2021中考数学真题分类 第三单元 函数

这是一份2021中考数学真题分类 第三单元 函数，共384页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，若点P，在平面直角坐标系xOy中，点M等内容，欢迎下载使用。
课时9 函数及其图象
平面直角坐标系中点的坐标特征
（2021•北京）12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为 　 -2　．
（2021•贵港）5．在平面直角坐标系中，若点P（a﹣3，1）与点Q（2，b+1）关于x轴对称，则a+b的值是（　C　）
A．1B．2C．3D．4
（2021•贺州）4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ D ）
A. （－3，2）B. （3，－2）C. （－2，－3）D. （－3，－2）
（2021•来宾）7. 平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是（ B ）
A. B. C. D.
（2021•安顺）10.已知反比例函数（）的图象与正比例函数（）的图象相交于，两点，若点的坐标是，则点的坐标是（ C ）
A.B.C.D.
（2021•安顺）14.如图，在平面直角坐标系中，菱形对角线的交点坐标是，点的坐标是，且，则点的坐标是_____.

（2021•海南）7. 如图，点都在方格纸的格点上，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标是（ D ）

A. B. C. D.
（2021•海南）15. 如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____．

（2021•鄂州）14. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将点绕点顺时针旋转得到点，则点的坐标为_____________．

（2021•宜昌）13．如图，在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移2个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 　（1，﹣2）　．

（2021•台湾）1.如图的坐标平面上有A、B、C、D四点.根据图中各点位置判断，哪一个点在第二象限(  A  )
A. A
B. B
C. C
D. D
3
（2021•山西）12. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中， 表示叶片“顶部”A，B 两点的坐标分别为(-2, 2) ， (-3, 0) ，则叶杆“底部”点 C 的坐标为

（2021•成都）4．在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣4，2）B．（4，2）C．（﹣4，﹣2）D．（4，﹣2）
（2021•烟台）7．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠BCD＝120°，则点D的坐标为（　　）

A．（2，2）B．（，2）C．（3，）D．（2，）
【分析】根据直角三角形的性质得出OB，OA的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可．
【解答】解：∵菱形ABCD，∠BCD＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵B（﹣1，0），
∴OB＝1，OA＝，AB＝2，
∴A（0，），
∴BC＝AD＝2，
∴C（1，0），D（2，），
故选：D．
（2021•天津）8．如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，1），
（﹣2，﹣2），（2，﹣2），则顶点D的坐标是（　　）
A．（﹣4，1）B．（4，﹣2）
C．（4，1）D．（2，1）

（2021•自贡）8．（4分）如图，A（8，0），C（﹣2，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（　　）

A．（0，5）B．（5，0）C．（6，0）D．（0，6）
【分析】根据已知可得AB＝AC＝10，OA＝8．利用勾股定理即可求解．
【解答】解：根据已知可得：AB＝AC＝10，OA＝8．
在Rt△ABO中，＝6．
∴B（0，6）．
故选：D．
8. （2021•丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ C ）

A. 将B向左平移4.5个单位B. 将C向左平移4个单位
C. 将D向左平移5.5个单位D. 将C向左平移3.5个单位
3. （2021•雅安）在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10．（2021 湘西州）已知点M（x，y）在第一象限，且x+y＝12，点A（10，0）在x轴上，当△OMA为直角三角形时，点M的坐标为（　　）
A．（10，2），（8，4）或（6，6）B．（8，4），（9，3）或（5，7）
C．（8，4），（9，3）或（10，2）D．（10，2），（9，3）或（7，5）
6. （2021•泸州）在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点的坐标为（ C ）
A. (2，2)B. (-2，2)C. (-2，-2)D. (2，-2)
6．（2021•凉山州）在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A（2，1）的对应点A'的坐标为（﹣2，﹣3），则点B（﹣2，3）的对应点B'的坐标为（　C　）
A．（6，1）B．（3，7）C．（﹣6，﹣1）D．（2，﹣1）
15．（2021•淄博）在直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，将点A1向左平移3个单位得到点A2，则A2的坐标为 　 　．
18．（2021•临沂）在平面直角坐标系中，□ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是(，1)，(2，1). 将□ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是　　　.
12.（2021•大连）在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位长度，得到点P，则点的坐标是__________.
11. （2021•扬州）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为___2____．
14.（2021•常州） 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若，则点A的坐标是___（3，0）_______．

（2021•金华）15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是 　(﹣﹣,+)　．

【分析】如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,根据点A 的横坐标为1，构建方程求出a,解直角三角形求出FJ,KT,可得结论．
【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,

在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,
∴AH＝AD＝a,
∴OH＝4a,
∵点A的横坐标为1，
∴4a＝1,
∴a＝,
在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a＝,
∴PQ＝PF＝,
∵FK⊥PQ,
∴PK＝KQ,
∴FK＝PK＝QK＝,
∵KJ＝，PT＝1+(﹣)＝+,
∴FJ＝+,KT＝PT﹣PK＝+﹣＝+,
∴F(﹣﹣,+)．
故答案为：(﹣﹣,+)．

函数自变量的取值范围
（2021•哈尔滨）12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
（2021•鹤岗）12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≠2　．
（2021•牡丹江）12．在函数y＝+中，自变量x的取值范围是 　1≤x≤2　．
（2021•无锡）10．设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．
其中，正确的有（　　）
A．②③B．①④C．①③D．②④
【分析】根据当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”，逐项进行判断即可．
【解答】解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值为﹣，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
11．（2021•鄂尔多斯）函数y＝中自变量x的取值范围是 　 　．
15. （2021•赤峰）在函数中，自变量x的取值范围是__x≥－1且x≠___．
13．（2021•凉山州）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥﹣3且x≠0　
4. （2021•泸州）函数的自变量x的取值范围是（ B ）
A. x＜1B. x＞1C. x≤1D. x≥1

动点函数图象
（2021•武威）10. 如图1，在中，于点．动点从点出发，沿折线方向运动，运动到点停止．设点的运动路程为的面积为与的函数图象如图2，则的长为（ B ）


A. 3B. 6C. 8D. 9
【详解】解：根据函数图象可知，点M的运动路程，点 M运动到点B的位置时，的面积y达到最大值3，即的面积为3．
∵
∴
∴．
∴，即： ，
，即： ．

∵，
∴．
两式相加，得，2AD=6．
∴AC=2AD=6．
故选：B
（2021•玉林）12．图（1），在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/秒的速度逆时针运动一周，图（2）是点P运动时，线段AP的长度y（cm）随运动时间x（秒）变化的关系图象，则图（2）中P点的坐标是（　C　）

A．（13，4.5）B．（13，4.8）C．（13，5）D．（13，5.5）
（2021•哈尔滨）10．周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（　　）

A．75m/min，90m/minB．80m/min，90m/min
C．75m/min，100m/minD．80m/min，100m/min
（2021•北京）8．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（　A　）

A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
8．如图，AC为矩形ABCD的对角线，已知AD＝3，点P沿折线C﹣A﹣D以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作PE⊥BC于点E（　D　）

A．B．
C．D．
（2021•武汉）16．如图（1），在△ABC中，AB＝AC，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，设x＝AD，y＝AE+CD（2），图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是 　﹣1　．

（2021•河南）10. 如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x， PA−PE=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（C）
A.4B.5C.6D. 7
（2021•青海）8.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点．用S1、S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　C　）
A．B． C． D．
（2021•维吾尔）9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度在矩形的边上沿A→B→C→D运动，点P与点D重合时停止运动．设运动的时间为t（单位：s），△APD的面积为S（单位：cm2），则S随t变化的函数图象大致为（　D　）

A．B．
C．D．
（2021•苏州）10．（3分）如图，线段AB＝10，点C、D在AB上，AC＝BD＝1．已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动．在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面，设点P的移动时间为t（秒），两个圆锥的底面面积之和为S，则S关于t的函数图象大致是（　　）










（2021•本溪）10．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　）

A．B．
C．D．
【分析】分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝60°，
∴∠ABD＝∠CDB＝30°，
∴BD＝2AD＝2，
当点P在AD上时，S＝•（2﹣2t）•（1﹣t）•sin60°＝（1﹣t）2（0＜t＜1），
当点P在线段BD上时，S＝（4﹣2t）•（t﹣1）＝﹣t2+t﹣（1＜t≤2），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
（2021•聊城）12. 如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依次分析当、、三种情况下的三角形面积表达式，再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项．
【详解】解：如图所示，分别过点D、点C向AB作垂线，垂足分别为点E、点F，
∵已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，
∴DE=CF=4，
∵点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，
∴PQ∥DE∥CF，
∵AD=5，
∴,
∴当时，P点在AE之间，此时，AP=t，
∵,
∴，
∴，
因此，当时，其对应的图像为，故排除C和D；
∵CD＝3，
∴EF=CD=3，
∴当时，P点位于EF上，此时，Q点位于DC上，其位置如图中的P1Q1，则，
因此当时，对应图像为，即为一条线段；
∵∠ABC＝45°，
∴BF=CF=4，
∴AB=3+3+4=10，
∴当时，P点位于FB上，其位置如图中的P2Q2，此时，P2B=10-t，
同理可得，Q2P2=P2B=10-t，
，
因此当时，对应图像为，其为开口向下的抛物线的的一段图像；
故选：B．

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能分情况讨论等，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
10．（2021•鄂尔多斯）如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的一点，点M从点A出发沿折线AH﹣HC﹣CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运动到点B停止，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t（s），△AMN的面积为S（cm2），已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（　　）

①当0＜t≤6时，△AMN是等边三角形．
②在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有3个．
③当0＜t≤6时，S＝．
④当t＝9+时，△ADH～△ABM．
⑤当9＜t＜9+3时，S＝﹣3t+9+3．
A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤
8. （2021•广元）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（ A ）

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8．（2021•潍坊）记实数x1，x2，…，xn中的最小数为min|x1，x2，…，xn|＝﹣1，则函数y＝min|2x﹣1，x，4﹣x|的图象大致为（　　）
A．B．
C．D．
12. （2021•威海）如图，在菱形ABCD中，，，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s速度沿A﹣C﹣D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A﹣B﹣C﹣D的方向运动，当其中一点到达D点时，两点停止运动．设运动时间为x（s），的面积为y（cm2），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ A ）

A. B.
C. D.
10．（2021•通辽）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P，Q同时从点A出发，点P沿A→B→C的路径运动，点Q沿A→D→C的路径运动，点P，Q的运动速度相同，当点P到达点C时，点Q也随之停止运动，连接PQ．设点P的运动路程为x，PQ2为y，则y关于x的函数图象大致是（　C　）

A．B．
C．D．
8. （2021•常州）为规范市场秩序、保障民生工程，监管部门对某一商品的价格持续监控．该商品的价格（元/件）随时间t（天）的变化如图所示，设（元/件）表示从第1天到第t天该商品的平均价格，则随t变化的图像大致是（ A ）

A. B.
C. D.
8. （2021 张家界）若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ D ）

A. B. C. D.
10．（2021 益阳）如图，已知▱ABCD的面积为4，点P在AB边上从左向右运动（不含端点），△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

A．B．
C．D．

函数图象的实际应用
（2021•来宾）5. 如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是（ A ）

A. 这一天最低温度是-4℃B. 这一天12时温度最高C. 最高温比最低温高8℃D. 0时至8时气温呈下降趋势
（2021•海南）12. 李叔叔开车上班，最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了几分钟，为了按时到单位，李叔叔在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶，则汽车行驶的路程y（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系的大致图象是（ B ）
A. B. C. D.
（2021•齐齐哈尔）6. 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有40升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油．则油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数图象大致是（ C ）
A. B.
C. D.
（2021•武汉）8．一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图（　B　）

A．hB．hC．hD．h
（2021•台湾）7.已知缆车从起点行驶到终点需花费8分钟，如图表示行驶过程中缆车的海拔高度与行驶时间的关系.根据如图判断，下列叙述何者正确？(  B  )
A. 终点的海拔高度比起点高300公尺，行驶时间的前4分钟都在上升
B. 终点的海拔高度比起点高300公尺，行驶时间的末4分钟都在上升
C. 终点的海拔高度比起点高350公尺，行驶时间的前4分钟都在上升
D. 终点的海拔高度比起点高350公尺，行驶时间的末4分钟都在上升
（2021•菏泽）8．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为（　　）

A．B．2C．8D．10
【分析】根据函数图象中的数据可以分别求得矩形的边长BC，AB的长，从而可以求得矩形的面积．
【解答】解：如图所示，过点B、D分别作y＝2x+1的平行线，交AD、BC于点E、F．
由图象和题意可得AE＝4﹣3＝1，CF＝8﹣7＝1，BE＝DF＝，BF＝DE＝7﹣4＝3，
则AB＝＝＝2，BC＝BF+CF＝3+1＝4，
∴矩形ABCD的面积为AB•BC＝2×4＝8．
故选：C．


（2021•资阳）9．一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟；
②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；
③在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1.5，△ABP的面积为y．
其中，符合图中函数关系的情境个数为（　　）

A．3B．2C．1D．0
【分析】根据下面的情境，分别计算判断即可．
【解答】解：①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，离家的距离＝600×5.5＝1500（米）＝1.4（千米），
原地停留＝4.5﹣3.5＝2（分），
返回需要的时间＝1500÷1000＝7.5（分），4.3+1.5＝3（分），
故①符合题意；
②1.5÷7.6＝2.4（秒），2.5+6＝4.5（秒），5.5+1.6＝6（秒），
故②符合题意；
③根据勾股定理得：AC＝＝＝7.5,
当点P在AC上运动时，y随x增大而增大，y＝,
当点P在CD上运动时，y不变，
当点P在AD上运动时，y随x增大而减小，
故③符合题意；
故选：A．
8．（2021 邵阳）某天早晨7：00，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障，就地修车耽误了一段时间，修好车后继续骑行，7：30赶到了学校．如图所示的函数图象反映了他骑车上学的整个过程．结合图象，判断下列结论正确的是（　A　）

A．小明修车花了15min
B．小明家距离学校1100m
C．小明修好车后花了30min到达学校
D．小明修好车后骑行到学校的平均速度是3m/s
（2021•嘉兴）20．（8分）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米~80米为“中途期”，80米~100米为“冲刺期”．市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y（m/s）与路程x（m）之间的观测数据，绘制成曲线如图所示．
（1）y是关于x的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．

【分析】（1）根据函数的定义，可直接判断；
（2）由图象可知，“加速期”结束时，即跑30米时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．建议合理即可．
【解答】解：（1）y是x的函数，在这个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应．
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．

课时10 一次函数
一次函数的图象与性质
（2021•武威）5. 将直线向下平移2个单位长度，所得直线的表达式为（ A ）
A. B. C. D.
（2021•黄石）16．（4分）将直线y＝﹣x+1向左平移m（m＞0）个单位后，经过点（1，﹣3），则m的值为 　﹣3　．
（2021•毕节）16.将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为_________。

（2021•北京）23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
（2021•贺州）17. 如图，一次函数与坐标轴分别交于，两点，点，分别是线段，上的点，且，，则点的标为________．

（2021•来宾）9. 一次函数y=2x+1的图像不经过 (  D   )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D. 第四象限
（2021•柳州）10. 若一次函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（ B ）

A. B. C. y随x的增大而增大D. 时，
（2021•黔东南）9．已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰直角三角形，则点P的坐标为（　C　）
A．（1，1）
B．（1，1）或（1，2）
C．（1，1）或（1，2）或（2，1）
D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1）
（2021•陕西）6．在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象（　　）
A．﹣5B．5C．﹣6D．6
（2021•苏州）6．（3分）已知点A（，m），B（，n）在一次函数y＝2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞nB．m＝nC．m＜nD．无法确定

（2021•营口）9．已知一次函数y＝kx﹣k过点（﹣1，4），则下列结论正确的是（　　）
A．y随x增大而增大
B．k＝2
C．直线过点（1，0）
D．与坐标轴围成的三角形面积为2

（2021•苏州）16．（3分）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为 　0＜x＜　．
（2021•成都）21．（4分）在正比例函数y＝kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P（3，k）在第　一　象限．
（2021•达州）12．（3分）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为 　2　．

【解答】解：∵3＜4，
∴把x＝3代入y＝|x|﹣1得y＝3﹣1＝2，
故答案为2．
（2021•自贡）18．（4分）当自变量﹣1≤x≤3时，函数y＝|x﹣k|（k为常数）的最小值为k+3，则满足条件的k的值为　﹣2　．
【分析】分x≥k及x＜k两种情况去绝对值，再根据函数的增减性，结合最小值为k+3列出方程，即可得答案．
【解答】解：当x≥k时，函数y＝|x﹣k|＝x﹣k，此时y随x的增大而增大，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3，
∴x＝﹣1时取得最小值，即有﹣1﹣k＝k+3，
解得k＝﹣2，（此时﹣1≤x≤3，x≥k成立），
当x＜k时，函数y＝|x﹣k|＝﹣x+k，此时y随x的增大而减小，
而﹣1≤x≤3时，函数的最小值为k+3，
∴x＝3时取得最小值，即有﹣3+k＝k+3，
此时无解，
故答案为：﹣2．
11. （2021•赤峰）点在函数的图象上，则代数式的值等于（ B ）
A. 5B. -5C. 7D. -6
7．（2021•长沙）下列函数图象中，表示直线y＝2x+1的是（　B　）
A．B．
C．D．
7.（2021•扬州） 如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（ A ）

A. B. C. D.
5．（2021•乐山）（3分）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为（　D　）

A．y＝xB．y＝xC．y＝xD．y＝2x
14．（2021•眉山）一次函数y＝（2a+3）x+2的值随x值的增大而减少，则常数a的取值范围是 　a＜﹣　．

待定系数法求一次函数解析式
（2021•河南）12. 请写出一个图象经过原点的函数的解析式____y=x (答案不唯一）_____________.
（2021•呼和浩特）7．在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（　　）
A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4
【分析】过D点作DH⊥x轴于H，如图，证明△ABO≌△DAH得到AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，则D（7，3），然后利用待定系数法求直线BD的解析式．
【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，
∵点A（3，0），B（0，4）．
∴OA＝3，OB＝4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠ABO+∠DAH＝90°，
∴∠ABO＝∠DAH，
在△ABO和△DAH中，
，
∴△ABO≌△DAH（AAS），
∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，
∴D（7，3），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．
故选：A．

（2021•上海）14. 已知函数 y = kx 经过二、四象限， 且函数不经过 (-1,1) ， 请写出一个符合条件的函数解析式
13．（2021•潍坊）甲、乙、丙三名同学观察完某个一次函数的图象，各叙述如下：
甲：函数的图象经过点（0，1）；
乙：y随x的增大而减小；
丙：函数的图象不经过第三象限．
根据他们的叙述，写出满足上述性质的一个函数表达式为 　 　．

一次函数与方程（组）、不等式的关系
（2021•安徽）6. 某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（ B ）
A. 23cmB. 24cmC. 25cmD. 26cm
（2021•贺州）6. 直线（）过点，，则关于的方程的解为（ C ）
A. B. C. D.
（2021•鄂州）7. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线与直线相交于点．根据图象可知，关于的不等式的解集是（ C ）

A. B. C. D.
（2021•福建）8. 如图，一次函数的图象过点，则不等式的解集是（ C ）

A. B. C. D.
（2021•娄底）9. 如图，直线和与x轴分别相交于点，点，则解集为（ ）

A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据图像以及两交点，点的坐标得出即可．
【详解】解：∵直线和与x轴分别相交于点，点，
∴观察图像可知解集为，
故选：A．
（2021•重庆）22.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程.以下是我们研究函数的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题.
（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；

（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示.根据函数图象，直接写出不等式的解集.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）



10．（2021 邵阳）在平面直角坐标系中，若直线y＝﹣x+m不经过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1＝0的实数根的个数为（　D　）
A．0个B．1个C．2个D．1或2个
（2021•嘉兴）10．已知点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，且2a﹣5b≤0，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．≤B．≥C．≥D．≤
【分析】结合选项可知，只需要判断出a和b的正负即可，点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，代入可得关于a和b的等式，再代入不等式2a﹣5b≤0中，可判断出a与b正负，即可得出结论．
【解答】解：∵点P（a，b）在直线y＝﹣3x﹣4上，
∴﹣3a﹣4＝b，
又2a﹣5b≤0，
∴2a﹣5（﹣3a﹣4）≤0，
解得a≤﹣＜0，
当a＝﹣时，得b＝﹣，
∴b≥﹣，
∵2a﹣5b≤0，
∴2a≤5b，
∴≤．
故选：D．


一次函数的实际应用
（2021•恩施）9．某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（　C　）

A．W＝sB．W＝20sC．W＝8sD．s＝
（2021•重庆•B）7小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家．如图，反映了小明离家的距离y（单位：km）与时间t（单位：h）之间的对应关系．下列描述错误的是（　D　）

A．小明家距图书馆3km
B．小明在图书馆阅读时间为2h
C．小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h
D．小明去图书馆的速度比回家时的速度快

（2021•铜仁）19．（10分）某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1（万元）与月销售量x（辆）（x≥4）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
（1）请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝　x﹣2（x≥4）．　；
（2）每辆原售价为22万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y＝（每辆原售价﹣y1﹣进价）x，请你根据上述条件，求出月销售量x（x≥4）为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可知：y1与x成一次函数关系，
设y1＝kx+b（k≠0），
∵x＝4时，y1＝0，x＝6时，y1＝1，
∴，
解得：，
∴y1＝x﹣2（x≥4）．
故答案为：y1＝x﹣2（x≥4）．
（2）由（1）得：y1＝x﹣2（x≥4），
∴y＝[22﹣（x﹣2）﹣16]x＝x2+8x＝（x﹣8）2+32，
∴x＝8时，ymax＝32，
答：月销售量为8时，最大销售利润为32万元．
（2021•河北）23．（9分）如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点P）始终以3km/min的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点Q）一直保持在1号机P的正下方．2号机从原点O处沿45°仰角爬升，到4km高的A处便立刻转为水平飞行，再过1min到达B处开始沿直线BC降落，要求1min后到达C（10，3）处．
（1）求OA的h关于s的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
（2）求BC的h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少．
[注：（1）及（2）中不必写s的取值范围]

【解答】解：（1）∵2号飞机爬升角度为45°，
∴OA上的点的横纵坐标相同．
∴A（4，4）．
设OA的解析式为：h＝ks，
∴4k＝4．
∴k＝1．
∴OA的解析式为：h＝s．
∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方，
∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同．
∵2号机的爬升到A处时水平方向上移动了4km，爬升高度为4km，
又1号机的飞行速度为3km/min，
∴2号机的爬升速度为：4÷＝3km/min．
（2）设BC的解析式为h＝ms+n，
由题意：B（7，4），
∴，
解得：．
∴BC的解析式为h＝．
令h＝0，则s＝19．
∴预计2号机着陆点的坐标为（19，0）．
（3）∵PQ不超过3km，
∴5﹣h≤3．
∴，
解得：2≤s≤13．
∴两机距离PQ不超过3km的时长为：（13﹣2）÷3＝min．
（2021•大庆）23. 如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：

（1）图②中折线表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段表示_____________槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为_____________．
（2）注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）
【详解】解：（1）图②中折线表示乙槽中水深度与注入时间之间的关系；
线段表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系；
铁块的高度为16．
（2）设甲槽中水的深度为，把，代入，可得
，解得，
∴甲槽中水的深度为，
根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段，
设乙槽DE段水的深度为，把，代入，可得
，解得，
∴甲槽中水的深度为，
∴甲､乙两个水槽中水的深度相同时，，解得，
故注入2分钟时，甲､乙两个水槽中水的深度相同．
（2021•鹤岗）25．已知A、B两地相距240km，一辆货车从A前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后（在A地停留时间不计）立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）图中m的值是 　5　；轿车的速度是 　120　km/h；
（2）求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km？

解：（1）由图象得，m＝1+（3﹣1）×2＝5；
轿车的速度为：240÷2＝120（km/h）；
故答案为：5；120；
（2）①设yMN＝k1x+b1（k1≠0）（0≤x＜2.5），
∵图象经过点M（0，240）和点N（2.5，75），
∴，
解得，
∴yMN＝﹣66x+240（0≤x＜2.5），
yNG＝75（2.5≤x＜3.5）；
③设yGH＝k2x+b2（k2≠0）（3.5≤x≤5），
∵图象经过点G（3.5，75）和点N（5，0），
∴，
解得，
∴yGH＝﹣50x+250，
∴；
（3）货车从A前往B地的速度为：（240﹣75）÷2.5＝66（km/h），
根据题意，得66（1+x）+120＝240+12或66（1+x）+120＝240﹣12，
解得x＝1或x＝，
答：轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发1小时或小时与货车相距12km．
（2021•牡丹江）25.A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回C地停止行驶，乙车经C地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与所用的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出A，B两地的路程和甲车的速度；
（2）求乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）；
（3）出发后几小时，两车在途中距C地的路程之和为180千米？请直接写出答案．

【解答】解：（1）当0h时，甲车和乙车距C地为180km，
∴两地的路程为：180+180＝360km，
设甲车经过180km用了xh，
则：x+x+x+1＝5.5，
∴x＝1.5，
则甲车速度为：180÷1.5＝120（km/h）；
（2）设乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（3，0），（6，180）代入y＝kx+b（k≠0），
得：，
解得：，
∴乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为：y＝60x﹣180；
（3）由图可知，分别在3个时间段可能两车在途中距C地路程之和为180km，
①甲车从A地到C地，乙车从B到C，
﹣120x+180+60x+180＝180，
解得：x＝1；
②甲车从C到B，乙车从C到A，
﹣120x﹣300+60x﹣180＝180，
记得：x＝；
③甲车从B到C，乙车从C到A，
﹣120x+660+60x﹣180＝180，
解得：x＝5．
总上所述：分别在1h，h，5h这三个时间点，两车在途中距C地的路程之和为180km．
（2021•齐齐哈尔）22. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）请写出甲的骑行速度为　 　米/分，点M的坐标为　 　；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
【详解】（1）由题意得：甲的骑行速度为： =240（米/分），
240×（11﹣1）÷2=1200（米），
则点M的坐标为（6，1200），
故答案为240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵y=kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为：y=﹣240x+2640；
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20=60（米/分），

如图1所示：∵AB=1200，AC=1020，
∴BC=1200﹣1020=180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x=180﹣60x，
x=＞3，
此种情况不符合题意；
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x=60x﹣180，
x=4，
③当＜x≤6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240x﹣1020=60x﹣180，
x=＜，
此种情况不符合题意；
④当x=6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180=180（米），
即x=6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]=60x﹣180，x=6，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180=60x﹣180，
x=8，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
（2021•武威）25. 如图1，小刚家，学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示．

（1）小刚家与学校的距离为___________，小刚骑自行车的速度为________；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，与的函数表达式；
（3）小刚出发35分钟时，他离家有多远?
【详解】解：（1）小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，从起点3000m处为学校出发去5000m处为图书馆，
∴小刚家与学校的距离为3000m，
小刚骑自行车匀速行驶10分钟，从3000m走到5000m，
行驶的路程为5000-3000=2000m，
骑自行车的速度为2000÷10=200m/min，
故答案为：3000，200；
（2）小刚从图书馆返回家的时间：．
总时间：．
设返回时与的函数表达式为，
把代入得：，
解得，，
．
（3）小刚出发35分钟，即当时，
，
答：此时他离家．
（2021•绥化）26. 小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息，已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行．第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离（米）与小亮出发时间（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．

（1）_______，______；
（2）求和所在直线的解析式；
（3）直接写出为何值时，两人相距30米．
【详解】（1）∵小刚原来的速度米/秒，小亮的速度米/秒
B点小亮追上小刚，相遇


E点是小刚到达乙地

．
（2）由题意可知点横坐标为
∵小刚原来的速度米/秒，小亮的速度米/秒
∴纵坐标为

设

解得：

的横坐标为
的纵坐标为


设代入可得

解得：
．
（3）,，，，
设

解得：

设

解得：

当S=30时
，
，
，

t为46 ，50，110，138时，两人相距30米．
（2021•鄂州）21. 为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本（元）与种植面积（亩）之间满足一次函数关系，且当时，；当时，．
（1）求与之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）
（2021•黄冈）23．（10分）红星公司销售一种成本为40元/件产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元
【解答】解：（1）由题知，y＝5﹣（x﹣50）×0.8，
整理得y＝10﹣0.1x（40≤x≤100）；
（2）设月销售利润为z，由题知，
z＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（10﹣5.1x）＝﹣0.4x2+14x﹣400＝﹣0.6（x﹣70）2+90，
∴当x＝70时，z有最大值为90，
即当月销售单价是70元时，月销售利润最大；
（3）由（2）知，当月销售单价是70元时，
即（70﹣40﹣a）×（10﹣0.4×70）＝78，
解得a＝4，
∴a的值为4．
（2021•天门）22. 去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售．为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：，下表是某4个月的销售记录．每月销售量（万件）与该月销售价x（元/件）之间成一次函数关系．
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价x（元件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）
【详解】解：（1）设与的函数关系式为，
将点代入得：，解得，
则与的函数关系式为；
（2）当时，，
，
则（万元），
答：政府该月应付给厂家补贴4万元；
（3）设该月纯收入为万元，
由题意得：，
整理得：，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为32，
答：当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
（2021•十堰）23. 某商贸公司购进某种商品的成本为20元/，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y（元/）与时间x（天）之间的函数关系式为：且x为整数，且日销量与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量
142
138
132
124
…
填空：
（1）m与x的函数关系为___________；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售商品就捐赠n元利润（）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x的增大而增大，求n的取值范围．
【详解】解：（1）设，将，代入可得：
，解得，
∴；
（2）当时，
销售利润，
当时，销售利润最大为1568元；
当时，
销售利润，
当时，销售利润最大为1530元；
综上所述，第16天销售利润最大，最大为1568元；
（3）在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润为：
，
∵时，随x的增大而增大，
∴对称轴，解得．
（2021•宜昌）20．（8分）甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖．
x（单位：kg）表示购买苹果的重量，y（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买3kg苹果需付款 　30　元；购买5kg苹果需付款 　46　元；
（2）求付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式；
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，文文如果要购买10kg苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
【解答】解：（1）由题意可知：文文购买3kg苹果，不优惠，
∴文文购买3kg苹果需付款：3×10＝30（元），
购买5kg苹果，4kg不优惠，1kg优惠，
∴购买5kg苹果需付款：4×10+1×10×0.6＝46（元），
故答案为：30，46；
（2）由题意得：
当0＜x≤4时，y＝4x，
当x＞4时，y＝4×10+（x﹣4）×10×0.6＝6x+16，
∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y＝；
（3）文文在甲超市购买10kg苹果需付费：6×10+16＝76（元），
文文在乙超市购买10kg苹果需付费：10×10×0.8＝80（元），
∴文文应该在甲超市购买更划算．
（2021•武汉）22．（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费+其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得﹣＝100，
解得m＝3，
∴5.5m＝4.8，
∴每盒产品的成本是：4.5×5+4×3+6＝30（元），
答：每盒产品的成本为30元；
（2）根据题意，得w＝(x﹣30)[500﹣10(x﹣60)]＝﹣10x2+1400x﹣33000，
∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；
（3）由（2）知w＝﹣10x7+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，
∴当a≥70时，每天最大利润为16000元，
当60＜a＜70时，每天的最大利润为(﹣10a2+1400a﹣33000)元．
（2021•深圳）20．（8分）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：
x（万元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
（2021•毕节）25.某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游。甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元，经协商，甲旅行社的优惠条件是：老师、学生都按八折收费：乙旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生都按七五折收费，
（1）设参加这次红色旅游的老师学生共有名，，（单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅行社所需的费用，求，关于的函数解析式：
（2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少?
（2021•重庆）8.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s。甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示.下列说法正确的是

A.5s时，两架无人机都上升了40m
B.10s时，两架无人机的高度差为20m
C.乙无人机上升的速度为8m/s
D.10s时，甲无人机距离地面的高度是60m

（2021•上海）15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为 5 元/千克，现以 8 元/千克卖出，赚 元


（2021•衡阳）23．（8分）如图是一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小文购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为xcm，单层部分的长度为ycm．经测量，得到表中数据．
双层部分长度x（cm）
2
8
14
20
单层部分长度y（cm）
148
136
124
112
（1）根据表中数据规律，求出y与x的函数关系式；
（2）按小文的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳背带长．请计算此时双层部分的长度；
（3）设背带长度为Lcm，求L的取值范围．

【分析】（1）设出y与x的函数关系式为y＝kx+b，代入表中数据求系数即可；
（2）根据函数关系式和背带长度为130cm列出二元一次方程组解方程组即可；
（3）根据x和y都为非负数求出L的最大值和最小值即可确定取值范围．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，
由题知，
解得，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+152；
（2）根据题意知，
解得，
∴双层部分的长度为22cm；
（3）由题知，当x＝0时，y＝152，
当y＝0时，x＝76，
∴76≤L≤152．

（2021•南京）24．(8分)甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1(单位：m)与时间x(单位：min)之间的函数关系如图所示．
(1)在图中画出乙离A地的距离y2(单位：m)与时间x之间的函数图像；
(2)若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．


（2021•呼和浩特）
下表中有两种移动电话计费方式．

月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
考虑下列问题：
月使用费固定收：
主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费，被叫免费．
（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
小明升入初三再看这个问题，发现两种计费方式，每一种都是因主叫时间的变化而引起计费的变化，他把主叫时间视为在正实数范围内变化，决定用函数来解决这个问题．
（1）根据函数的概念，小明首先将问题中的两个变量分别设为自变量x和自变量的函数y，请你帮小明写出：
x表示问题中的 　主叫时间　，y表示问题中的 　计费　．
并写出计费方式一和二分别对应的函数解析式；
（2）在给出的正方形网格纸上画出（1）中两个函数的大致图象，并依据图象直接写出如何根据主叫时间选择省钱的计费方式．（注：坐标轴单位长度可根据需要自己确定）


【分析】（1）由题意可知，x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；再根据分段计费的费用就可以得出各个时段各种不同的付费方法就可以得出结论；
（2）画出图象，再根据图象解答即可．
【解答】解：（1）由题意，可得x表示问题中的主叫时间，y表示问题中的计费；
方式一：y＝；
方式二：y＝；
故答案为：主叫时间，计费；
（2）大致图象如下：

由图可知：当主叫时间在270分钟以内选方式一，270分钟时两种方式相同，超过270分钟选方式二．
（2021•陕西）23．（7分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）（min）之间的关系如图所示．
（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　1　m/min；
（2）求AB的函数表达式；
（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．

【分析】（1）由图象求出“猫”和“鼠”的速度即可；
（2）先设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）令（2）中解析式y＝0，求出x即可．
【解答】解：（1）由图像知：“鼠”6min跑了30m,
∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min）,
“猫”5min跑了30m,
∴“猫”的速度为：30÷5＝5（m/min）,
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1(m/min),
故答案为：1；
（2）设AB的解析式为：y＝kx+b,
∵图象经过A(4,30)和B(10,
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
,
解得：,
∴AB的解析式为:y＝﹣7x+58；
(3)令y＝0,则﹣4x+58＝7，
∴x＝14.5，
∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣5＝13.5（min）．
答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．
（2021•天津）23．在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校12km，陈列馆离学校20km．李华从学校出发，匀速骑行0.6h到达书店；在书店停留0.4h后，匀速骑行0.5h到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离ykm与离开学校的时间xh之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学校的时间/h
0.1
0.5
0.8
1
3
离学校的距离/km
2
　 　
　 　
12
　 　
（Ⅱ）填空：
①书店到陈列馆的距离为 　 　km；
②李华在陈列馆参观学习的时间为 　 　h；
③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 　 　km/h；
④当李华离学校的距离为4km时，他离开学校的时间为 　 　h．
（Ⅲ）当0≤x≤1.5时，请直接写出y关于x的函数解析式．
（2021•云南）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线l1，射线l2分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资y1（单位：元）和y2（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（x≥0）的函数关系．
（1）分别求y1、y2与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？

10．（2021•衢州）已知A，B两地相距60km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发到B地，甲骑自行车匀速行驶3h到达，乙骑摩托车，比甲迟1h出发，行至30km处追上甲，停留半小时后继续以原速行驶．他们离开A地的路程y与甲行驶时间x的函数图象如图所示．当乙再次追上甲时距离B地（　A　）

A．15kmB．16kmC．44kmD．45km
14. （2021•赤峰）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ B ）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．

A 4B. 3C. 2D. 1
21. （2021•丽水）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：

（1）直接写出工厂离目的地的路程；
（2）求s关于t的函数表达式；
（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
【答案】解：（1）由图象，得时，，
答：工厂离目的地的路程为880千米．
（2）设，将和分别代入表达式，
得，解得，
∴s关于t的函数表达式为．
（3）当油箱中剩余油量为10升时，（千米），
，解得（小时）．
当油箱中剩余油量为0升时，（千米），
，解得（小时）．
随t的增大而减小，
的取值范围是．
22. （2021•宁波）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：

A方案
B方案
C方案
每月基本费用（元）
20
56
266
每月免费使用流量（兆）
1024
m
无限
超出后每兆收费（元）
n
n

A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出m，n的值．
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？

【答案】解：（1）
．
（2）设函数表达式为，
把，代入，得
，
解得，
∴y关于x的函数表达式．
（注：x的取值范围对考生不作要求）
（3）（兆）．
由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．
19．（2021•绍兴）Ⅰ号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，Ⅱ号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）．无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图．两架无人机都上升了15min．
（1）求b的值及Ⅱ号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式；
（2）问无人机上升了多少时间，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．

【解答】解：（1）b＝10+10×5＝60，
设函数的表达式为y＝kx+t，
将（0，30）、（5，60）代入上式得，解得，
故函数表达式为y＝6x+30（0≤x≤15）；
（2）由题意得：（10x+10）﹣（6x+30）＝28，
解得x＝12＜15，
故无人机上升12min，Ⅰ号无人机比Ⅱ号无人机高28米．
26.（2021•宿迁）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s(km)与慢车行驶的时间t(h)之间的关系如图：
(1)快车的速度为 km/h，C点的坐标为 .
(2)慢车出发多少小时后，两车相距200km.

23．（2021•吉林）（8分）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．

【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），
0.5a＝25﹣5，
解得a＝40．
（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：
，
解得，
∴y＝x+15（40≤x≤100）．
（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，
40﹣35＝5（万人）．
20. （2021•雅安）某药店选购了一批消毒液，进价为每瓶10元，在销售过程中发现销售量y（瓶）与每瓶售价x（元）之间存在一次函数关系（其中，且x为整数），当每瓶消毒液售价为12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶消毒液售价为15元时，每天销售量为75瓶；
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设该药店销售该消毒液每天的销售利润为w元，当每瓶消毒液售价为多少元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大．
【答案】（1）设y与x之间的函数关系式，由题意可得，
，
解得， ，
∴y与x之间的函数关系式；
（2）由题意可得，
w=（x-10）（-5x+150）=（，且x整数），
当时，，
∴当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．
答：当每瓶消毒液售价为20元时，药店销售该消毒液每天销售利润最大，最大为500元．
23．（2021•乐山）（10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数的一部分．
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．

【解答】解：（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的解析式为y＝，将C（20，45）代入得：
45＝，解得k＝900，
∴反比例函数的解析式为y＝，
当x＝45时，y＝＝20，
∴D（45，20），
∴A（0，20），即A对应的指标值为20；
（2）设当0≤x＜10时，AB的解析式为y＝mx+n，将A（0，20）、B（10，45）代入得：
，解得，
∴AB的解析式为y＝x+20，
当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，
由（1）得反比例函数的解析式为y＝，
当y≥36时，≥36，解得x≤25，
∴≤x≤25时，注意力指标都不低于36，
而25﹣＝＞17，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
25．（2021•临沂）（本小题满分11分）
公路上正在行驶的甲车，发现前方20 m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速. 减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.
（1）当甲车减速至9 m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10 m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？


一次函数综合
（2021•牡丹江）28如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣9x+20＝0的两个根．解答下列问题：
（1）求点A的坐标；
（2）若直线MN分别与x轴，AB，AO，AC，y轴交于点D，M，F，N，E，S△AMN＝2，tan∠AMN＝1，求直线MN的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在第二象限内，在平面内是否存在点Q，使以E，F，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由x2﹣9x+20＝0，
得（x﹣4）（x﹣5）＝0．
解得x1＝4，x2＝5．
∵OB＜OA
∴OB＝4，OA＝5.
．
∵点A在第二象限，
∴点A（﹣4，3）．
（2）∵tan∠AMN＝1，
∴∠AMN＝45°．
∵S△AMN＝2，
∴AN＝AM＝2．
∴BM＝1．
∴点M（﹣4，1）．
∵AB＝3，AC＝OB＝4，
∴CN＝AC﹣AN＝4﹣2＝2．
∴点N（﹣2，3）．
设直线MN的解析式为y＝kx+b，
把点M（﹣4，1），N（﹣2，3），代入
得，
解得．
∴直线MN的解析式为y＝x+5．
（3）如图所示，
过点F作FQ3⊥y轴于点Q3，
过点P1作P1G⊥x轴，与FQ3交于点G．
点E的坐标为（0，5），
∵OA过原点，
∴OA的表达式为y＝kx，
把点A（﹣4，3）代入得．
列方程组，解得．
∴点F（，），点Q3（0，）．
．
情况一：以EF为正方形的边可做正方形EFQ1P1或FEP2Q2，
则△P1GF≌△FQ3E，
．
P1的纵坐标为，
P1的横坐标为﹣（）＝﹣．
∴Q2的坐标为（，5）．
同理可得Q1的坐标为（，）．
情况二：以EF为对角线在EF的左侧作正方形FQ3EP3，
FQ3＝EQ3，且∠EFQ3＝45°，
此时Q3的坐标为（0.）．
综上，当点Q的坐标分别为Q1，Q2，Q3时，存在E，F，P，Q为顶点的正方形．

（2021•鄂州）24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为线段中点，点是线段上一动点（不与点、重合）．

（1）请直接写出点、点、点的坐标；
（2）连接，在第一象限内将沿翻折得到，点的对应点为点．若，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为点．
①若点在内部（不包括边），求的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点，使最大？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），，；（2）1；（3）①；②存在，
（2021•成都）23．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为　2　．

【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案。
【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：

在y＝x+中，令x＝0得y＝,
∴C(0,),OC＝,
在y＝x+中令y＝0得x+＝0,
解得x＝﹣2,
∴A(﹣2,0),OA＝2,
Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,
∴∠CAO＝30°，
Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，
∵OD⊥AB，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝2，
故答案为：2．
23（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？

20. （2021•遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点M（0，3）到直线的距离；
（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
【答案】解：（1）∵y＝x＋9可变形为x－y＋9＝0，则其中A＝，B＝－1，C＝9，
由公式可得
∴点M到直线y＝x＋9的距离为3，
（2）由（1）可知：圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝4，
∵d＜r
∴直线与圆相交，
则弦长，


课时11 反比例函数
反比例函数的图象和性质
（2021•武威）16. 若点在反比例函数的图象上，则____（填“>”或“__（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2021•青海）13.已知点A（-1，y1）和点B（-4，y2）在反比例函数y=6x的图象上，则y1与y2的大小关系是 y1＜y2 .
（2021•维吾尔）13．若点A（1，y1），B（2，y2）在反比例函数y＝的图象上，则y1　＞　y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2021•本溪）6．反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，则直线y＝kx+k不经过的象限是（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

（2021•武汉）13．已知点A（a，y1），B（a+1，y2）在反比例函数y＝（m是常数）的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是 　﹣1＜a＜0　．
（2021•大庆）6. 已知反比例函数，当时，随的增大而减小，那么一次的数的图像经过第（B ）
A. 一，二，三象限B. 一，二，四象限
C. 一，三，四象限D. 二，三，四象限
（2021•天门）7. 下列说法正确的是（ C ）
A. 函数的图象是过原点的射线 B. 直线经过第一､二､三象限
C. 函数，y随x增大而增大 D. 函数，y随x增大而减小
（2021•荆门）9．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的大致图象是（　B　）

A．①②B．②③C．②④D．③④
（2021•宜昌）7．某气球内充满了一定质量m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是（　B　）
A．B．
C．D．
（2021•娄底）11. 根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数（a为常数且）的性质表述中，正确的是（ ）
①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③；④
A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】该函数可改写为（a为常数且），此时可以类比反比例函数的性质进行判断，或者利用赋值法也可快速进行选择，选择正确的选项即可．
【详解】解：，
又∵，
∴随着x的增大，也会随之增大，
∴随着x的增大而减小，
此时越来越小，则越来越大，
故随着x的增大y也越来越大．
因此①正确，②错误；
∵，
∴，
∴，
故，
因此③正确，④错误；
综上所述，A选项符合．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是将已知函数的形式进行化简整理转化为反比例函数进行判断．
（2021•天津）10．若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（5，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
（2021•山西）5. 已知反比例函数 y =，则下列描述不正确的是（）
A.图象位于第一、第三象限B.图象必经过点（4, 3 ）
2

C. 图象不可能与坐标轴相交 D. y 随 x 的增大而减小

（2021•连云港）6. 关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图像经过点；
乙：函数图像经过第四象限；
丙：当时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D

（2021•达州）6．（3分）在反比例函数y＝（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y2＜y1
【解答】解：∵k2+1＞0，
∴反比例函数图象在第一、三象限，
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜0，0＜y3＜y2，
∴y1＜y3＜y2．
故选：C．

（2021•营口）10．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（　　）

A． ﹣8B．﹣2C．﹣8D．﹣6

（2021•达州）14．（3分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝　﹣12　．

【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，
在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，
∴FN＝MN＝1
又∵FG＝4，
∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，
设OA＝a，则OB＝a﹣1，
∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），
又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，
∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），
解得，a＝3，
∴k＝﹣4a＝﹣12，
故答案为：﹣12．



8.
（2021•无锡）14．（2分）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：　y＝﹣答案不唯一　．

（2021•陕西）12．若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　＜　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】反比例函数的系数为﹣2＜0，在每一个象限内，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵2m﹣1＜2(m＜)，
∴图象位于二、四象限，y随x的增大而增大，
又∵8＜1＜3，
∴y5＜y2，
故答案为：＜．

（2021•枣庄）22．（8分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数y＝（x≠0）的图象与性质进行探究．
因为y＝＝1﹣，即y＝﹣+1，所以可以对比函数y＝﹣来探究．
列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m＝　5　，n＝　　；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣

1
2
3
4
…
y＝﹣
…


1
2
4
﹣4
﹣2
﹣1
﹣
﹣
…
y＝
…


2
3
m
﹣3
﹣1
0
n

…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来；
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x＜0时，y随x的增大而 　增大　；（填“增大”或“减小”）
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向 　上　平移 　1　个单位而得到．
③函数图象关于点 　（0，1）　中心对称．（填点的坐标）
【分析】（1）x＝﹣，x＝3，分别代入y＝﹣+1即可得m、n的值；
（2）按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可；
（3）数形结合，观察函数图象即可得到答案．
【解答】解：（1）x＝﹣时，y＝﹣+1＝5，
∴m＝5，
x＝3时，y＝﹣+1＝，
∴n＝；
故答案为：5，；
（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图：

（3）根据图象可得：
①在y轴左边，y随x增大而增大，
故答案为：增大；
②函数y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位得到的，
故答案为：上，1；
③函数图象关于点 （0，1）中心对称，
故答案为：（0，1）．
（2021•自贡）9．（4分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（　　）

A．函数解析式为I＝B．蓄电池的电压是18V
C．当I≤10A时，R≥3.6ΩD．当R＝6Ω时，I＝4A
【分析】根据函数图象可设I＝，，再将（4，9）代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设I＝，
∵图象过（4，9），
∴k＝36，
∴I＝，
∴A，B均错误；
当I＝10时，R＝3.6，
由图象知：当I≤10A时，R≥3.6Ω，
∴C正确，符合题意；
当R＝6时，I＝6，
∴D错误，
故选：C．
7. （2021•广安）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ A ）
A. B. C. D.
6.（2021•宿迁）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(—2，),则下列结论正确的是（ ）
A ． B． C． D．
9．（2021 湘西州）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y＝的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（　　）

A．图象与x轴没有交点
B．当x＞0时，y＞0
C．图象与y轴的交点是（0，﹣）
D．y随x的增大而减小
10.（2021•大连）下列说法正确的是（　　）
①反比例函数中自变量x的取值范围是
②点在反比例函数的图象上；
③反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大
A.①②B.①③C.②③D.①②③
15. （2021•宁波）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点 称为点A的“倒数点”．如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，则的面积为_或_．

15. （2021•广元）如图，点在反比例函数的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且．点是线段上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，连接、．当时，x的取值范围是________．

15．（2021•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标（，2）．反比例函数y＝（常数k＞0，x＞0）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是　5或22.5　．

17. （2021•徐州）如图，点分别在函数的图像上，点在轴上.若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________.

17．（2021 株洲）点A（x1，y1）、B（x1+1，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，满足：当x1＞0时，均有y1＜y2，则k的取值范围是 　k＜0　．
13．（2021 永州）请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式：　y＝﹣　．
14．（2021 邵阳）已知点A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y＝图象上的两点，则y1与y2的大小关系是y1　＞　y2．（填“＞”“＝”或“＜”）
（2021•嘉兴）4．已知三个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）在反比例函数y＝的图象上，其中x1＜x2＜0＜x3，下列结论中正确的是（　　）
A．y2＜y1＜0＜y3B．y1＜y2＜0＜y3C．y3＜0＜y2＜y1D．y3＜0＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0＜x3即可得出结论
【解答】解：∵反比例函数y＝中，k＝2＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小．
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴A、B两点在第三象限，C点在第一象限，
∴y2＜y1＜0＜y3．
故选：A．
（2021•金华）8．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上．若x1＜0＜x2，则（　　）
A．y1＜0＜y2B．y2＜0＜y1C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0
【分析】由k＜0，双曲线在第二，四象限，根据x1＜0＜x2即可判断点A在第二象限，点B在第四象限，从而判定y2＜0＜y1．
【解答】解：∵k＝﹣12＜0，
∴双曲线在第二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴点A在第二象限，点B在第四象限，
∴y2＜0＜y1；
故选：B．

待定系数法求反比例函数解析式
（2021•哈尔滨）13．已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为 　 　．
（2021•鹤岗）8．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C、D．若点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为（　　）

A．B．C．D．
（2021•福建）11. 若反比例函数的图象过点，则k的值等于_____1____．
（2021•云南）若反比例函数的图象经过点（1，-2），则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 .
（2021•无锡）8．一次函数y＝x+n的图象与x轴交于点B，与反比例函数y＝（m＞0）的图象交于点A（1，m），且△AOB的面积为1，则m的值是（　　）
A．1B．2C．3D．4

（2021•本溪）17.如图，AB是半圆的直径，C为半圆的中点，A（2，0），B（0，1），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，则k的值为 　　．

【分析】设半圆圆心为D，连接DC，过C作CG⊥OA于G，交AB于E，先求出tan∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝，sin∠BAO＝＝，Rt△CDE中，tanC＝，cosC＝，求出DE＝，CE＝，AE＝，Rt△AGE中，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，可得GE＝，AG＝，即得C（，），把C（，）代入y＝得k＝．
【解答】解：设半圆圆心为D，连接DC，过C作CG⊥OA于G，交AB于E，如图：

∵A（2，0），B（0，1），
∴AB＝，DA＝DC＝，
∴tan∠BAO＝＝，cos∠BAO＝＝，sin∠BAO＝＝，
∵C为半圆的中点，
∴∠CDE＝∠EGA＝90°，
又∠CED＝∠AEG，
∴∠C＝∠BAO，
Rt△CDE中，tanC＝，cosC＝，
∴＝，＝，
∴DE＝，CE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝，
Rt△AGE中，sin∠BAO＝，cos∠BAO＝，
∴＝，＝，
∴GE＝，AG＝，
∴OG＝OA﹣AG＝，CG＝CE+GE＝，
∴C（，），
把C（，）代入y＝得k＝，
故答案为：．
（2021•呼和浩特）12．正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），则k1+k2＝　﹣8　．
【分析】根据待定系数法求得k1、k2，即可求得k1+k2的值．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，若A点坐标为（，﹣2），
∴﹣2＝k1，﹣2＝，
∴k1＝﹣2，k2＝﹣6，
∴k1+k2＝﹣8，
故答案为﹣8．

反比例函数比例系数k的几何意义
（2021•玉林）17．如图，△ABC是等腰三角形，AB过原点O，底边BC∥x轴，双曲线y＝过A，B两点，过点C作CD∥y轴交双曲线于点D，若S△BCD＝8，则k的值是 　3　．

（2021•铜仁）14．如图，矩形ABOC的顶点A在反比例函数y＝的图象上，矩形ABOC的面积为3，则k＝　3　．

（2021•黔东南）19如图，若反比例函数y＝的图象经过等边三角形POQ的顶点P，则△POQ的边长为 　2　．

（2021•牡丹江）6．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线y＝﹣（x＜0）上，点C，D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE并延长，交x轴于点F，连接CF，则△FCD的面积为（　C　）

A．2B．C．1D．
（2021•齐齐哈尔）16. 如图，点A是反比例函数图象上一点，轴于点C且与反比例函数的图象交于点B， ，连接OA，OB，若的面积为6，则_________．

（2021•绥化）20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在的双曲线上．点的对应点分别是点．若点为的中点，且，则的值为____．

【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD，
∵点为的中点，
∴AE=OA，
∴,
∵MN∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
设EG=x，FG=y，则OG=3x，OD=4y，
∴，
因为D点和B点关于MN对称，
∴
∵，
∴
∴,
∵点恰好落在的双曲线上，
∴，
故答案为：．

（2021•鄂州）15. 如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴于点，交反比例函数的图象于点，点是轴正半轴上一点．若的面积为2，则的值为____8_________．

（2021•黄石）17．（4分）如图，A、B两点在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，AB的延长线交x轴于点C，且AB＝2BC，则△AOC的面积是 　6　．

（2021•常德）20. 如图，在中，．轴，O为坐标原点，A的坐标为，反比例函数的图象的一支过A点，反比例函数的图象的一支过B点，过A作轴于H，若的面积为．

（1）求n的值；
（2）求反比例函数的解析式．
【详解】解：（1）∵A，且轴
∴AH=，OH=n
又的面积为．
∴ ,即
解得，；
（2）由(1)得，AH=，OH=1
∴AO=2
如图，

∵，轴，
∴，四边形AHOE是矩形，
∴AE=OH=1
又
∴
∴，即：
解得，BE=3
∴B(-3,1)
∵B在反比例函数的图象上，
∴
∴．
（2021•重庆•B）12如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（　D　）

A．B．C．2D．3
（2021•重庆）12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB∥X轴，AO⊥AD，AO=AD.过点A作AE⊥CD,垂足为E，DE=4CE.反比例函数的图象经过点E，与边AB交于点F，连接OE，OF，EF.若，则k的值为
A. B. C.7 D.


（2021•南京）13．如图，正比例函数y＝kx与函数y＝的图像交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝ ．

12．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBD的边OB与x轴的正半轴重合，AD∥OB，DB⊥x轴，对角线AB，OD交于点M．已知AD：OB＝2：3，△AMD的面积为4．若反比例函数y＝的图象恰好经过点M，则k的值为（　　）

A．B．C．D．12
17.（2021•宿迁）如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 = ．

（2021•温州）9．如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（　　）

A．2B．C．D．2

反比例函数的实际应用
（2021•台州）23. 电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ，该读数可以换算为人的质量m，
温馨提示：
①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝；
②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．

（1）求k，b的值；
（2）求R1关于U0的函数解析式；
（3）用含U0的代数式表示m；
（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量．
详解】解：（1）把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得，解得：；
（2）∵，
∴；
（3）由（1）可知：，
∴R1＝m＋240，
又∵，
∴=m＋240，即：；
（4）∵电压表量程0~6伏，
∴当时，
答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．
9. （2021•丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ B ）

A. 甲同学B. 乙同学C. 丙同学D. 丁同学
质量
14．（2021•临沂）实验证实，放射性物质放出射线后，质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢，物质所剩的质量与时间成某种函数关系. 下图为表示镭的放射规律的函数图象.









O
3240
4860
1620
时间/年

（第14题图）



据此可计算32 mg镭缩减为1 mg所用的时间大约是

（第14题图）

时间/年
质量
1620
4860
3240

m0
O


（A）4860年.（B）6480年.（C）8100年.（D）9720年.

反比例函数与一次函数综合
（2021•荆州）6．已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点P(1，t)，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是（D）
A．t2B．△AOB是等腰直角三角形
C．k1D．当x1时，
（2021•十堰）10. 如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（ A ）

A. B. C. D.
（2021•毕节）20.如图，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，且，连接OA.已知的面积为12，则k的值为_____________.

（2021•枣庄）10．在平面直角坐标系xOy中，直线AB垂直于x轴于点C（点C在原点的右侧），并分别与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，且AC+BC＝4，则△OAB的面积为（　　）
A．2+或2﹣B．2+2或2﹣2C．2﹣D．2+2
【分析】先求出点A，点B坐标，可得AC＝x＝OC，BC＝，由AC+BC＝4，可求x的值，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：设点C（x，0），
∵直线AB与直线y＝x和双曲线y＝相交于点A，B，
∴点A（x，x），点B（x，），
∴AC＝x＝OC，BC＝，
∵AC+BC＝4，
∴x+＝4，
∴x＝2±，
当x＝2+时，AC＝2+＝OC，BC＝2﹣，
∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2+2；
当x＝2﹣时，AC＝2﹣＝OC，BC＝2+，
∴AB＝2，
∴△OAB的面积＝×BA×OC＝2﹣2；
综上所述：△OAB的面积为2+2或2﹣2，
故选：B．
（2021•枣庄）15．（4分）如图，正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝（k2≠0）的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为1．当k1x＜时，x的取值范围是 　0＜x＜1或x＜﹣1　．

【分析】由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B横坐标，然后通过图象求解．
【解答】解：由正比例函数与反比例函数的对称性可得点B横坐标为﹣1，
由图象可得当k1x＜时，x的取值范围是0＜x＜1或x＜﹣1．
故答案为：0＜x＜1或x＜﹣1．


（2021•河南）18. (9分）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点0重合，边分别与坐标轴平行，反比例 函数y = kx的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求图中阴影部分的面积.

（2021•贵港）21．（6分）如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．
（1）求k的值；
（2）若将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长．

【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+2＝3，
∴交点的坐标为（1，3），
将（1，3）代入y＝，
解得：k＝1×3＝3；
（2）将一次函数y＝x+2的图象向下平移4个单位长度得到y＝x﹣2，
由，
解得：或，
∴A（﹣1，﹣3），B（3，1），
∴AB＝＝4．
（2021•柳州）18. 如图，一次函数与反比例数的图像交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是的中点，已知长的最大值为，则k的值是_______．

【详解】解：连接，如下图：

在中，
分别是的中点，
是的中位线，
，
已知长的最大值为，
此时的，
显然当三点共线时，取到最大值：，
，
，
设，由两点间的距离公式：，
，
解得：（取舍），
，
将代入，
解得：，
故答案是：．
（2021•安顺）20.（本题满分10分）
如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，若.

（1）求点的坐标及的值；
（2）若，求一次函数的表达式.
20.（本题满分10分）

解：（1）设点的坐标为，
∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，∵，
∴，∴点，
连接，
∵轴，∴轴，∴，
∵，∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴，，
∴点，；
（2）∵点，∴，
又∵，
∴在中，由勾股定理，得，
∵点在轴正半轴上，∴点，
∵轴，∴设的坐标为，
∵反比例函数表达式为，点在反比例函数的图象上，
∴，，∴，
又∵点在一次函数的图象上，∴，，
∴求一次函数的表达式为.
（2021•河北）19．（4分）用绘图软件绘制双曲线m：y＝与动直线l：y＝a，且交于一点，图1为a＝8时的视窗情形．
（1）当a＝15时，l与m的交点坐标为 　（4，15）　；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点O始终在视窗中心．
例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由﹣15≤x≤15及﹣10≤y≤10变成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如图2）．当a＝﹣1.2和a＝﹣1.5时，l与m的交点分别是点A和B，为能看到m在A和B之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数k＝　4　．

（2021•大庆）26. 如图，一次函数的图象与轴的正半轴交于点，与反比例函数的图像交于两点．以为边作正方形，点落在轴的负半轴上，已知的面积与的面积之比为．

（1）求一次函数的表达式：
（2）求点的坐标及外接圆半径的长．
【详解】解：(1)过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：

∵与有公共的底边BO，其面积之比为1:4，
∴DH:OA=1:4，
设，则，
∵ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF+∠EAD=90°，
∵∠BAF+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△ABF和△DAE中： ,
∴△ABF≌△DAE(AAS)，
∴
又，
∴，解得(负值舍去)，
∴，代入中，
∴ ，解得 ，
∴一次函数的表达式为；
(2)联立一次函数与反比例函数解析式： ，
整理得到：，
解得 ，，
∴点的坐标为；D点的坐标为（4,1）
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
且，
在中，由勾股定理：，
∴，
又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处，
∴△CPD外接圆的半径为．
（2021•鄂州）23. 数学课外活动小组同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵
∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．
猜想运用：（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
变式探究：（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？
拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1），函数的最小值为2；（2），函数的最小值为5；（3）每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为
（2021•黄冈）20．（9分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点的图象于点M，连接CN四边形COMN＞3，求t的取值范围．

【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，B（﹣1，
∴k＝﹣1×8＝a×(﹣1），
∴k＝﹣3，a＝7，
∴点A（3，﹣1），
由题意可得：，
解得：，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵直线AB交y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴S四边形COMN＝S△OMN+S△OCN＝+×2×t，
∵S四边形COMN＞3，
∴+×2×t＞3，
∴t＞．
（2021•天门）20. 如图：在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为，直线与双曲线：交于C，两点．


（1）求双曲线的函数关系式及m的值；
（2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由；
（3）当时，请直接写出x的取值范围．
【详解】解：（1）由题意，将点代入得：，
则双曲线的函数关系式为，
将点代入得：；
（2）点在双曲线上，理由如下：
由（1）可知，点的坐标为，
将点代入得：，解得，
则，
当时，，即，
先将点向右平移2个单位，再向上平移1个单位可得到点，
四边形是菱形，
点平移至点的方式与点平移至点的方式相同，
，
，即，
对于双曲线，
当时，，
即点在双曲线上；
（3）表示的是直线的图象位于双曲线的图象的上方，
则结合函数图象得：或．
（2021•随州）20．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y2＝（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OD，求△BOD的面积．

【解答】解：（1）由y2＝过点C（1，2）和D（2，n）可得：
，
解得：，
故y2＝，
又由y1＝kx+b过点C（1，2）和D（2，1）可得：
，
解得，
故y1＝﹣x+3．
（2）由y1＝﹣x+3过点B，可知B（0，3），
故OB＝3，
而点D到y轴的距离为2，
∴S△BOD＝＝3．
（2021•恩施）21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，双曲线y＝经过点A．
（1）求k；
（2）直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，求△ABD的面积．

【解答】解：（1）如图，作AH⊥BC于H，
∵Rt△ABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是BC的中点，∠ABC＝30°，BC＝4，
∴OC＝BC＝2，AC＝BC×sin30°＝2，
∵∠HAC+∠ACO＝90°，∠ABC+∠ACO＝90°，
∴∠HAC＝∠ABC＝30°，
∴CH＝AC×sin30°＝1，OH＝AC×cos30°＝，
∴OH＝OC﹣CH＝2﹣1＝1，
∴A（1，），
∵双曲线y＝经过点A，
∴1＝，
即k＝；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，），C（2，0），
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+2，
∵直线AC与双曲线y＝﹣在第四象限交于点D，
∴，
解得或，
∵D在第四象限，
∴D（3，﹣），
∴S△ABD＝S△ABC+S△BCD＝BC•BH+BC•（﹣yD）＝＝4．

（2021•深圳）21．（9分）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？
__________（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，
联立得，再探究根的情况：
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明：，：，那么，

a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若存在，用图像表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：．
【解答】（1）不存在；
（2）①存在；
∵的判别式，方程有两组正数解，故存在；
从图像来看，：，：在第一象限有两个交点，故存在；
②设新矩形长和宽为x、y，则依题意，，联立得，
因为，此方程无解，故这样的新矩形不存在；
从图像来看，：，：在第一象限无交点，故不存在；
（3）；
设新矩形长和宽为x和y，则由题意，，
联立得，，故．

（2021•维吾尔）21．（9分）如图，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于点A（2，3），B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）判断点P（﹣2，1）是否在一次函数y＝k1x+b的图象上，并说明理由；
（3）直接写出不等式k1x+b≥的解集．

【解答】解：（1）将A（2，3）代入y＝得3＝,
解得k2＝6，
∴y＝,
把B（n，﹣1）代入y＝得﹣1＝,
解得n＝﹣6，
∴点B坐标为（﹣6，﹣1）．
把A(2,3)，B（﹣6，﹣1）代入y＝k1x+b得：
,
解得,
∴y＝x+2．
（2）把x＝﹣2代入y＝x+2得y＝﹣2×+2＝1，
∴点P（﹣2，1）在一次函数y＝k1x+b的图象上．
（3）由图象得x≥2或﹣6≤x＜0时k1x+b≥，

∴不等式k1x+b≥的解集为x≥2或﹣6≤x＜0．
（2021•苏州）24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点C，A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点．已知实数k≠0，一次函数y＝﹣3x+k的图象经过点C、D，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B，求k的值．

【解答】解：把y＝0代入y＝﹣3x+k,得x＝,
∴C（，0）,
.∵BC⊥x轴，
∴点B横坐为,
把x＝代入y＝，得y＝3,
∴B（，3）,
∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD．
∴D(，3），
∵点D在直线y＝﹣3x+k上，
∴3＝﹣3×+k，
∴k＝6．
（2021•东营）23．（8分）如图所示，直线y＝k1x+b与双曲线y＝交于A、B两点，已知点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2），OA＝，tan∠AOC＝．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是第二象限内反比例函数图象上的一点，△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）直接写出不等式k1x+b≤的解集．

【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于E，根据锐角三角函数和勾股定理求出点A（﹣2，1），进而求出双曲线的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
（2）连接OB，PO，PC，先求出OD，进而求出S△ODB＝，进而得出S△OCP＝，再求出OC＝，设点P的纵坐标为n，再用S△OCP＝，求出点P的纵坐标，即可得出结论；
（3）直接利用图象即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
过点A作AE⊥x轴于E，
∴∠AEO＝90°，
在Rt△AOE中，tan∠AOC＝＝，
设AE＝m，则OE＝2m，
根据勾股定理得，AE2+OE2＝OA2，
∴m2+（2m）2＝（）2，
∴m＝1或m＝﹣1（舍），
∴OE＝2，AE＝1，
∴A（﹣2，1），
∵点A在双曲线y＝上，
∴k2＝﹣2×1＝﹣2，
∴双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点B在双曲线上，且纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣，
∴x＝，
∴B（，﹣3），
将点A（﹣2，1），B（，﹣3）代入直线y＝k1x+b中得，，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）如图2，连接OB，PO，PC；
由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴OD＝2，
由（1）知，B（，﹣3），
∴S△ODB＝OD•xB＝×2×＝，
∵△OCP的面积是△ODB的面积的2倍，
∴S△OCP＝2S△ODE＝2×＝，
由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
令y＝0，则﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣，
∴OC＝，
设点P的纵坐标为n，
∴S△OCP＝OC•yP＝×n＝，
∴n＝2，
由（1）知，双曲线的解析式为y＝﹣，
∵点P在双曲线上，
∴2＝﹣，
∴x＝﹣1，
∴P（﹣1，2）；
（3）由（1）知，A（﹣2，1），B（，﹣3），
由图象知，不等式k1x+b≤的解集为﹣2≤x＜0或x≥．



（2021•菏泽）20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F．一次函数y＝k2x+b的图象经过E、F两点．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；
（2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，点P的坐标为 　（，0）　．

【分析】（1）由矩形的性质及中点坐标公式可得D（2，1），从而可得反比例函数表达式；再求出点E、F坐标可用待定系数法解得一次函数的解析式；
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．求出直线E'F的解析式后令y＝0，即可得到点P坐标．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝BC＝2，OC＝4，
∴B（4，2）．
由中点坐标公式可得点D坐标为（2，1），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，
∴k1＝xy＝2×1＝2，
故反比例函数表达式为y＝．
令y＝2，则x＝1；令x＝4，则y＝．
故点E坐标为（1，2），F（4，）．
设直线EF的解析式为y＝kx+b，代入E、F坐标得：
，解得：．
故一次函数的解析式为y＝．
（2）作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，则此时PE+PF最小．如图．
由E坐标可得对称点E'（1，﹣2），
设直线E'F的解析式为y＝mx+n，代入点E'、F坐标，得：
，解得：．
则直线E'F的解析式为y＝，
令y＝0，则x＝．
∴点P坐标为（，0）．
故答案为：（，0）．


（2021•济宁）18．（7分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点（1，n），求m，n的值．

【分析】（1）过A作AD⊥x轴于D，证明△BOC≌△CDA，可得OB＝CD，OC＝AD，根据C（2，0），B（0，4），得A（6，2），而反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，故2＝，解得k＝12，即可得反比例函数的解析式为y＝；
（2）求出直线OA解析式为y＝x，可得将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝x+m，再由点（1，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，得n＝12，即直线OA向上平移m个单位后经过的点是（1，12），即可求出m＝．
【解答】解：（1）过A作AD⊥x轴于D，如图：

∵∠ACB＝90°，
∴∠OBC＝90°﹣∠BCO＝∠ACD，
在△BOC和△CDA中，
，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴OB＝CD，OC＝AD，
∵C（2，0），B（0，4），
∴AD＝2，CD＝4，
∴A（6，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，
∴2＝，解得k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）得A（6，2），
设直线OA解析式为y＝tx，
则2＝6t，解得t＝，
∴直线OA解析式为y＝x，
将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝x+m，
∵点（1，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴n＝＝12，
∴直线OA向上平移m个单位后经过的点是（1，12），
∴12＝+m，
∴m＝．
（2021•聊城）23. 如图，过C点的直线y＝﹣x﹣2与x轴，y轴分别交于点A，B两点，且BC＝AB，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6
（1）求k值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝﹣x﹣2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．

【答案】（1），点 D 坐标为（4，3）；（2）点E的坐标为（－8，2）
【解析】
【分析】（1）结合反比例函数的几何意义即可求解值；由轴可知轴，利用平行线分线段成比例即可求解D点坐标；
（2）可知和的面积相等，由函数图像可知、、的面积关系，再结合题意，即可求CD边上高的关系，故作，垂足为F，即可求解E点横坐标，最后由E点在直线AB上即可求解．
【详解】解∶（1）设点 D 坐标为（m，n），
由题意得．
∵点 D在的图象上，．
∵直线的图象与轴交于点A，
∴点A 的坐标为（－4，0）．
∵CHx轴，CH//y 轴．．
点D在反比例函数的图象上，
点 D 坐标为（4，3）
（2）由（1）知轴，．
．
过点E作EFCD，垂足为点 F，交y轴于点M，
．
．
∴点 E 的横坐标为－8.
∵点E 在直线上，∴点E的坐标为（－8，2）．


（2021•烟台）21．（8分）如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，OB＝4，点C在线段AB上，且AC＝OC．
（1）求k的值及线段BC的长；
（2）点P为B点上方y轴上一点，当△POC与△PAC的面积相等时，请求出点P的坐标．

【分析】（1）根据正比例函数的解析式求出A点坐标，由A在反比例函数上，可求出k，再根据AC＝OC求出点C的坐标，即可得线段BC的长；
（2）设点P（0，p），根据△POC与△PAC的面积相等，得出关于p的方程，解方程即可得点P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A在正比例函数y＝x上，AB⊥y轴，OB＝4，
∵点B的坐标为（0，4），
∴点A的纵坐标是4，代入y＝x，得x＝8，
∴A（8，4），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝4×8＝32，
∵点C在线段AB上，且AC＝OC．
设点C（c，4），
∵OC＝＝，AC＝AB﹣BC＝8﹣c，
∴＝8﹣c，解得：c＝3，
∴点C（3，4），
∴BC＝3，
∴k＝32，BC＝3；

（2）如图，

设点P（0，p），
∵点P为B点上方y轴上一点，
∴OP＝p，BP＝p﹣4，
∵A（8，4），C（3，4），
∴AC＝8﹣3＝5，BC＝3，
∵△POC与△PAC的面积相等，
∴×3p＝×5（p﹣4），解得：p＝10，
∴P（0，10）．

（2021•成都）19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．

【分析】（1）根据一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），求出点A的坐标，再代入y＝，即可求得答案；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，先求出点B的坐标，再根据△ABD是以BD为底边的等腰三角形，可求出点D的坐标，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式，联立直线AD解析式和反比例函数解析式并求解即可得出点C的坐标．
【解答】（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），
∴a+＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝（x＞0），
得：3＝，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝x+中，令y＝0，得x+＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点C的坐标为（4，）．


（2021•宜宾）23．如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A、B，与x轴交于点C（5，0），若OC＝AC，且S△OAC＝10．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出不等式ax+b＞的解集．


（2021•资阳）20．（10分）如图，已知直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m，3）、B（3，n）两点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）连结AO并延长交双曲线于点C，连结BC交x轴于点D，连结，AD求△ABD的面积．

【分析】(1)由反比例函数解析式求得A、B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）根据反比例函数的对称性求得C的坐标，即可根据待定系数法求得直线BC的解析式，从而求得D的坐标，利用三角形面积公式求得S△ACD＝S△AOD+S△COD＝3,根据勾股定理求得CD、BD的长,即可根据同高三角形面积的比等于底边的比求得△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝相交于A（m、B（6．
∴3m＝3n＝7,
∴m＝n＝2,
∴A(2,5),2),
把A(2,7),2)代入y＝kx+b得,
解得,
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5；
(2)∵AC经过原点O,
∴A、C关于原点对称，
∵A(6,3),
∴C(﹣2,﹣4),
设直线CB的解析式为y＝mx+n,
∴,解得,
∴直线BC为y＝x﹣1,
令y＝0,则x＝4,
∴D(1,0),
∴S△ACD＝S△AOD+S△COD＝8××2×3＝3,
∵BC＝＝5＝2,
∴CD＝BC﹣BD＝8,
∴＝,
∴S△ABD＝S△ACD＝3．
9. （2021•宁波）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ C ）

A. 或B. 或
C. 或D. 或
16. （2021•威海）已知点A为直线上一点，过点A作轴，交双曲线 于点B．若点A与点B关于y轴对称，则点A的坐标为__或__．
10. （2021•威海）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，x的取值范围是（ D ）
A. B. 或
C. D. 或
5．（2021 益阳）正比例函数y＝2x与反比例函数y＝的图象或性质的共有特征之一是（　　）
A．函数值y随x的增大而增大
B．图象在第一、三象限都有分布
C．图象与坐标轴有交点
D．图象经过点（2，1）
8．（2021•通辽）定义：一次函数y＝ax+b的特征数为[a，b]，若一次函数y＝﹣2x+m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝﹣的图象交于A，B两点，且点A，B关于原点对称，则一次函数y＝﹣2x+m的特征数是（　D　）
A．[2，3]B．[2，﹣3]C．[﹣2，3]D．[﹣2，﹣3]
10．（2021•乐山）（3分）如图，直线l1与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于A、B两点，线段AB的中点为点C，过点C作x轴的垂线，垂足为点D．直线l2过原点O和点C．若直线l2上存在点P（m，n），满足∠APB＝∠ADB，则m+n的值为（　C　）

A．3﹣B．3或C．3+或3﹣D．3
23. （2021•遂宁）如图，一次函数＝k x ＋ b （k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（－2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）将直线向下平移2个单位后得到直线y3，当函数值时，求x的取值范围．

【答案】解：（1）∵过点A（1，2），
∴m＝1×2＝2，
即反比例函数：，
当x＝－2时，a＝－1，即B（－2，－1）
y1＝kx＋b过A（1，2）和B（－2，－1）
代入得，解得，
∴一次函数解析式为y1＝x＋1，
（2）当x＝0时，代入y＝x＋1中得，y＝1，即M（0，1）
∵S△AMN＝1
∴MN＝6，
∴N（0，7）或（0，－5），
（3）如图，设y2与y3的图像交于C，D两点
∵y1向下平移两个单位得y3且y1＝x＋1
∴y3＝x－1，
联立得解得或
∴C（－1，－2），D（2，1），
在A、D两点之间或B、C两点之间时，y1＞y2＞y3，
∴－2＜x＜－1或1＜x＜2．

21. （2021•南充）如图，反比例函数的图象与过点，的直线交于点B和C．

（1）求直线AB和反比例函数解析式．
（2）已知点，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求的面积．
24．（2021•眉山）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；
（3）求△BCN的面积．

【解答】解：（1）对于y＝x+6，令y＝x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，
故点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），
∵∠AOB为直角，则AB是圆P的直径，
由点A、B的坐标得：AB＝＝10，
故圆的半径＝AB＝5；
（2）过点N作HN⊥AN于点H，设直线MN与圆P切于点G，

连接PG，则HN＝PG＝5，
则sin∠NBH＝sin∠ABO＝，
在Rt△NHB中，NB＝＝，
即直线AB向上平移个单位得到MN，
故MN的表达式为y＝x+6+＝x+；
（3）由直线MMN的表达式知，点N（0，），
联立MN的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x2+49x+120＝0，
解得：x＝﹣3或﹣，
故点C的坐标为（﹣3，10），
由点C、N的坐标得：CN＝＝，
则△BCN的面积＝CN•NH＝×5×＝．
22.（2021•泸州） 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点
（1）求一次函数的解析式
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值
【答案】解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)，
∴m=6,
∴6n=6，
∴n=1，
∴B（6,1）
一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点，
∴，
解得，
一次函数y=，
（2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=，
当y=0时，，，当x=0时，y=-4，
∴M（-8，0），N（0，-4），
，
消去y得，
解得，
解得，，
∴P(-6,-1),Q(-2,-3),
Rt△MON中，
∴MN=,
∴PQ=，
∴．

26．（2021•凉山州）如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．

【解答】解：（1）设N（a,b),则OB＝a,BN＝b,
∵AN＝,
∴AB＝b+,
∴A(a,b+),
∵M为OA中点，
∴M(a,b+)，
而反比例函数y＝（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，
∴k＝a•(b+)＝ab,
解得：b＝,
∵S△AOB＝12，∠ABO＝90°，
∴OB•AB＝12,即a(b+)＝12,
将b＝代入得：,
解得a＝4,
∴N(4,),M(2，3),
∴k＝4×＝6；
（2）由（1）知：M(2，3),N(4，),
设直线MN解析式为y＝mx+n,
∴,解得,
∴直线MN解析式为y＝﹣x+．
23.（2021•广元） 如图，直线与双曲线相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，

（1）求直线的解析式及点B的坐标；
（2）以线段为斜边在直线的上方作等腰直角三角形．求经过点C的双曲线的解析式．
【答案】（1）∵点A在双曲线上，点A横坐标为1，
∴当x=1时，y=1.5，
∴点A坐标为（1，1.5），
∵直线与双曲线相交于点A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直线的解析式为y=-0.5x+2，
联立反比例函数与一次函数解析式得，
解得：，（舍去），
∴点B坐标为（3，0.5）．
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB==，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC==，
∴，
整理得：，
∴，
解得：，
∴或0（舍去），
∴点C坐标为（，2），
把点C坐标代入双曲线解析式得：，
解得：，
∴过点C的双曲线解析式为．
22．（2021•乐山）（10分）如图，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y＝（k≠0）的图象于P、Q两点．若AB＝2BP，且△AOB的面积为4．
（1）求k的值；
（2）当点P的横坐标为﹣1时，求△POQ的面积．

【解答】解：（1）∵AB＝2BP，且△AOB的面积为4，
∴△POB的面积为2，
作PM⊥y轴于M,
∴PM∥OA,
∴△PBM∽△ABO,
∴＝()2,即,
∴△PBM的面积为1，
∴S△POM＝1+2＝3,
∵S△POM＝|k|,
∴|k|＝6，
∵k＜0,
∴k＝﹣6;
(2)∵点P的横坐标为﹣1,
∴PM＝1,
∵△PBM∽△ABO,
∴＝,即＝,
∴OA＝2,
∴A(2,0),
把x＝﹣1代入y＝﹣得，y＝6,
∴P(﹣1,6),
设直线AB为y＝mx+n,
把P、A的坐标代入得,解得,
∴直线AB为y＝﹣2x+4,
解得或,
∴Q(3,﹣2),
∴S△POQ＝S△POA+S△QOA＝×2×6+×2＝8．

20. （2021•广安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点在轴上，且满足的面积等于4，请直接写出点的坐标．
【答案】解：（1）由题意可得：
点B（3，-2）在反比例函数图像上，
∴，则m=-6，
∴反比例函数的解析式为，
将A（-1，n）代入，
得：，即A（-1，6），
将A，B代入一次函数解析式中，得
，解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）∵点P在x轴上，
设点P的坐标为（a，0），
∵一次函数解析式为，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点（2，0），
由△ABP的面积为4，可得：
，即，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为（1，0）或（3，0）．
20．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x+b与双曲线y2＝相交于A（﹣2，3），B（m，﹣2）两点．
（1）求y1，y2对应的函数表达式；
（2）过点B作BP∥x轴交y轴于点P，求△ABP的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x+b＜的解集．

21．（2021•泰安）（10分）如图，点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝（x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝，求点M的坐标．

【解答】解：∵点P为函数y＝x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4＝x+1，解得：x＝6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y＝x+1与函数y＝（x＞0）图象的交点，
∴4＝，
∴m＝24；
（2）设点M的坐标（x，y），
∵tan∠PMD＝，
∴＝，
①点M在点P右侧，如图，

∵点P（6，4），
∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，
∴＝，
∵xy＝m＝24，
∴y＝，
∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M的坐标为（8，3）；
②点M在点P左侧，

∵点P（6，4），
∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，
∴＝，
∵xy＝m＝24，
∴y＝，
∴2（4﹣）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在；
∴点M的坐标为（8，3）．
25. （2021•常州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图像交于点C，连接．已知点，．

（1）求b、k的值；
（2）求的面积．
【答案】解：（1）过点C作CD⊥x轴，则OB∥CD，

把代入得：，解得：b=2，∴，
令x=0代入，得y=2，即B(0，2)，∴OB=2，
∵，OB∥CD，∴，∴，即：
∴DA=6，CD=3∴OD=6-4=2，∴D(2，3)，∴，解得：k=6；
（2）的面积=．
21．（2021•吉林）（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，
∴B点坐标满足一次函数解析式，
∴，
∴m＝3，
∴B（3，2），
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为；
（2）∵BC⊥y轴，
∴C（0，2），BC∥x轴，
∴BC＝3，
令x＝0，则y＝，
∴A（0，﹣2），
∴AC＝4，
∴，
∴△ABC的面积为6．
24．（2021 株洲）（10分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x的图象l与函数y＝（k＞0，x＞0）的图象（记为Г）交于点A，过点A作AB⊥y轴于点B，且AB＝1，点C在线段OB上（不含端点），且OC＝t，过点C作直线l1∥x轴，交l于点D，交图象Г于点E．
（1）求k的值，并且用含t的式子表示点D的横坐标；
（2）连接OE、BE、AE，记△OBE、△ADE的面积分别为S1、S2，设U＝S1﹣S2，求U的最大值．

【解答】解：（1）∵AB⊥y轴，且AB＝1，
∴点A的横坐标为1，
∵点A在直线y＝2x上，
∴y＝2×1＝2，
∴点A（1，2），
∴B（0，2），
∵点A在函数y＝上，
∴k＝1×2＝2，
∵OC＝t，
∴C（0，t），
∵CE∥x轴，
∴点D的纵坐标为t，
∵点D在直线y＝2x上，t＝2x，
∴x＝t，
∴点D的横坐标为t；
（2）由（1）知，k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝，
由（1）知，CE∥x轴，
∴C（0，t），
∴点E的纵坐标为t，
∵点E在反比例函数y＝的图象上，
∴x＝，
∴E（，t），
∴CE＝，
∵B（0，2），
∴OB＝2．
∴S1＝S△OBE＝OB•CE＝×2×＝
由（1）知，A（1，2），D（t，t），
∴DE＝﹣t，
∵CE∥x轴，
∴S2＝S△ADE＝DE（yA﹣yD）＝（﹣t）（2﹣t）＝t2﹣t+﹣1，
∴U＝S1﹣S2＝﹣（t2﹣t+﹣1）＝﹣t2+t+1＝﹣（t﹣1）2+，
∵点C在线段OB上（不含端点），
∴0＜t＜2，
∴当t＝1时，U最大＝．
19．（2021 岳阳）（8分）如图，已知反比例函数y＝（k≠0）与正比例函数y＝2x的图象交于A（1，m），B两点．
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）若点C在x轴上，且△BOC的面积为3，求点C的坐标．

【解答】解：（1）把A（1，m）代入y＝2x中，
得m＝2，
∴点A的坐标为（1，2），
把点A(1,2)代入y＝中，
得k＝2，
∴反比例函数得解析式为y＝；
（2）过点B作BD垂直与x轴，垂足为D，
设点C的坐标为（a，0），
∵点A与点B关于原点对称，
∴点B的坐标为（﹣1，﹣2），
∴BD＝|﹣2|＝2,OC＝|a|，
S△BOC＝＝，
解得：a＝3或a＝﹣3，
∴点C的坐标为（3，0）或（﹣3，0）．

21．（2021 益阳）如图，已知点A是一次函数y＝2x﹣4的图象与x轴的交点，将点A向上平移2个单位后所得点B在某反比例函数图象上．
（1）求点A的坐标；
（2）确定该反比例函数的表达式．

12．（2021•乌兰察布）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，点B的坐标为（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC交于点D，与对角线OB交于点E，与AB交于点F，连接OD，DE，EF，DF．下列结论：
①sin∠DOC＝cos∠BOC；②OE＝BE；③S△DOE＝S△BEF；④OD：DF＝2：3．
其中正确的结论有（　A　）

A．4个B．3个C．2个D．1个
8. （2021•扬州）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（ B ）

A. ①②B. ①③C. ②③D. ①
8．（2021 长春）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC＝3BD，则点B的横坐标为（　B　）

A．B．2C．D．3
22. （2021•雅安）已知反比例函数的图象经过点．

（1）求该反比例函数的表达式；
（2）如图，在反比例函数的图象上点A的右侧取点C，作CH⊥x轴于H，过点A作y轴的垂线AG交直线于点D．
①过点A，点C分别作x轴，y轴的垂线，交于B，垂足分别为为F、E，连结OB，BD，求证：O，B，D三点共线；
②若，求证：．
【答案】解：（1）∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴该反比例函数的表达式为；
（2）①设点C（），则B（2，），D（），
∴OE=，BE=2，CD=3-，BC=，
∴tan∠EBO=，tan∠DBC=，
∴∠EBO=∠DBC，
∵∠DBC+∠OBC=∠EBO+∠OBC=180°，
∴点O，点B，点D三点共线；
②设AC与OD交于K，
∵AD⊥y轴，CB⊥y轴，
∴AD∥BC∥x轴，
∵AF⊥x轴，DH⊥x轴，
∴AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AF⊥x轴，AD∥x轴，
∴AF⊥AD，
∴∠BAD=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴∠KAD=∠KDA，KA=KC=，
∵，
∴AO=AK，
∴∠AOD=∠AKO，
又∵∠AKO为△AKD的外角，
∴∠AKO=∠KAD+∠KDA=2∠ADK，
∵AD∥OH ，
∴∠DOH=∠ADK，
∴∠AOD=2∠DOH．

19．（2021•鄂尔多斯）如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点E，与BC交于点F，且CF﹣BE＝1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP＝S矩形ABCD，求此时点P的坐标．

23.（2021•赤峰） 阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点N的坐标为，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为．
①若点B的坐标为，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；
②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为，点Q的坐标为， 若使函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k的取值范围．

【答案】解：（1）①∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴点A、B的“相关矩形”如图所示，

∴点A、B的“相关矩形”周长=
故答案为：12；
②由定义知，AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的相关矩形是正方形，且
∴点C的坐标为或
设直线AC的解析式为，
将，代入解得，
∴
将，代入解得，
∴
∴符合题意得直线AC的解析式为或．

（2）∵点P的坐标为，点Q的坐标为，
∴点P，Q的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3，-2），（6，-4）
当函数的图象经过（3，-2）时，k=-6，
当函数的图象经过（6，-4）时，k=-24，
∴函数的图象与点P、Q的“相关矩形 ”有两个公共点时，k的取值范围是：

22. （2021 张家界）阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量取值范围内任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是增函数．
证明：任取，且，
则
∵且，
∴，
∴，即，
∴函数是增函数．
根据以上材料解答下列问题：
（1）函数，，，_______，_______；
（2）猜想是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．
【解析】解：（1），
（2）猜想：是减函数；
证明：任取，，，则

∵且，
∴，
∴，即
∴函数是减函数．
26. （2021•常州）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．
【理解】
（1）如图1，，垂足分别为C、D，E是的中点，连接．已知，．
①分别求线段、的长（用含a、b的代数式表示）；
②比较大小：__________（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代数式表示该大小关系．


【应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点M、N在反比例函数的图像上，横坐标分别为m、n．设，记．
①当时，__________；当时，________；
②通过归纳猜想，可得l的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．
【答案】解：（1）①∵，
∴∠ACD+∠A=∠ACD+∠BCD=90°，即：∠A=∠BCD，
又∵∠ADC=∠CDB=90°，∴，
∴，即：，∴，即：（负值舍去），
∵E是的中点，∴==；
②∵，，∴＞，即：＞．故答案是：＞；
（2）①当时，==，
当时，==，
故答案是：，1；
②l的最小值是：1，理由如下：
由题意得：M(m，)，N(n，)，过点M作x，y轴的平行线，过点N作x，y轴的平行线，如图所示，则A(n，)，B(m，)，
==
=[（①的面积+②的面积）+②的面积+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积+③的面积 +④的面积）]
= [（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+（①的面积+②的面积）+（②的面积+④的面积）+③的面积]
=(1+1+1+1+③的面积)≥1，
∴l的最小值是1．

（2021•杭州）20．（10分）在直角坐标系中，设函数y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0）与函数y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）的图象交于点A，点A关于y轴的对称点为点B．
（1）若点B的坐标为（﹣1，2），
①求k1，k2的值；
②当y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（2）若点B在函数y3＝（k3是常数，k3≠0）的图象上，求k1+k3的值．

【分析】（1）①由题意得，点A的坐标是（1，2），分别代入y1＝（k1是常数，k1＞0，x＞0），y2＝k2x（k2是常数，k2≠0）即可求得k1，k2的值；
②根据图象即可求得；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），根据待定系数法即可求得k1＝x0•y，k3＝﹣x0•y，即可求得k1+k3＝0．
【解答】解：（1）①由题意得，点A的坐标是（1，
∵函数y1＝（k1是常数，k1＞4，x＞0）与函数y2＝k8x（k2是常数，k2≠7）的图象交于点A，
∴2＝，2＝k2，
∴k7＝2，k2＝4；
②由图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞2；
（2）设点A的坐标是（x0，y），则点B的坐标是（﹣x0，y），
∴k5＝x0•y，k3＝﹣x7•y，
∴k1+k3＝5．
（2021•金华）23．（10分）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．
（1）求k的值．
（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．

【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可．
（2）①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．
②描点法在车上的图象，根据函数图象可得结论（答案不唯一）．
③由题意可知直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,构建方程组，利用△＝0，求出k可得结论．
【解答】解：（1）∵AC＝4,CD＝3,
∴AD＝AC﹣CD＝1,
∵四边形ABED是正方形，
∴AB＝1,
∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°,
∴四边形ABOC是矩形，
∴OB＝AC＝4,
∴A(4,1),
∴k＝4．
(2)①由题意，A(x,x﹣z),
∴x(x﹣z)＝4,
∴z＝x﹣．
②图象如图所示．

性质1：x＞0时，y随x的增大而增大．
性质2：x＜0时，y随x的增大而增大．
③设直线的解析式为y＝kx+b,
把（3,2）代入得到，2＝3k+b,
∴b＝2﹣3k,
∴直线的解析式为y＝kx+2﹣3k,
由,消去y得到，（k﹣1）x2+(2﹣3k)x+4＝0,
当△＝0时，(2﹣3k)2﹣4(k﹣1)×4＝0,
解得k＝或2，
当k＝时，方程为x2﹣x+4,解得x＝6．
当k＝2时，方程为x2﹣4x+4＝0,解得x＝2．
综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或6．

课时12 二次函数的图象与性质
二次函数的图象与性质
（2021•襄阳）10．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（D　　）

A．B．
C．D．
（2021•深圳）9．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ A ）




A
B
C
D
（2021•东营）8．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．D．

（2021•聊城）10. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）

A. B. C. D.
（2021•娄底）12. 用数形结合等思想方法确定二次函数的图象与反比例函数的图象的交点的横坐标所在的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，来判断出交点横坐标所在的范围．
【详解】解：在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象，如下图：

由图知，显然，
当时，将其分别代入与计算得；
，
，
此时反比例函数图象在二次函数图象的上方，

故选：D．
12. （2021•雅安）定义：，若函数，则该函数的最大值为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 4
【答案】C
（2021•安顺）13.二次函数的图象开口方向是___向上___（填“向上”或“向下”）.
（2021•天门）9. 若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ A ）
A. B. C. D.
（2021•大庆）10. 已知函数，则下列说法不正确的个数是（ C ）
①若该函数图像与轴只有一个交点，则
②方程至少有一个整数根
③若，则的函数值都是负数
④不存在实数，使得对任意实数都成立
A. 0B. 1C. 2D. 3
（2021•荆门）10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论的个数是（　A　）
A．4B．3C．2D．1
（2021•福建）10. 二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ C ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则

（2021•黔东南）20.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数图象经过点（1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c＞0；④当x＝m（1＜m＜2）时，am2+bm＜2﹣c；⑤b＞1，其中正确的有 　②④⑤　．（填写正确的序号）

（2021•齐齐哈尔）10. 如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ C ）


A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
（2021•鄂州）9. 二次函数图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ C ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
（2021•随州）10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM，其中正确的有（　B　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（2021•北京）26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
（2021•恩施）12．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（　B　）个．

A．1B．2C．3D．4
（2021•黄石）10．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
m
2
2
n
…
且当x＝时，对应的函数值y＜0．有以下结论：
①abc＞0；②m+n＜﹣；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．
其中正确的结论是（　　）
A．①②B．②③C．③④D．②③④
（2021•武汉）15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c＝0．下列四个结论：
①若抛物线经过点（﹣3，0），则b＝2a；
②若b＝c，则方程cx2+bx+a＝0一定有根x＝﹣2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0＜a＜c，则当x1＜x2＜1时，y1＞y2．
其中正确的是 　①②④　（填写序号）．
（2021•毕节）15.如图，已如抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线.下列结论错误的是

A. B.C.D.
（2021•资阳）10．已知A、B两点的坐标分别为（3，﹣4）、（0，﹣2），线段AB上有一动点M（m，n），过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a（x﹣1）2+2于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为（　　）
A．﹣4≤a＜﹣B．﹣4≤a≤﹣C．﹣≤a＜0D．﹣＜a＜0
【分析】如图，由题意，抛物线的开口向下，a＜0．求出抛物线经过点A时a的值即可．
【解答】解：如图，由题意，抛物线的开口向下，a