2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之函数

这是一份2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之函数，共43页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之函数
一、选择题（共10小题）
1．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为　　
A． B．5 C． D．6
2．（2020•陕西）变量，的一些对应值如下表：




0
1
2
3





0
1
8
27

根据表格中的数据规律，当时，的值是　　
A．75 B． C．125 D．
3．（2019•陕西）若直线经过点，且与轴的交点在轴上方，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
4．（2019•陕西）是点关于轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为　　
A． B． C． D．
5．（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为　　
A．， B．， C．， D．，
6．（2018•陕西）对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2018•陕西）如图，在矩形中，，．若正比例函数的图象经过点，则的值为　　

A． B． C． D．2
8．（2017•陕西）设一次函数的图象经过点，且的值随的值增大而增大，则该一次函数的图象一定不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2017•陕西）如图，已知直线与直线在第一象限交于点．若直线与轴的交点为，则的取值范围是　　

A． B． C． D．
10．（2017•陕西）已知抛物线的顶点关于坐标原点的对称点为，若点在这条抛物线上，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
二、填空题（共9小题）
11．（2021•陕西）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是　　（填“”、“ ”或“”
12．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为　　．
13．（2020•陕西）如图，在中，，，，边在轴上，若双曲线经过边上一点，并与边交于点，则点的坐标为　　．

14．（2019•陕西）如图，是矩形的对称中心，，，若一个反比例函数的图象经过点，交于点，则点的坐标为　　．

15．（2019•陕西）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为4，边、分别在轴、轴上，一个反比例函数的图象经过点．若该函数图象上的点到轴的距离是这个正方形边长的一半，则点的坐标为　　．

16．（2018•陕西）若一个反比例函数的图象经过点和，则这个反比例函数的表达式为　　．
17．（2018•陕西）若一个反比例函数的图象与直线的一个交点为，则这个反比例函数的表达式是　　．
18．（2017•陕西）若正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，则的取值范围是　　
19．（2017•陕西）已知，两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于轴对称，则的值为　　．
三、解答题（共10小题）
20．（2021•陕西）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求点、的坐标；
（2）设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2020•陕西）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，是上的点．要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标．

22．（2020•陕西）小蕾家与外婆家相距，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到服务区，爸爸驾车到服务区接小蕾回家．两人在服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到服务区的过程中，与之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？

23．（2019•陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，关于原点对称的抛物线为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点在抛物线上，且位于第一象限，过点作轴，垂足为．若与相似，求符合条件的点的坐标．

24．（2019•陕西）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接、．以点为位似中心，画△，使它与位似，且相似比为2，、、分别是点、、的对应点．试判定是否存在满足条件的点、在抛物线上？若存在，求点、的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2019•陕西）在所挂物体质量不超过时，一弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数表达式及该弹簧不挂物体时的长度；
（2）若该弹簧挂上一个物体后，弹簧长度为，求这个物体的质量．

26．（2018•陕西）已知抛物线与轴相交于和两点，并与轴相交于点．抛物线与关于坐标原点对称，点、在上的对应点分别为、
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得△的面积等于△的面积？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2018•陕西）已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），并与轴相交于点．
（1）求、、三点的坐标，并求的面积；
（2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，且与轴相交于、两点（点在点的左侧），并与轴相交于点，要使△和的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
28．（2017•陕西）如图，已知抛物线与轴交于、两点．与轴交于点．且，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接、，在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

29．（2017•陕西）某樱桃种植户有20吨樱桃待售，现有两种销售方式：一是批发，二是零售．经过市场调查，这两种销售方式对这个种植户而言，每天的销量及每吨所获的利润如下表：
销售方式
每天销量（吨
每吨所获利润（元
批发
3
4000
零售
1
6000
假设该种植户售完20吨樱桃，共批发了吨，所获总利润为元．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）若受客观因素影响，这个种植户每天只能采用一种销售方式销售，且正好10天销售完所有樱桃，请计算该种植户所获总利润是多少元？

2017-2021年陕西中考数学真题分类汇编之函数
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则的值为　　
A． B．5 C． D．6
【答案】
【考点】一次函数图象与几何变换；正比例函数的图象
【专题】运算能力；应用意识；一次函数及其应用
【分析】根据平移的规律得到平移后抛物线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．
【解答】解：将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到，
把代入，得到：，
解得．
故选：．
【点评】主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
2．（2020•陕西）变量，的一些对应值如下表：




0
1
2
3





0
1
8
27

根据表格中的数据规律，当时，的值是　　
A．75 B． C．125 D．
【答案】
【考点】：函数的图象
【专题】66：运算能力；53：函数及其图象
【分析】根据表格数据得到函数为，把代入求得即可．
【解答】解：根据表格数据画出图象如图：

由图象可知，函数的解析式为，
把代入得，．
故选：．
【点评】本题考查了函数图象上点的坐标特征，图象上的点适合解析式，根据表格数据得到函数的解析式是解题的关键．
3．（2019•陕西）若直线经过点，且与轴的交点在轴上方，则的取值范围是　　
A． B． C． D．
【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：一次函数图象与系数的关系
【专题】533：一次函数及其应用；64：几何直观
【分析】直线与轴交于点，依据直线经过点，即可得出，再根据直线与轴的交点在轴上方，即可得到的取值范围．
【解答】解：直线中，令，则，
直线与轴交于点，
又直线经过点，
，
，
又直线与轴的交点在轴上方，
，即，
解得，
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．
4．（2019•陕西）是点关于轴的对称点．若一个正比例函数的图象经过点，则该函数的表达式为　　
A． B． C． D．
【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：关于轴、轴对称的点的坐标；：待定系数法求正比例函数解析式
【专题】533：一次函数及其应用；66：运算能力
【分析】先求得的坐标，然后设该正比例函数的解析式为，再把点的坐标代入求出的值即可．
【解答】解：是点关于轴的对称点．
，
设该正比例函数的解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，解得，
这个正比例函数的表达式是．
故选：．
【点评】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．（2019•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则符合条件的，的值为　　
A．， B．， C．， D．，
【考点】：二次函数图象与几何变换
【专题】535：二次函数图象及其性质
【分析】根据关于轴对称，，不变，变为相反数列出方程组，解方程组即可求得．
【解答】解：抛物线与关于轴对称，
，解之得，
则符合条件的，的值为，，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据题意列出方程组是解题的关键．
6．（2018•陕西）对于抛物线，当时，，则这条抛物线的顶点一定在　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点
【专题】53：函数及其图象
【分析】把代入解析式，根据，得出关于的不等式，得出的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可．
【解答】解：把，代入解析式可得：，
解得：，
所以可得：，，
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，
故选：．
【点评】此题考查抛物线与轴的交点，关键是得出的取值范围，利用二次函数的性质解答．
7．（2018•陕西）如图，在矩形中，，．若正比例函数的图象经过点，则的值为　　

A． B． C． D．2
【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：矩形的性质
【专题】533：一次函数及其应用；1：常规题型
【分析】根据矩形的性质得出点的坐标，再将点坐标代入解析式求解可得．
【解答】解：，．
、，
四边形是矩形，
、，
则点的坐标为，
将点代入，得：，
解得：，
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握矩形的性质和待定系数法求函数解析式．
8．（2017•陕西）设一次函数的图象经过点，且的值随的值增大而增大，则该一次函数的图象一定不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】：一次函数的性质
【专题】53：函数及其图象
【分析】根据题意，易得，结合一次函数的性质，可得答案．
【解答】解：因为一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，
所以，，
即函数图象经过第一，三，四象限，
故选：．
【点评】本题考查一次函数的性质，注意一次项系数与函数的增减性之间的关系．
9．（2017•陕西）如图，已知直线与直线在第一象限交于点．若直线与轴的交点为，则的取值范围是　　

A． B． C． D．
【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：两条直线相交或平行问题
【专题】17：推理填空题
【分析】首先根据直线与轴的交点为，求出、的关系；然后求出直线、直线的交点坐标，根据直线、直线的交点横坐标、纵坐标都大于0，求出的取值范围即可．
【解答】解：直线与轴的交点为，
，

解得
直线与直线的交点在第一象限，

解得．
故选：．
【点评】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．
10．（2017•陕西）已知抛物线的顶点关于坐标原点的对称点为，若点在这条抛物线上，则点的坐标为　　
A． B． C． D．
【考点】：二次函数的性质
【分析】先利用配方法求得点的坐标，然后利用关于原点对称点的特点得到点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的解析式求解即可．
【解答】解：．
点．
点．
．
解得．
，
．
．
故选：．
【点评】本题主要考查的是二次函数的性质、关于原点对称的点的坐标特点，求得点的坐标是解题的关键．
二、填空题（共9小题）
11．（2021•陕西）若，是反比例函数图象上的两点，则、的大小关系是　　（填“”、“ ”或“”
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】推理能力；反比例函数及其应用
【分析】反比例函数的系数为，在每一个象限内，随的增大而增大．
【解答】解：，
图象位于二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，
又，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
12．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为　　．
【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】66：运算能力；534：反比例函数及其应用
【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论．
【解答】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，
点一定在第三象限，
在第一象限，反比例函数的图象经过其中两点，
反比例函数的图象经过，，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．
13．（2020•陕西）如图，在中，，，，边在轴上，若双曲线经过边上一点，并与边交于点，则点的坐标为　　．

【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】66：运算能力；534：反比例函数及其应用
【分析】作于，易证得，得到，求得的值，即可求得的坐标，代入，求得的值，得到解析式，把代入解析式即可求得的坐标．
【解答】解：作于，
点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
双曲线经过点，
，
双曲线为，
把代入得，
，
故答案为．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，根据三角形相似求得的坐标是解题的关键．
14．（2019•陕西）如图，是矩形的对称中心，，，若一个反比例函数的图象经过点，交于点，则点的坐标为　，　．

【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征；：矩形的性质；：中心对称
【专题】534：反比例函数及其应用
【分析】根据矩形的性质求得，由是矩形的对称中心，求得，设反比例函数的解析式为，代入点的坐标，即可求得的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求得点的坐标．
【解答】解：，，
，
是矩形的对称中心，
，
设反比例函数的解析式为，
，
反比例函数的解析式为，
把代入得，解得，
故的坐标为，．
故答案为，．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得点的坐标是解题的关键．
15．（2019•陕西）如图，在平面直角坐标系中，正方形的面积为4，边、分别在轴、轴上，一个反比例函数的图象经过点．若该函数图象上的点到轴的距离是这个正方形边长的一半，则点的坐标为　或　．

【考点】：正方形的性质；：反比例函数系数的几何意义；：反比例函数图象上点的坐标特征
【专题】534：反比例函数及其应用；556：矩形 菱形 正方形；69：应用意识
【分析】先根据正方形的面积公式求得正方形的边长，进而得点坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式，根据题目条件求得点的横坐标，进而求得点坐标．
【解答】解：正方形的面积为4，
，
，
设反比例函数的解析式为，
，
该函数图象上的点到轴的距离是这个正方形边长的一半，
点的横坐标为：，
点的坐标为或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象与性质，正方形的性质，关键是求出点坐标．
16．（2018•陕西）若一个反比例函数的图象经过点和，则这个反比例函数的表达式为　　．
【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求反比例函数解析式
【专题】534：反比例函数及其应用
【分析】设反比例函数的表达式为，依据反比例函数的图象经过点和，即可得到的值，进而得出反比例函数的表达式为．
【解答】解：设反比例函数的表达式为，
反比例函数的图象经过点和，
，
解得，（舍去），
，
反比例函数的表达式为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
17．（2018•陕西）若一个反比例函数的图象与直线的一个交点为，则这个反比例函数的表达式是　　．
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】65：数据分析观念；534：反比例函数及其应用
【分析】用待定系数法即可求解．
【解答】解：将点的坐标代入得：，解得：，则点，
设反比例函数表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，
故反比例函数的表达式是，
故答案为．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求函数表达式是解题的关键．
18．（2017•陕西）若正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，则的取值范围是　　
【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题
【专题】33：函数思想
【分析】根据正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，则，根据一元二次方程有解，求得的取值范围．
【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象有公共点，
，
有解，
△，
解得且

故答案为：
【点评】考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是理解两个函数图象有交点的含义．
19．（2017•陕西）已知，两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于轴对称，则的值为　1　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；关于轴、轴对称的点的坐标
【分析】设，则，将它们的坐标分别代入各自所在的函数解析式，通过方程来求的值．
【解答】解：设，则，
依题意得：，
所以，即，
解得．
故答案是：1．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于轴，轴对称的点的坐标．根据题意得，即是解题的难点．
三、解答题（共10小题）
20．（2021•陕西）已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求点、的坐标；
（2）设点与点关于该抛物线的对称轴对称．在轴上是否存在点，使与相似，且与是对应边？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）或．
【考点】二次函数综合题
【专题】二次函数的应用；推理能力
【分析】（1）直接根据解析式即可求出，的坐标；
（2）先设出的坐标，根据相似三角形的性质列出方程，解出方程即可得到点的坐标．
【解答】解：（1），
取，得，
，
取，得，
解得：，，
；
（2）存在点，设，
若是斜边，则，不合题意，舍去，
，且与是对应边，
，
即：，
解得：，，
或．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，要牢记抛物线和坐标轴的交点的计算公式，尤其是和轴的交点一般是两个，要能根据抛物线的解析式求出来，还有相似三角形的性质在综合题型中经常出现，要熟记．
21．（2020•陕西）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）是该抛物线上的点，过点作的垂线，垂足为，是上的点．要使以、、为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标．

【考点】二次函数综合题
【专题】分类讨论；数据分析观念
【分析】（1）将点和代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：时，以、、为顶点的三角形与全等，分点在抛物线对称轴右侧、点在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）将点和代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：；

（2）抛物线的对称轴为直线，
令，则或1，令，则，
故点、的坐标分别为、；点，
故，
，
当时，以、、为顶点的三角形与全等，
设点，当点在抛物线对称轴右侧时，，解得：，
故，故点，
故点或；
当点在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点，此时点坐标同上，
综上，点的坐标为或；点的坐标为或．

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等等，有一定的综合性，难度适中，其中（2）需要分类求解，避免遗漏．
22．（2020•陕西）小蕾家与外婆家相距，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到服务区，爸爸驾车到服务区接小蕾回家．两人在服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示．
（1）求小蕾从外婆家到服务区的过程中，与之间的函数关系式；
（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？

【考点】：一次函数的应用
【专题】533：一次函数及其应用；69：应用意识
【分析】（1）设与之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可；
（2）根据“时间路程速度”，求出从服务区到家的时间即可解答．
【解答】解：（1）设与之间的函数关系式为，根据题意得：
，
解得，
与之间的函数关系式为；

（2）把代入，得，
从服务区到家的时间为：（小时），
（小时），
答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．
【点评】本题考查了一次函数的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法求出函数关系式．
23．（2019•陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，关于原点对称的抛物线为．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点在抛物线上，且位于第一象限，过点作轴，垂足为．若与相似，求符合条件的点的坐标．

【考点】：二次函数综合题
【专题】66：运算能力；16：压轴题；41：待定系数法；：图形的相似
【分析】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分、两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

（2）点、在上的对应点分别为、，
设抛物线的表达式，
将代入，得，
抛物线的表达式为，
，，
，，
设：，或，
轴，
点的坐标为，
，，
与相似，
①时，
，即，
解得：或4；
②当时，
同理可得：或6；
、、、均在第一象限，
符合条件的点的坐标为或或，或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形相似等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
24．（2019•陕西）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接、．以点为位似中心，画△，使它与位似，且相似比为2，、、分别是点、、的对应点．试判定是否存在满足条件的点、在抛物线上？若存在，求点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题
【专题】图形的相似；空间观念；数据分析观念
【分析】（1）抛物线经过点，，则设，将点的坐标代入上式即可求解；
（2）分△在下方、△在上方两种情况，通过画图即可求解．
【解答】解：（1）抛物线经过点，，
设．
又在上，
．
．

（2）如图，，

在的对称轴上．
△与位似，位似中心为，且相似比为2．
①当△在下方时，
显然，点、不会在抛物线上；
②当△在上方时，
如上图，．
点、的横坐标分别为5，．
设对称轴分别与、的交点为、．
由题意，可知．
点的对应点．
点、的纵坐标均为6．
，．
当时，．
点在抛物线上．同理，可得也在抛物线上．
存在点，在抛物线上．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似等，解题的关键是正确画图，确定△的位置．
25．（2019•陕西）在所挂物体质量不超过时，一弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数表达式及该弹簧不挂物体时的长度；
（2）若该弹簧挂上一个物体后，弹簧长度为，求这个物体的质量．

【考点】：一次函数的应用
【专题】69：应用意识；66：运算能力；533：一次函数及其应用
【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得与的函数关系式，然后令求出的值，即可得到该弹簧不挂物体时的长度；
（2）将代入（1）中的函数关系式，求出的值，即可得到这个物体的质量．
【解答】解：（1）设与的函数关系式为，
，
解得，
即与的函数关系式为，
令，得．
即该弹簧不挂物体时的长度为；
（2）当时，．得．
即这个物体的质量为．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
26．（2018•陕西）已知抛物线与轴相交于和两点，并与轴相交于点．抛物线与关于坐标原点对称，点、在上的对应点分别为、
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在点，使得△的面积等于△的面积？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】：二次函数图象与几何变换；：三角形的面积；：二次函数的性质；：待定系数法求二次函数解析式
【专题】153：代数几何综合题
【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式．
（2）由二次函数图象上点的坐标特征和关于原点对称的点的坐标的性质求得，，则，，．
设上的点在上的对应点为，的纵坐标为，由对称性，可得要使，由此列出关于的方程，通过解方程求得的值．易得的坐标为，或，再一次利用由对称性，可得的坐标．
【解答】解：（1）将代入，得．
解之，得
抛物线的函数表达式为．

（2）存在，在中，令，则，
．
令，则．
解之，得或．
．
抛物线与关于坐标原点对称，
，，
，，．
设上的点在上的对应点为，的纵坐标为，
由对称性，可得要使，则，
，
令，则
解之，得
令，则
解之，得或的坐标为，或
由对称性，可得的坐标为，，或，．
【点评】考查了待定系数法确定函数关系式，抛物线与轴的交点坐标，关于原点对称的点的坐标的性质，三角形的面积公式，综合性比较强．
27．（2018•陕西）已知抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），并与轴相交于点．
（1）求、、三点的坐标，并求的面积；
（2）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线，且与轴相交于、两点（点在点的左侧），并与轴相交于点，要使△和的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．
【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与轴的交点
【专题】计算题
【分析】（1）解方程得点和点坐标，计算自变量为0的函数值得到点坐标，然后利用三角形面积公式计算的面积；
（2）利用抛物线平移得到，再利用△和的面积相等得到或，则设抛物线的解析式为或，当，，然后利用得到，于是解出得到抛物线的解析式；当，，利用同样方法可得到对应抛物线的解析式．
【解答】解：（1）当时，，解得，，
，，
当时，，
，
的面积；
（2）抛物线向左或向右平移，得到抛物线，
，
△和的面积相等，
，即或，
设抛物线的解析式为或
设、，
当、为方程的两根，
，，
，
，
，
，解得或，
抛物线的解析式为．
当、为方程的两根，
，，
，
，
，
，解得或，
抛物线的解析式为或．
综上所述，抛物线的解析式为或或．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
28．（2017•陕西）如图，已知抛物线与轴交于、两点．与轴交于点．且，．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接、，在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】：二次函数综合题
【专题】153：代数几何综合题
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）点是点关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点，要使的值最小，则点就是与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式，把抛物线对称轴代入即可得到点的坐标；
（3）设，结合三角形的面积公式解答．
【解答】解：（1）由，，得
，
即，，
把，，的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；

（2）点、关于对称轴对称，
点为与对称轴的交点时，的值最小．
设直线的解析式为，
则，
解得：．
直线的解析式为．
抛物线的对称轴为直线．
当时，．
抛物线对称轴上存在点符合题意；

（3）设，
，，
，．
．
，
，即，
解得或．
当时，．此时．
当时，．此时．
综上所述，符合条件的点的坐标是或．

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
29．（2017•陕西）某樱桃种植户有20吨樱桃待售，现有两种销售方式：一是批发，二是零售．经过市场调查，这两种销售方式对这个种植户而言，每天的销量及每吨所获的利润如下表：
销售方式
每天销量（吨
每吨所获利润（元
批发
3
4000
零售
1
6000
假设该种植户售完20吨樱桃，共批发了吨，所获总利润为元．
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）若受客观因素影响，这个种植户每天只能采用一种销售方式销售，且正好10天销售完所有樱桃，请计算该种植户所获总利润是多少元？
【考点】：一元一次方程的应用；：一次函数的应用
【专题】521：一次方程（组及应用；533：一次函数及其应用；66：运算能力；69：应用意识
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到与之间的函数关系式；
（2）根据这个种植户每天只能采用一种销售方式销售，且正好10天销售完所有樱桃，可以得到相应的方程，从而可以得到批发的天数，然后根据（1）中的函数关系式，即可得到该种植户所获总利润是多少元．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
即与之间的函数关系式是；
（2）设批发天，则零售天，
，
解得，，
则，
故，
即该种植户所获总利润是90000元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

考点卡片
1．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
2．函数的图象
函数的图象定义
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
注意：①函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点P（x，y）的x、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上．．
3．正比例函数的图象
正比例函数的图象．
4．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
5．一次函数图象与系数的关系
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限．
6．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
7．一次函数图象与几何变换
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）
①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；
（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）
②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；
（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）
③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．
（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）
8．待定系数法求正比例函数解析式
待定系数法求正比例函数的解析式．
9．两条直线相交或平行问题
直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．
（1）两条直线的交点问题
两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
（2）两条直线的平行问题
若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．
例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2．
10．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
11．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．
12．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
13．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
14．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；
②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．
15．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
16．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
17．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
18．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
19．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
20．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
21．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
22．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
23．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
24．中心对称
（1）中心对称的定义
把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．．
（2）中心对称的性质
①关于中心对称的两个图形能够完全重合；
②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．