因式分解 4x−x3 的最后结果是
A. x4−x2B. x2−x2
C. x4+x4−xD. x2−x2+x

8. 下列命题：
（1）两点之间直线最短；
（2）等角的补角相等；
（3）不等式组 x>−2,x<2 的解集是 −2（4）函数 y=2−x 中，y 随 x 的增大而增大；
其中真命题的个数是
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 1 个

9. 如图，直线y=kx−3(k≠0)与坐标轴分别交于点C，B，与双曲线y=−2x(x<0)交于点Am，1，则AB的长是
A. 25B. 13C. 23D. 26

10. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，点 C 为圆上一点，将劣弧 AC 沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连接 CD，点 D 与圆心 O 不重合，∠BAC=26∘，则 ∠DCA 的度数为
A. 38∘B. 40∘C. 42∘D. 44∘

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 八边形内角和度数为 ．

12. 空调安装在墙上时，一般都会象如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是 ．

13. 数轴上的点 A 与点 B 间的距离为 3 ，点 A 表示的数是 −4 ，则点 B 表示的数是 ．

14. 如图是一幅总面积为 3 m2 的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数 0.6 附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为 ．

15. 已知 a，b，c 是 △ABC 的三边长，a，b 满足 a−7+b−12=0，c 为奇数，则 c= ．

16. 如图，已知等边 △ABC 的边长是 2，以 BC 边上的高 AB1 为边作等边三角形，得到第一个等边 △AB1C1；再以等边 △AB1C1 的 B1C1 边上的高 AB2 为边作等边三角形，得到第二个等边 △AB2C2；再以等边 △AB2C2 的 B2C2 边上的高 AB3 为边作等边三角形，得到第三个等边 △AB3C3；⋯⋯．记 △B1CB2 面积为 S1，△B2C1B3 面积为 S2，△B3C2B4 面积为 S3，则 Sn= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：1−2++13−2−π−3.140+tan45∘．

18. 先化简，再求值：a−2ab−b2a÷a−ba，其中 a=3，b=−1．

19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A1,4，B1,1，C3,1．
（1）画出 △ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1．
（2）画出 △ABC 绕点 O 逆时针旋转 90∘ 后得到的 △A2B2C2．
（3）在（2）的条件下，求点 A 所经过的路径长（结果保留 π）．

20. 某中学为了解学生对新闻、体育、娱乐、动画四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行了统计调查（被调查的每名学生必选且只能选择四类节目中的一类），井将调查结果绘成如下两个不完整的统计图：
（1）求出图中 x 的值并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查结果，若该校有 1800 名学生，请估计该校大约有多少名学生最喜欢娱乐类节目．

21. 如图，平行四边形 ABCD 中，
（1）作边 AB 的中点 E，连接 DE 并延长，交 CB 的延长线于点 F；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）已知平行四边形 ABCD 的面积为 8，求四边形 EBCD 的面积．

22. 为迎接“七•一”党的生日，某校准备组织师生共 310 人参加一次大型公益活动，租用 4 辆大客车和 6 辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的座位数比小客车多 15 个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的座位数；
（2）经学校统计，实际参加活动的人数增加了 40 人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为使所有参加活动的师生均有座位，最多租用小客车多少辆?

23. 如图甲，直线 y=−x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B 、点 C，经过 B，C 两点的抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的另一个交点为 A，顶点为 P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点 M，使以 C，P，M 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出所符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当 0
24. 如图，在 ⊙O 中，直径 AB⊥CD，垂足为 E，点 M 在 OC 上，AM 的延长线交 ⊙O 于点 G，交过 C 的直线于 F，∠1=∠2，连接 CB 与 DG 交于点 N．
（1）求证：CF 是 ⊙O 的切线；
（2）求证：△ACM∽△DCN；
（3）若点 M 是 CO 的中点，⊙O 的半径为 4，cs∠BOC=14，求 BN 的长．

25. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=10 cm，BD⊥AC 于点 D，且 BD=8 cm．点 M 从点 A 出发，沿 AC 的方向匀速运动，速度为 2 cm/s；同吋点 P 从点 B 出发沿 BA 的方向匀速运动，速度为 1 cm/s．已知：过点 P 的直线 PQ 满足 PQ∥AC，直线 PQ 交 BC 于点 Q 、交 BD 于点 F．设运动时间为 t s（0（1）当 S四边形PQCM=916S△ABC 时，直接写出 t 的值；
（2）设四边形 PQCM 的面积为 y cm2，求 y 与 t 之间的函数关系式；
（3）连接 PC，是否存在某一时刻 t，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上?若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】−5 的绝对值是 5．
2. D【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：0.00000618米，用科学记数法把半径表示为6.18×10−6．
故选：D．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤∣a∣<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. B【解析】A、 a+2a=3a，此选项错误；
B、 a3⋅a2=a5，此选项正确；
C、 a42=a8，此选项错误；
D、 a4 与 a2 不是同类项，不能合并，此选项错误；
故选：B．
4. B【解析】A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、是轴对称图形；
故选：B．
5. A
【解析】把这些数据从小到大排列为：4.5，4.5，5，5，5，5.5，5.5，最中间的数是 5，则这组数据的中位数是 5；故选：A．
6. C【解析】如图．
∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=52∘，
又 ∵∠4=30∘，
∴∠2=180∘−∠3−∠4=180∘−52∘−30∘=98∘．
7. D【解析】4x−x3=x4−x2=x2−x2+x.
8. A【解析】①两点之间线段最短，不正确；
②等角的补角相等，正确，是真命题；
③不等式组 x>−2,x<2 的解集是 −2④对于函数 y=2−x，y 随 x 的增大而减小，不正确．
真命题有：②③，2 个，故选：A．
9. A【解析】【分析】作AD⊥y轴，由点Am，1在y=−2x上知A−2，1，即AD=2、OD=1，由y=kx−3可得B0，−3，即BO=3、BD=4，再根据勾股定理求解可得．
【解析】解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，
∵点Am，1在y=−2x上，
∴−2m=1，
解得：m=−2，即A−2，1，
则AD=2、OD=1，
由y=kx−3可得B0，−3，即BO=3，
∴BD=4，
则AB=AD2+BD2=22+42=25，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键掌握函数图象上的点的坐标必定满足函数解析式及勾股定理的运用．
10. A
【解析】连接 BC，
因为 AB 是直径，
所以 ∠ACB=90∘，
因为 ∠BAC=26∘，
所以 ∠B=90∘−∠BAC=90∘−26∘=64∘，
根据翻折的性质，AC 所对的圆周角为 ∠B，ABC 所对的圆周角为 ∠ADC，
所以 ∠DCA=∠B−∠BAC=64∘−26∘=38∘．
第二部分
11. 1080∘
【解析】8−2⋅180∘=6×180∘=1080∘．
12. 三角形稳定性
13. −1 或 −7
14. 1.8
15. 7
16. 38⋅34n−1
【解析】∵ 等边三角形 ABC 的边长为 2，AB1⊥BC，
∴BB1=B1C=1，∠ACB=60∘，
∴B1B2=32B1C=32，B2C=12，
∴S1=12×12×32=38，
依题意得，图中阴影部分的三角形都是相似图形，且相似比为 32，
故 Sn=38⋅34n−1．
第三部分
17. 1−2++13−2−π−3.140+tan45∘=2−1+9−1+1=8+2.
18. a−2ab−b2a÷a−ba=a2−2ab+b2a⋅aa−b=a−b2a⋅aa−b=a−b.
当 a=3，b=−1 时，
原式=3−−1=3+1=4.
19. （1） 如图：△A1B1C1，即为所求；
（2） 如图：△A2B2C2，即为所求；
（3） r=12+42=17，
A 经过的路径长：14×2×π×17=172π．
20. （1） 抽取的学生总人数为 6÷12%=50（人），
x%=950=18%，
∴x=18，
娱乐是人数 =50−6−15−9=20（人），
统计图如图所示：
（2） 1800×2050=720（人），
答：估计该校大约有 720 名学生最喜欢娱乐类节目．
21. （1） 作线段 AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 E，点 E 即为所求．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形的面积为 8，AE=EB，
∴S△ADE=14S四边形ABCD=2，
∴S四边形EBCD=8−2=6．
22. （1） 设每辆小客车的座位数是 x 个，每辆大客车的座位数是 y 个，
根据题意可得：
y−x=15,4y+6x=310,
解得：
x=25,y=40.
答：每辆大客车的座位数是 40 个，每辆小客车的座位数是 25 个．
（2） 设租用 a 辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，
则
25a+4010−a≥310+40.
解得：
a≤313.
符合条件的 a 最大整数为 3．
答：最多租用小客车 3 辆．
23. （1） ∵ 直线 y=−x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B 、点 C，
∴B3,0，C0,3，
把 B，C 坐标代入抛物线解析式可得 9+3b+c=0,c=3,
解得 b=−4,c=3,
∴ 抛物线解析式为 y=x2−4x+3．
（2） 2,32 或 2,7 或 2,−1+25 或 2,−1−25．
【解析】∵y=x2−4x+3=x−22−1，
∴ 抛物线对称轴为 x=2，P2,−1，
设 M2,t，且 C0,3，
∴MC=22+t−32=t2−6t+13，MP=∣t+1∣，PC=22+−1−32=25，
∵△CPM 为等腰三角形，
∴ 有 MC=MP，MC=PC 和 MP=PC 三种情况，
①当 MC=MP 时，则有 t2−6t+13=∣t+1∣，解得 t=32，此时 M2,32；
②当 MC=PC 时，则有 t2−6t+13=25，解得 t=−1（与 P 点重合，舍去）或 t=7，此时 M2,7；
③当 MP=PC 时，则有 ∣t+1∣=25，解得 t=−1+25 或 t=−1−25，此时 M2,−1+25或2,−1−25；
综上可知存在满足条件的点 M，其坐标为 2,32 或 2,7 或 2,−1+25 或 2,−1−25．
（3） 如图，过 E 作 EF⊥x轴，交 BC 于点 F，交 x 轴于点 D，
设 Ex,x2−4x+3，则 Fx,−x+3，
∵0 ∴EF=−x+3−x2−4x+3=−x2+3x，
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=12EF⋅OD+12EF⋅BD=12EF⋅OB=12×3−x2+3x=−32x−322+278.
∴ 当 x=32 时，△CBE 的面积最大，此时 E 点坐标为 32,−34，
即当 E 点坐标为 32,−34 时，△CBE 的面积最大．
24. （1） ∵△BCO 中，BO=CO，
∴∠B=∠BCO，
在 Rt△BCE 中，∠2+∠B=90∘，
又 ∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BCO=90∘，即 ∠FCO=90∘，
∴CF 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ACB=∠FCO=90∘，
∴∠ACB−∠BCO=∠FCO−∠BCO，即 ∠3=∠1，
∴∠3=∠2，
∵∠4=∠D，
∴△ACM∽△DCN．
（3） ∵⊙O 的半径为 4，即 AO=CO=BO=4，
在 Rt△COE 中，cs∠BOC=14，
∴OE=CO⋅cs∠BOC=4×14=1，
由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得：
CE=CO2−EO2=42−12=15，
AC=CE2+AE2=152+52=210，
BC=CE2+BE2=152+32=26，
∵AB 是 ⊙O 直径，AB⊥CD，
∴ 由垂径定理得：CD=2CE=215，
∵△ACM∽△DCN，
∴CMCN=ACCD，
∵ 点 M 是 CO 的中点，CM=12AO=12×4=2，
∴CN=CM⋅CDAC=2×215210=6，
∴BN=BC−CN=26−6=6．
25. （1） t=52
【解析】因为 AB=AC=10 cm，BD⊥AC 于点 D，且 BD=8 cm．
所以 AD=AB2−AD2=6 cm，
因为 S△ABC=12×AC×BD=40 cm2，
所以 S四边形PQCM=916S△ABC=452 cm2，
因为 PQ∥AC，
所以 △BPQ∽△BAC，
所以 S△BPQS△ABC=BPAB2=t2100，BPAB=BFBD，
所以 S△BPQ=25t2，BF=45t，
因为 S△APM=12×2t×8−45t=8t−45t2，
所以 S△APM+S△BPQ=S△ABC−S四边形PQCM=40−452=352 cm2，
所以 25t2+8t−45t2=352，
所以 t=52，t=352（不合题意舍去），
所以当 t=52 时，S四边形PQCM=916S△ABC．
（2） 由（1）可知：S△ABC=12×AC×BD=40 cm2，S△BPQ=25t2，S△APM=12×2t×8−45t=8t−45t2，
因为 S△ABC−S△APM+S△BPQ=S四边形PQCM，
所以 y=40−25t2+8t−45t2=25t2−8t+40．
（3） 如图，过点 M 作 MH⊥AB 于点 H，
因为点 M 在线段 PC 的垂直平分线上，
所以 MP=MC，
因为 ∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90∘，
所以 △AHM∽△ADB，
所以 AMAB=AHAD=HMBD，
所以 2t10=AH6=HM8，
所以 AH=65t，HM=85t，
所以 PH=AB−BP−AH=10−t−65t=10−115t，MC=AC−AM=10−2t，
所以 PM2=PH2+HM2=10−115t2+85t2，
因为 PM=MC，
所以 PM2=MC2，
所以 10−2t2=10−115t2+85t2，
所以 t=2017，t=0（不合题意舍去），
所以当 t=2017 s 时，点 M 在线段 PC 的垂直平分线上．