2020年广东省惠州市六校联考中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省惠州市六校联考中考一模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. −3 的绝对值是
A. 3B. −3C. −13D. 13

2. 2019 年末到 2020 年 3 月 16 日截止，世界各国感染新冠状肺炎病毒患者达到 15 万人，将数据 15 万用科学记数表示为
A. 1.5×104B. 1.5×103C. 1.5×105D. 1.5×102

3. 下列主视图正确的是
A. B.
C. D.

4. 下列计算正确的是
A. x23=x5B. x35=x15
C. x4⋅x5=x20D. −−x32=x6

5. 下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 数据 2，4，8，5，3，5，5，4 的众数、中位数分别为
A. 4.5，5B. 5，4.5C. 5，4D. 5，5

7. 已知 x>y，则下列不等式不成立的是
A. x−6>y−6B. 3x>3y
C. −2x<−2yD. −3x+6>−3y+6

8. 下列二次根式是最简二次根式的是
A. 4B. 12C. 0.5D. 21

9. 关于 x 的一元二次方程 x2−23x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是
A. m<3B. m>3C. m≤3D. m≥3

10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点 P 从点 B 出发沿着 B→A→C 的路径运动，同时点 Q 从点 A 出发沿着 A→C→D 的路径以相同的速度运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q 随之停止运动，设点 P 运动的路程为 x，y=PQ2，下列图象中大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 函数 y=x−2 中，自变量 x 的取值范围是 ．

12. 分解因式：2m2−2= ．

13. 一个多边形的每一个外角为 30∘，那么这个多边形的边数是 ．

14. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30∘，以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E，连接 CE，则阴影部分的面积是 （结果保留 π）．

15. 如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，若∠AOB=58∘，则∠BDC= 度．

16. 若代数式 a2−a−1=0，则代数式 3a2−3a−8= ．

17. 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 计算：3.14−π0−12−−3+4sin60∘．

19. 先化简，再求值：xx2−1÷1−1x+1，其中 x=3+1．

20. 如图，△ABC 内接于 ⊙O．
（1）作 ∠B 的平分线与 ⊙O 交于点 D（用尺规作图，不用写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）在（1）中，连接 AD，若 ∠BAC=60∘，∠C=66∘，求 ∠DAC 的大小．

21. 随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“ ”；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．

22. 在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年 3 月份的 5000 元/m2 下降到 5 月份的 4050 元/m2．
（1）问 4，5 两月平均每月降价的百分率是多少?
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到 7 月分该市的商品房成交均价是否会跌破 3000 元/m2?请说明理由．

23. 已知：如图，平行四边形 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，点 G 为 AD 的中点，连接 CG，CG 的延长线交 BA 的延长线于点 F，连接 FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若 AG=AB，∠BCD=120∘，判断四边形 ACDF 的形状，并证明你的结论．

24. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AO 是 △ABC 的角平分线．以 O 为圆心，OC 为半径作 ⊙O．
（1）求证：AB 是 ⊙O 的切线．
（2）已知 AO 交 ⊙O 于点 E，延长 AO 交 ⊙O 于点 D，tanD=12，求 AEAC 的值．
（3）在（2）的条件下，设 ⊙O 的半径为 3，求 AB 的长．

25. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的顶点坐标为 C3,6，并与 y 轴交于点 B0,3，点 A 是对称轴与 x 轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接 BP，AP，求 △ABP 的面积的最大值；
（3）如图②所示，在对称轴 AC 的右侧作 ∠ACD=30∘ 交抛物线于点 D，求出 D 点的坐标；并探究：在 y 轴上是否存在点 Q，使 ∠CQD=60∘?若存在，求点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】−3 的绝对值是 3．
2. C【解析】15 万 =15×104=1.5×105．
3. A【解析】从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
4. B【解析】A．x23=x6，故本选项不合题意；
B．x35=x15，正确，故本选项符合题意；
C．x4⋅x5=x9，故本选项不合题意；
D．−−x32=−x6，故本选项不合题意．
5. B
【解析】A、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；
B、图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；
C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；
D、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；
故选：B．
6. B【解析】数据中 5 出现的次数最多，所以众数为 5，将数据重新排列为 2，3，4，4，5，5，5，8，则中位数为 4+52=4.5．
7. D【解析】A、 ∵x>y，
∴x−6>y−6，故本选项错误；
B、 ∵x>y，
∴3x>3y，故本选项错误；
C、 ∵x>y，
∴−x<−y，
∴−2x<−2y，故本选项错误；
D、 ∵x>y，
∴−3x<−3y，
∴−3x+6<−3y+6，故本选项正确．
8. D【解析】A．4=2，本选项不合题意；
B．12=23，本选项不合题意；
C．0.5=22，本选项不合题意；
D．不能化简，符合题意．
9. A【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−23x+m=0 有两个不相等的实数根，
∴Δ=−232−4m>0，
∴m<3．
10. B
【解析】在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=6，BC=10，
∴AC=BC2−AB2=8．
当 0≤x≤6 时，AP=6−x，AQ=x，
∴y=PQ2=AP2+AQ2=2x2−12x+36；
当 6 ∴y=PQ2=AQ−AP2=36；
当 8 ∴y=PQ2=CP2+CQ2=2x2−44x+260．
第二部分
11. x≥2
【解析】依题意，得 x−2≥0，解得：x≥2．
12. 2m+1m−1
【解析】2m2−2=2m2−1=2m+1m−1.
13. 12
14. 3−13π
【解析】过 D 点作 DF⊥AB 于点 F．
∵AD=2，AB=4，∠A=30∘，
∴DF=AD=1，EB=AB−AE=2，
∴ 阴影部分的面积：
4×1−30×π×22360−2×1÷2=4−13π−1=3−13π.
15. 29
【解析】【分析】根据∠BDC=12∠BOC求解即可；
【解析】解：连接OC．
∵AB=BC，
∴∠AOB=∠BOC=58∘，
∴∠BDC=12∠BOC=29∘，
故答案为29．
【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16. −5
【解析】移项得：a2−a=1，
两边同时乘 3 得：3a2−3a=3，
∴3a2−3a−8=3−8=−5．
17. 75
【解析】观察每个图形最上边正方形中数字规律为 1，3，5，7，9，11．左下角数字变化规律依次乘 2 为：2，22，23，24，25，26．
所以，b=26 观察数字关系可以发现，右下角数字等于前同图形两个数字之和．
所以 a=26+11=75．
第三部分
18. 3.14−π0−12−−3+4sin60∘=1−23−3+23=−2.
19. 原式=xx+1x−1÷xx+1=xx+1x−1⋅x+1x=1x−1.
当 x=3+1 时，原式=33．
20. （1） 如图所示，BD 即为所求．
（2） ∵∠BAC=60∘，∠C=66∘，
∴∠ABC=180∘−∠BAC−∠C=54∘，
由作图可知 BD 平分 ∠ABC，
∴∠DAC=∠DBC=12∠ABC=27∘．
21. （1） 200；81∘
【解析】本次活动调查的总人数为 45+50+15÷1−15%−30%=200 人，
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 360∘×45200=81∘．
（2） 补全图形如下：
微信
【解析】微信人数为 200×30%=60 人，银行卡人数为 200×15%=30 人，
由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”．
（3） 将微信记为 A 、支付宝记为 B 、银行卡记为 C，画树状图如下：
画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有 3 种，
∴ 两人恰好选择同一种支付方式的概率为 39=13．
22. （1） 设两月平均每月降价的百分率是 x，根据题意得：
50001−x2=4050.1−x2=0.81.
解得：
x1=10%,x2=1.9不合题意,舍去.
答：4，5 两月平均每月降价的百分率是 10%．
（2） 不会跌破 3000 元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计 7 月份该市的商品房成交均价为：40501−x2=4050×0.92=3280>3000．
由此可知 7 月份该市的商品房成交均价不会跌破 3000 元/m2．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
（2） 结论：四边形 ACDF 是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴ 四边形 ACDF 是平行四边形，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120∘，
∴∠FAG=60∘，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG 是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，
∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴ 四边形 ACDF 是矩形．
24. （1） 如图，过点 O 作 OF⊥AB 于点 F，
∵AO 平分 ∠CAB，OC⊥AC，OF=AB，
∴OC=OF，
∴AB 是 ⊙O 的切线．
（2） 如图，连接 CE．
∵ED 是 ⊙O 的直径，
∴∠ECD=90∘，
∴∠ECO+∠OCD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACE+∠ECO=90∘，
∴∠ACE=∠OCD，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ACE=∠ODC，
∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∼△ADC，
∴AEAC=CECD，
∵tan∠D=12，
∴CECD=12，
∴AEAC=12．
（3） 由（2）可知 AEAC=12，
∴ 设 AE=x，AC=2x，
∵△ACE∽△ADC，
∴AEAC=ACAD，
∴AC2=AE⋅AD，
∴2x2=xx+6，
解得：x=2 或 x=0（不合题意，舍去），
∴AE=2，AC=4，
由（1）可知：AC=AF=4，
∠OFB=∠ACB=90∘，
∵∠B=∠B，
∴△OFB∽△ACB，
∴BFBC=OFAC，
设 BF=a，
∴BC=4a3，
∴BO=BC−OC=4a3−3，
在 Rt△BOF 中，BO2=OF2+BF2，
∴4a3−32=32+a2，
∴ 解得：a=727 或 a=0（不合题意，含去），
∴AB=AF+BF=1007．
25. （1） 抛物线顶点坐标为 C3,6，
∴ 可设抛物线解析式为 y=ax−32+6，
将 B0,3 代入可得 a=−13，
∴y=−13x2+2x+3．
（2） 连接 PO．
BO=3，AO=3，
设 Pn,−13n2+2n+3，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP−S△ABO，
S△BPO=32n，S△APO=−12n2+3n+92，S△ABO=92，
∴S△ABP=S△BOP+S△AOP−S△ABO=−12n2+92n=−12n−922+818．
∴ 当 x=92 时，S△ABP 的最大值为 818．
（3） 存在，设 D 点的坐标为 t,−13t2+2t+3．
过 D 作对称轴的垂线，垂足为 G．
则 DG=t−3，CG=6−−13t2+2t+3=13t2−2t+3，
∴∠ACD=30∘，
∴2DG=DC，
在 Rt△CGD 中，CG=3DG，
∴3t−3=13t2−2t+3，
∴t=3+33 或 t=3（舍）．
∴D3+33,−3，
∴AG=3，GD=33，
连接 AD，在 Rt△ADG 中，
∴AD=AG2+GD2=6，
∴AD=AC=6，∠CAD=120∘，
∴ 在以 A 为圆心，AC 为半径的圆与 y 轴的交点为 Q 点，
此时，∠CQD=12∠CAD=60∘，
设 Q0,m，AQ 为圆 A 的半径，AQ2=OA2+QO2=9+m2，
∴AQ2=AC2，
∴9+m2=36，
∴m=33 或 m=−33．
综上所述：Q 点坐标为 0,33 或 0,−33．