047应用动量定理分析解决流体类、微粒流类变质量问题 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题

一.必备知识精讲

1.动量定理的理解

(1)动量定理反映了力的冲量与动量变化之间的因果关系，即合力的冲量是原因，物体的动量变化是结果。

(2)动量定理中的冲量是所受合力的冲量，既是各力冲量的矢量和，也是合力在不同阶段冲量的矢量和。

(3)动量定理的表达式是矢量式，等号包含了大小相等、方向相同两方面的含义。

(4)由FΔt＝p′－p，得F＝＝，即物体所受的合力等于物体的动量对时间的变化率。

2．用动量定理解释生活现象

(1)Δp一定时，F的作用时间越短，力越大；时间越长，力越小。

(2)F一定时，力的作用时间越长，Δp越大；时间越短，Δp越小。

分析问题时，要明确哪个量一定，哪个量变化。

3．用动量定理解题的基本思路

(1)确定研究对象。在中学阶段用动量定理讨论的问题，其研究对象一般仅限于单个物体。

(2)对物体进行受力分析，求合冲量。可先求每个力的冲量，再求各力冲量的矢量和；或先求合力，再求其冲量。

(3)抓住过程的初、末状态，选好正方向，确定各动量和冲量的正负号。

(4)根据动量定理列方程，如有必要还需要补充其他方程，最后代入数据求解。

对过程较复杂的运动，可分段用动量定理，也可对整个过程用动量定理。

4.对于液体、气体类的流体

5.对于微粒类问题

二.典型例题精讲：

题型一：液体类

例1.(2016·全国卷Ⅰ)某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S)；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g。求：

(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；

(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

[答案]　(1)ρv0S　(2)－

[解析]　(1)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则：

Δm＝ρΔV①

ΔV＝v0SΔt②

由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为

＝ρv0S③

(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v。对于Δt时间内喷出的水，由能量守恒得

(Δm)v2＋(Δm)gh＝(Δm)v④

在h高度处，Δt时间内喷射到玩具底面的水沿竖直方向的动量变化量的大小为Δp＝(Δm)v⑤

设水对玩具的作用力的大小为F，根据动量定理有

FΔt＋ΔmgΔt＝Δp⑥

因为ΔmgΔt＝ρv0SgΔt2含Δt的二次项，所以与FΔt相比，ΔmgΔt可忽略。

由于玩具在空中悬停，由力的平衡条件和牛顿第三定律得F＝Mg⑦

联立③④⑤⑥⑦式得h＝－。

题型二：微粒流类

例2．我国航天事业持续飞速发展，2019年1月，嫦娥四号飞船在太阳系

最大的撞击坑内靠近月球南极的地点着陆月球背面。假设有一种宇宙飞船利用离子喷气发动机加速起飞，发动机加速电压为U，喷出二价氧离子，离子束电流为I，那么下列结论正确的是(元电荷为e，氧离子质量为m0，飞船质量为M)(　　)

A．喷出的每个氧离子的动量p＝2eU

B．飞船所受到的推力为F＝I

C．飞船的加速度为a＝

D．推力做功的功率为2MeU

答案　B

解析　对于每个氧离子，在加速电压U的作用下加速，有：2eU＝m0v2，p＝m0v，解得：p＝2，故A错误；设Δt时间内有n个离子被喷出，根据电流的定义式：I＝＝，对于单个离子，由动量定理得：F0Δt＝m0v，若有n个离子被喷出，则有F′＝nF0，联立以上各式可得：F′＝I，由牛顿第三定律得：F＝F′＝I ，故B正确；对飞船，由牛顿第二定律得：a＝＝ ，故C错误；功率的单位与2MeU的单位不同，故D错误。

三.举一反三，巩固练习

1．(2019·全国卷Ⅰ)最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展。若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为4.8×106 N，则它在1 s时间内喷射的气体质量约为(　　)

A．1.6×102 kg  B.1.6×103 kg

C．1.6×105 kg  D.1.6×106 kg

答案　B

解析　设1 s内喷出气体的质量为m，喷出的气体与该发动机的相互作用力为F，由动量定理知Ft＝mv，m＝＝ kg＝1.6×103 kg，B正确。

2. (多选)2019年10月，直20武装直升机在第五届中国天津国际直升机博览会亮相。如图所示，直20的旋翼桨盘面积(桨叶旋转形成的圆面面积)为S，空气密度为ρ，直升机质量为m，重力加速度为g。当直升机悬停在空中时，空气浮力不计，风力的影响也不计，下列说法正确的是(　　)

A．直升机悬停时受到的升力大小为mg

B．被螺旋桨推动的空气速度大小为

C．1秒内被螺旋桨推动的空气质量为

D．1秒内发动机做的功为

答案　AC

解析　根据平衡条件可得直升机悬停时受到的升力大小为F＝mg，故A正确；Δt时间内被螺旋桨加速的空气质量为Δm′＝ρSvΔt，设螺旋桨对空气的作用力大小为F′，对质量为Δm′的空气，由动量定理有，F′Δt＝Δm′v－0，根据牛顿第三定律，F′＝F，联立解得v＝，故B错误；1秒内被螺旋桨推动的空气质量为M＝ρSv＝ρS＝，故C正确；由动能定理可得1秒内发动机所做的功为W＝Mv2＝，故D错误。

3.超强台风“山竹”的风力达到17级超强台风强度，风速60 m/s左右，对固定建筑物破坏程度巨大．请你根据所学物理知识推算固定建筑物所受风力(空气的压力)与风速(空气流动速度)大小的关系．假设某一建筑物垂直风速方向的受力面积为S，风速大小为v，空气吹到建筑物上后速度瞬间减为零，空气密度为ρ，风力F与风速大小v的关系式为(　　)

A．F＝ρSv   B．F＝ρSv2

C．F＝ρSv3   D．F＝ρSv3

答案　B

解析　设t时间内吹到建筑物上的空气质量为m，则m＝ρSvt，根据动量定理得－F′t＝0－mv＝0－ρSv2t，解得F′＝ρSv2，由牛顿第三定律得：F＝F′＝ρSv2，故B正确，A、C、D错误.

4.如图所示，自动称米机已在许多大粮店广泛使用．买者认为：因为米流落到容器中时对容器有向下的冲力而不划算；卖者则认为：当预定米的质量达到要求时，自动装置即刻切断米流，此刻有一些米仍在空中，这些米是多给买者的，因而双方争执起来．下列说法正确的是(　　)

A．买者说的对    B．卖者说的对

C．公平交易   D．具有随机性，无法判断

答案：C

【解析】　设米流的流量为d，它是恒定的，米流在出口处速度很小可视为零，若切断米流后，设盛米的容器中静止的那部分米的质量为m1，空中还在下落的米的质量为m2，落到已静止的米堆上的一小部分米的质量为Δm.在极短时间Δt内，取Δm为研究对象，这部分米很少，Δm＝d·Δt，设其落到米堆上之前的速度为v，经Δt时间静止，如图所示，取竖直向上为正方向，由动量定理得(F－Δmg)Δt＝Δmv

即F＝dv＋d·Δt·g，因Δt很小，故F＝dv

根据牛顿第三定律知F＝F′，称米机的读数应为

M＝＝＝m1＋d

因切断米流后空中尚有t＝时间内对应的米流在空中，故d＝m2，可见，称米机读数包含了静止在袋中的那部

分米的质量m1，也包含了尚在空中的下落的米的质量m2，即自动称米机是准确的，不存在哪方划算不划算的问题，选项C正确．

5.使用高压水枪作为切割机床的切刀具有独特优势，得到广泛应用，如图所示，若水柱截面为S，水流以速度v垂直射到被切割的钢板上，之后水速减为零，已知水的密度为ρ，则水对钢板的冲力为(　　)

A．ρSv   B．ρSv2

C.ρSv2   D.ρSv

答案：B

解析：设t时间内有体积为V的水打在钢板上，则这些水的质量为m＝ρV＝ρSvt，以这部分水为研究对象，它受到钢板的作用力为F，以水运动的方向为正方向，由动量定理有Ft＝0－mv，即F＝－＝－ρSv2，负号表示水受到的作用力的方向与水运动的方向相反；由牛顿第三定律得，水对钢板的冲击力大小为F′＝ρSv2，故B项正确，A项、C项、D项均错误．

6．水力采煤是利用高速水流冲击煤层而进行的．煤层受到3.6×106 N/m2的压强冲击即可破碎，若水流沿水平方向冲击煤层，不考虑水的反向溅射作用，则冲击煤层的水流速度至少应为(水的密度为1×103 kg/m3)(　D　)

A．30 m/s   B．40 m/s

C．45 m/s   D．60 m/s

答案：D

解析：设溅落在煤层表面的某水柱微元的质量为Δm，由动量定理得F·Δt＝Δm·v，而Δm＝ρ·SΔl，Δl＝vΔt，联立可得＝ρv2，则速度v＝＝＝60 m/s，选项D正确．