2019年广东省佛山市禅城区中考一模数学试卷

这是一份2019年广东省佛山市禅城区中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列说法正确的是
A. 负数没有倒数B. 正数的倒数比自身小
C. 任何有理数都有倒数D. −1 的倒数是 −1

2. 如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从 54 万亿元增长 80 万亿元，稳居世界第二，其中 80 万亿用科学记数法表示为
A. 8×1012B. 8×1013C. 8×1014D. 0.8×1013

4. 下列运算中，正确的是
A. 2+2=22B. x6÷x3=x2C. 2−1=−2D. a3⋅a2=a5

5. 如图，直线 l1∥l2 ， 且分别与直线 l 交于 C，D 两点，把一块含 30∘ 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 ∠1=52∘ ，则 ∠2 的度数为
A. 92∘B. 98∘C. 102∘D. 108∘

6. 将多项式 x−x3 因式分解正确的是
A. x1−x2B. xx2−1
C. x1+x1−xD. xx+1x−1

7. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，AC 是 ⊙O 的直径，∠ACB=40∘，点 D 是劣弧 BC 上一点，连接 CD，BD，则 ∠D 的度数是
A. 50∘B. 45∘C. 140∘D. 130∘

8. 下列叙述，错误的是
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线相等的四边形是矩形

9. 如图，这是根据某班 40 名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，根据统计图提供的信息，可得到该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是
A. 8，9B. 8，8.5C. 16，8.5D. 16，10.5

10. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中错误的是
A. 函数有最小值B. 当 −10
C. a+b+c<0D. 当 x<12，y 随 x 的增大而减小

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 一个多边形的每一个外角为 30∘，那么这个多边形的边数为 ．

12. 若函数 y=m−2x 的图象在每个象限内 y 的值随 x 值的增大而增大，则 m 的取值范围为 ．

13. 如图，以点 O 为位似中心，将 △ABC 缩小得到 △AʹBʹC，若 AAʹ=2OAʹ，则 △ABC 与 △AʹBʹCʹ 的周长比为 ．

14. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+1=0 有两个相等的实数根，则 b 的值为 ．

15. 如图，是由 10 个完全相同的小正方体堆成的几何体．若现在你还有若干个相同的小正方体，在保证该几何体的从上面、从正面、从左面看到的图形都不变的情况下，最多还能放 个小正方体．

16. 如图，ABCD 是围墙，AB∥CD，∠ABC=120∘，一根 6 m 长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子 B 处，另一端 E 处拴着一只羊，这只羊活动区域的最大面积为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：3−2+2−1−cs60∘−1−20．

18. 先化简，再求值：2x−6x−2÷5x−2−x−2，其中 x=−1．

19. 如图，已知 △ABC，∠BAC=90∘．
（1）尺规作图：作 ∠ABC 的平分线交 AC 于 D 点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若 ∠C=30∘，求证：DC=DB．

20. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把 DEF 部分打碎，现在只测得 AB=60 cm，BC=80 cm，∠A=120∘，∠B=60∘，∠C=150∘，你能设计一个方案，根据测得的数据求出 AD 的长吗?

21. 为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行．某施工队计划购买甲、乙两种树苗共 400 棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造．已知甲种树苗每棵 200 元，乙种树苗每棵 300 元．
（1）若购买两种树苗的总金额为 90000 元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵?
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵 ?

22. 某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图．
（1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有 人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为 %，如果学校有 800 名学生，估计全校学生中有 人喜欢篮球项目；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有 2 名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取 2 名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的 2 名同学恰好是 1 名女同学和 1 名男同学的概率．

23. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与一直线相交于 A1,0，C−2,3 两点，与 y 轴交于点 N，其顶点为 D．
（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式；
（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 △APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点 M，使 △ANM 的周长最小．若存在，请求出 M 点的坐标和 △ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．

24. 已知如图 1，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，BC=AC，点 D 在 AB 上，DE⊥AB 交 BC 于 E，点 F 是 AE 的中点．
（1）写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明；
（2）如图 2，将 △BDE 绕点 B 逆时针旋转 α0∘<α<90∘，其它条件不变，线段 FD 与线段 FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将 △BDE 绕点 B 逆时针旋转一周，如果 BC=4，BE=22，直接写出线段 BF 的范围．

25. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC=BC，连接 AC，过点 C 作直线 l∥AB，点 P 是直线 l 上的一个动点，直线 PA 与 ⊙O 交于另一点 D，连接 CD，设直线 PB 与直线 AC 交于点 E．
（1）求 ∠BAC 的度数；
（2）当点 D 在 AB 上方，且 CD⊥BP 时，求证：PC=AC；
（3）在点 P 的运动过程中，
①当点 A 在线段 PB 的中垂线上或点 B 在线段 PA 的中垂线上时，求出所有满足条件的 ∠ACD 的度数；
②设 ⊙O 的半径为 6，点 E 到直线 l 的距离为 3，连接 BD，DE，直接写出 △BDE 的面积．
答案
第一部分
1. D【解析】A．负数有倒数，例如 −1 的倒数是 −1，选项错误；
B．正数的倒数不一定比自身小，例如 0.5 的倒数是 2，选项错误；
C．0 没有倒数，选项错误；
D．−1 的倒数是 −1，正确．
2. D【解析】根据轴对称图形的概念，A，B，C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．
3. B【解析】80 万亿用科学记数法表示为 8×1013．
4. D【解析】A．2 与 2 不能合并，所以A选项错误；
B．x6÷x3=x3，所以B选项错误；
C．2−1=12，所以C选项错误；
D．a3⋅a2=a5，所以D选项正确．
5. B
【解析】如图，
∵直线l1∥l2，
∴∠1=∠3=52∘，
又 ∵∠4=30∘，
∴∠2=180∘−∠3−∠4=180∘−52∘−30∘=98∘．
6. C【解析】x−x3=x1−x2=x1−x1+x.
7. D【解析】∵AC 是 ⊙O 的直径，
∴∠ABC=90∘，
∴∠A=90∘−∠ACB=90∘−40∘=50∘，
∵∠D+∠A=180∘，
∴∠D=180∘−50∘=130∘．
8. D【解析】A．根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B．根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故此选项正确，不符合题意；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，故此选项正确，不符合题意；
D．根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，故此选项错误，符合题意．
9. A【解析】众数是一组数据中出现次数最多的数，即 8；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于 20，21 两个数的平均数，
由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 9．
10. B
【解析】A．由图象可知函数有最小值，故正确；
B．由抛物线可知当 −1C．当 x=1 时，y<0，即 a+b+c<0，故正确；
D．由图象可知在对称轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，故正确．
第二部分
11. 12
【解析】多边形的边数：360∘÷30∘=12，
则这个多边形的边数为 12．
12. m<2
【解析】∵ 函数 y=m−2x 的图象在每个象限内 y 的值随 x 值的增大而增大，
∴m−2<0，解得 m<2．
13. 3:1
【解析】由题意可知 △ABC∽△AʹBʹCʹ，
∵AAʹ=2OAʹ，
∴OA=3OAʹ，
∴ACAʹCʹ=OAOAʹ=31，
∴△ABC的周长△AʹBʹCʹ的周长=ACAʹCʹ=31．
14. ±2
【解析】根据题意知，Δ=b2−4=0，解得：b=±2．
15. 1
【解析】主视图是第一层三个小正方形，第二层是左边一个小正方形，中间一个小正方形，第三层是左边一个小正方形；
俯视图是第一层三个小正方形，第二层三个小正方形；
左视图是第一层两个小正方形，第二层两个小正方形，第三层左边一个小正方形．
不改变三视图，中间第二层加一个．
16. 38π3
【解析】（1）如图，扇形 BFG 和扇形 CGH 为羊活动的区域；
（2）S扇形GBF=120π×62360=12π m2，S扇形HCG=60π×22360=23π m2，
∴ 羊活动区域的面积为：12π+23π=38π3 m2．
第三部分
17. 原式=2−3+12−12−1=1−3.
18. 原式=2x−3x−2÷5−x+2x−2x−2=2x−3x−2⋅x−2−x+3x−3=−2x+3.
当 x=−1 时，原式=−1．
19. （1） 射线 BD 即为所求．
（2） ∵∠A=90∘，∠C=30∘，
∴∠ABC=90∘−30∘=60∘，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠CBD=12∠ABC=30∘，
∴∠C=∠CBD=30∘，
∴DC=DB．
20. 过 C 作 CM∥AB，交 AD 于 M．
∵∠A=120∘，∠B=60∘，
∴∠A+∠B=180∘，
∴AM∥BC，
∵AB∥CM，
∴ 四边形 ABCM 是平行四边形，
∴AB=CM=60 cm，BC=AM=80 cm，∠B=∠AMC=60∘，
∵AD∥BC，∠C=150∘，
∴∠D=180∘−150∘=30∘，
∴∠MCD=60∘−30∘=30∘=∠D，
∴CM=DM=60 cm，
∴AD=60 cm+80 cm=140 cm．
21. （1） 设购买甲种树苗 x 棵，则需购买乙种树苗 400−x 棵．由题意可得
200x+300400−x=90000.
解得
x=300.
所以 400−x=100．
答：甲种树苗需购买 300 棵，乙种树苗需购买 100 棵．
（2） 设购买甲种树苗 y 棵，则需购买乙种树苗 400−y 棵．根据题意，得
200y≥300400−y.
解得
y≥240.
答：至少应购买甲种树苗 240 棵．
22. （1） 5；20；80
【解析】调查的总人数为 20÷40%=50（人），
∴ 喜欢篮球项目的同学的人数 =50−20−10−15=5（人）；
“乒乓球”的百分比 =1050=20%，
∵800×550=80，
∴ 估计全校学生中有 80 人喜欢篮球项目．
（2） 如图．
（3） 画树状图为：
共有 20 种等可能的结果数，其中所抽取的 2 名同学恰好是 1 名女同学和 1 名男同学的结果数为 12，
∴ 所抽取的 2 名同学恰好是 1 名女同学和 1 名男同学的概率 =1220=35．
23. （1） 将 A1,0，C−2,3 代入 y=−x2+bx+c，
得：−1+b+c=0,−4−2b+c=3,
解得：b=−2,c=3,
∴ 抛物线的函数关系式为 y=−x2−2x+3；
设直线 AC 的函数关系式为 y=mx+nm≠0，
将 A1,0，C−2,3 代入 y=mx+n，
得：m+n=0,−2m+n=3,
解得：m=−1,n=1,
∴ 直线 AC 的函数关系式为 y=−x+1．
（2） 过点 P 作 PE∥y轴 交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQ∥y轴 交 x 轴于点 Q，如图 1 所示．
设点 P 的坐标为 x,−x2−2x+3−2 ∴PE=−x2−2x+3，EF=−x+1，EF=PE−EF=−x2−2x+3−−x+1=−x2−x+2．
∵ 点 C 的坐标为 −2,3，
∴ 点 Q 的坐标为 −2,0，
∴AQ=1−−2=3，
∴S△APC=12AQ⋅PF=−32x2−32x+3=−32x+122+278．
∵−32<0，
∴ 当 x=−12 时，△APC 的面积取最大值，最大值为 278，此时点 P 的坐标为 −12,154．
（3） 当 x=0 时，y=−x2−2x+3=3，
∴ 点 N 的坐标为 0,3．
∵y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−1．
∵ 点 C 的坐标为 −2,3，
∴ 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称．
令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，如图 2 所示．
∵ 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称，
∴MN=CM，
∴AM+MN=AM+MC=AC，
∴ 此时 △ANM 周长取最小值．
当 x=−1 时，y=−x+1=2，
∴ 此时点 M 的坐标为 −1,2．
∵ 点 A 的坐标为 1,0，点 C 的坐标为 −2,3，点 N 的坐标为 0,3，
∴AC=32+32=32，AN=32+12=10，
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=32+10．
∴ 在对称轴上存在一点 M−1,2，使 △ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为 32+10．
24. （1） 结论：FD=FC，DF⊥CF．
理由：如图 1 中．
∵∠ADE=∠ACE=90∘，AF=FE，
∴DF=AF=EF=CF，
∴∠FAD=∠FDA，∠FAC=∠FCA，
∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD，∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC，
∵CA=CB，∠ACB=90∘，
∴∠BAC=45∘，
∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2∠FAD+∠FAC=90∘，
∴DF=FC，DF⊥FC．
（2） 结论不变．
理由：
如图 2 中，延长 AC 到 M 使得 CM=CA，延长 ED 到 N，使得 DN=DE，
连接 BN，BM，EM，AN，延长 ME 交 AN 于 H，交 AB 于 O．
∵BC⊥AM，AC=CM，
∴BA=BM，同法 BE=BN，
∵∠ABM=∠EBN=90∘，
∴∠NBA=∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN=EM，
∴∠BAN=∠BME，
∵AF=FE，AC=CM，
∴CF=12EM，FC∥EM，同法 FD=12AN，FD∥AN，
∴FD=FC，
∵∠BME+∠BOM=90∘，∠BOM=∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH=90∘，
∴∠AHO=90∘，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．
【解析】方法二：
延长 CF 到 M，使得 CF=FM，连接 EM，CD，CE，DM，
证明 △CDM 是等腰直角三角形即可解决问题．
（3） 2≤BF≤32．
【解析】如图 3 中，当点 E 落在 AB 上时，BF 的长最大，最大值 =32；
如图 4 中，当点 E 落在 AB 的延长线上时，BF 的值最小，最小值 =2．
综上所述，2≤BF≤32．
25. （1） 如图 1 中，连接 BC．
∵AC=BC，
∴BC=CA，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠BAC=∠CBA=45∘．
（2） 如图 1 中，设 PB 交 CD 于 K．
∵AC=BC，
∴∠CDB=∠CDP=45∘，CB=CA，
∴CD 平分 ∠BDP，
又 ∵CD⊥BP，
∴∠DKB=∠DKP=90∘，
∵DK=DK，
∴△DKB≌△DKP，
∴BK=KP，即 CD 是 PB 的中垂线，
∴CP=CB=CA．
（3） ①（Ⅰ）如图 2，当 B 在 PA 的中垂线上，且 P 在右时，∠ACD=15∘；
理由：连接 BD，OC，作 BG⊥PC 于 G，则四边形 OBGC 是正方形．
∵BG=OC=OB=CG，
∵BA=BA，
∴PB=2BG，
∴∠BPG=30∘，
∵AB∥PC，
∴∠ABP=30∘，
∵BD 垂直平分 AP，
∴∠ABD=12∠ABP=15∘，
∴∠ACD=15∘；
（Ⅱ）如图 3，当 B 在 PA 的中垂线上，且 P 在左，∠ACD=105∘；
理由：作 BG⊥CP 于 G．
同法可证 ∠BPG=30∘，可得 ∠APB=∠BAP=∠APC=15∘，
∴∠ABD=75∘，
∵∠ACD+∠ABD=180∘，
∴∠ACD=105∘；
（Ⅲ）如图 4，A 在 PB 的中垂线上，且 P 在右时 ∠ACD=60∘；
理由：作 AH⊥PC 于 H，连接 BC．
同法可证 ∠APH=30∘，可得 ∠DAC=75∘，∠D=∠ABC=45∘，
∴∠ACD=60∘；
（Ⅳ）如图 5，A 在 PB 的中垂线上，且 P 在左时 ∠ACD=120∘，
理由：作 AH⊥PC 于 H．
同法可证：∠APH=30∘，可得 ∠ADC=45∘，∠DAC=60∘−45∘=15∘，
∴∠ACD=120∘．
②满足条件的 △BDE 的面积为 36 或 10817．
【解析】②如图 6 中，作 EK⊥PC 于 K．
∵EK=CK=3，
∴EC=32，
∵AC=62，
∴AE=EC，
∵AB∥PC，
∴∠BAE=∠PCE，
∵∠AEB=∠PEC，
∴△ABE≌△CPE，
∴PC=AB=CD，
∴△PCD 是等腰直角三角形，可得四边形 ADBC 是正方形，
∴S△BDE=12⋅S正方形ADBC=36．
如图 7 中，连接 OC，作 BG⊥CP 于 G，EK⊥PC 于 K．
由题意 CK=EK=3，PK=1，PG=2，
由 △AOQ∽△PCQ，可得 QC=125，PQ2=16×3425，
由 △AOQ∽△ADB，可得 S△ABD=54017，
∴S△PBD=S△ABP−S△ABD=7217，
∴S△BDE=32⋅S△PBD=10817．
综上所述，满足条件的 △BDE 的面积为 36 或 10817．