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2020-2021学年四川省成都市新都区八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年四川省成都市新都区八年级（下）期末数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年四川省成都市新都区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，将你所选答案的字母涂在答题卡上）
1．（3分）已知：m＞n，下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．2m＞2n D．＜
2．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．9 C．4 D．6
3．（3分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
5．（3分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．a2﹣4 B．﹣x2+y2 C．x2y2﹣1 D．﹣m2﹣n2
6．（3分）下列各式中：，，，a+，（m+n），，其中分式的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等
B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度
C．对角线平分每一组对角
D．四边相等且有一个角是直角
9．（3分）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长是10，AC﹣BC＝2，则底边BC长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上．）
11．（4分）一次函数y＝（1﹣2k）x﹣3的图象在直角坐标系中过二、三、四象限，请写出k的取值范围 ．
12．（4分）分解因式x2﹣12xy+36y2＝ ．
13．（4分）若分式的值为0，则a＝ ．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BM＝BN；分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CBA内部交于点E；作射线BE交AC于点F．若CF＝2，点H为线段AB上的一动点，则FH的最小值是 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共54分．解答过程写在答题卡上．）
15．（12分）（1）分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2；
（2）解不等式组并在数轴上表示它的解集．
16．（8分）先化简m﹣1+÷，再从﹣1，0，3中选一个你认为合适的数作为m的值，代入求值．
17．（8分）新都区某中学八年级学生乘车到某实践基地参加社会实践活动，基地距学校60千米，一班学生乘慢车先行，出发15分钟后，二班学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地．已知快车的速度是慢车的1.2倍，求慢车的速度是每小时多少千米．
18．（8分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并写出A点坐标 ；C点坐标 ；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2点坐标 ；C2点坐标 ．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，BE＝DF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：△CBE≌△ADF；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
20．（10分）（1）如图1，△ABC与△DEC都是等边三角形，联结BE和AD．求证：BE＝AD．
（2）如图2，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，连接AG和CE．探究线段AG和CE有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论．
（3）如图3，在图2的基础上，连接AC，将正方形DEFG绕着点D旋转到某一位置时，恰好使得DE∥AC，CE＝AC．求出此时∠CAG的度数．
一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知x﹣2y＝3，x2﹣4y2＝15，则代数式7xy+14y2的值是 ．
22．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 ．
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝3，CA＝6，M为斜边AB上的一个动点，过点M作MD⊥AC于点D，ME⊥BC于点E．则线段DE的最小值是 ．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
25．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF＝2AF，点E1是CB边的中点，连接E1F，E1D，得到△E1FD；点E2是CE1的中点，连接E2F，E2D，得到△E2FD；点E3是CE2的中点，连接E3F，E3D，得到△E3FD；…按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于6，则△E2021FD的面积是 ．
二、解答题：（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）“爱成都，迎大运”，为迎接即将在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会，倡导全民参与健身活动，新都某社区准备购置甲、乙两种健身器材．已知，若购买1台甲器材，2台乙器材共需资金12000元，且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍．
（1）求甲、乙健身器材的单价各是多少元？
（2）现社区准备购买两种型号的器材共8台，购买总资金不超过33000元，并且甲器材的数量不超过乙器材数量的2倍．试问一共有几种购买方案？请写出所有购买方案．
（3）若甲器材一年的维护费用是200元，乙器材一年的维护费用是300元．请问（2）小题中的所有购买方案中，哪种方案的一年两种器材总维护费用W最少，并算出最少维护费用W是多少元．
27．（10分）如图1，在等边△ABC的AB边和AC边上分别取点D、E，使得AD＝AE，将△ADE绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）如图3，若AD＝，AB＝+3，且旋转角为45°时，求∠ACE的度数；
（3）如图4，连接BE，并延长CE交BD于点F，若△ADE旋转至某一位置时，恰有AD⊥BD，AD∥BE，求的值．
28．（12分）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DF∥BE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．
2020-2021学年四川省成都市新都区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，将你所选答案的字母涂在答题卡上）
1．（3分）已知：m＞n，下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．2m＞2n D．＜
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，故本选项不合题意；
B．∵m＞n，
∴﹣m＜﹣n，故本选项不合题意；
C．∵m＞n，
∴2m＞2n，故本选项符合题意；
D．∵m＞n，
∴，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．9 C．4 D．6
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：∵4+4＝8＜9，
∴腰的长不能为4，只能为9，
∴第三边长是9，
故选：B．
3．（3分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
4．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
【解答】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．a2﹣4 B．﹣x2+y2 C．x2y2﹣1 D．﹣m2﹣n2
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A、a2﹣4，两平方项符号相反，故A选项不符合题意；
B、﹣x2+y2，两平方项符号相反，故B选项不符合题意；
C、x2y2﹣1，两平方项符号相反，故C选项不符合题意；
D、﹣m2﹣n2，两平方项符号相同，故D选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）下列各式中：，，，a+，（m+n），，其中分式的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据分式的定义（A与B为整式，B≠O，且B中含有字母，形如的式子称为分式），故分式有，共4个．
【解答】解：∵A与B为整式、B≠0且B中含有字母，形如的式子叫作分式，
∴是分式．
故选：B．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：由得：x≤2．由2﹣x＜3得：x＞﹣1．所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．故选C．
8．（3分）下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等
B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度
C．对角线平分每一组对角
D．四边相等且有一个角是直角
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断能否构成正方形，不正确的说明理由或举出反例即可．
【解答】解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意；
对角线平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意；
四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
9．（3分）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得到正确选项．
【解答】解：∵线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等，
∴△ABC三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长是10，AC﹣BC＝2，则底边BC长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】根据题意可知AC+BC＝10，然后根据AC﹣BC＝2，即可得AC、BC的长度．
【解答】解：∵△BCE的周长为10，
∴BE+EC+BC＝10．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴AE+EC+BC＝10，
即AC+BC＝10，
∵AC﹣BC＝2，
∴BC＝4，
故选：C．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上．）
11．（4分）一次函数y＝（1﹣2k）x﹣3的图象在直角坐标系中过二、三、四象限，请写出k的取值范围 k＞ ．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到1﹣2k＜0，然后求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵次函数y＝（1﹣2k）x﹣3的图象在直角坐标系中过二、三、四象限，
∴1﹣2k＜0．
∴k＞．
故答案是：k＞．
12．（4分）分解因式x2﹣12xy+36y2＝ （x﹣6y）2 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x﹣6y）2．
故答案为：（x﹣6y）2．
13．（4分）若分式的值为0，则a＝ 3 ．
【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得a＝3．
故答案为：3．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BM＝BN；分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CBA内部交于点E；作射线BE交AC于点F．若CF＝2，点H为线段AB上的一动点，则FH的最小值是 2 ．
【分析】如图，过点F作FG⊥AB于G．根据角平分线的性质定理证明GF＝FC＝2，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G．
由作图可知，FB平分∠ABC，
∵GF⊥BA，FC⊥BC，
∴GF＝FC＝2，
根据垂线段最短可知，HF的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答题：（本大题共6个小题，共54分．解答过程写在答题卡上．）
15．（12分）（1）分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2；
（2）解不等式组并在数轴上表示它的解集．
【分析】（1）观察该式特点，先变形为（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2）2﹣（2xy）2．再根据公式法a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），得（x2+y2）2﹣（2xy）2＝（x+y）2（x﹣y）2．
（2）根据不等式的性质，解不等式①，解得：x＞0．解不等式②，解得：x≤2．那么，该不等式组的解集为0＜x≤2．
【解答】解：（1）（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+y2）2﹣（2xy）2
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2．
（2）解不等式①，得3x＞2x．
解得：x＞0．
解不等式②，得：﹣4x≥﹣8．
解得：x≤2．
∴该不等式组的解集为0＜x≤2．
该不等式组的解集在数轴上表示如下：
16．（8分）先化简m﹣1+÷，再从﹣1，0，3中选一个你认为合适的数作为m的值，代入求值．
【分析】应用分式的混合运算法则进行计算化为最简，当m+1≠0时，m≠﹣1分式有意义，选取m的值代入计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝m﹣1+
＝m﹣1+
＝+
＝
＝，
把m＝0代入上式，
原式＝0．
17．（8分）新都区某中学八年级学生乘车到某实践基地参加社会实践活动，基地距学校60千米，一班学生乘慢车先行，出发15分钟后，二班学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地．已知快车的速度是慢车的1.2倍，求慢车的速度是每小时多少千米．
【分析】设慢车的速是x千米/小时，则快车的速度是1.2x千米/小时，根据基地距学校60千米，他们同时到达基地列出分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设慢车与快车的速是xkm/h，则快车的速度是1.2xkm/h，
根据题意得 ﹣＝，
解得：x＝40，
检验：经检验x＝40是原方程的根，
答：慢车速度为40千米/小时．
18．（8分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并写出A点坐标 （0，1） ；C点坐标 （﹣3，1） ；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2点坐标 （3，﹣5） ；C2点坐标 （3，﹣1） ．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可；
（2）利用B点坐标画出直角坐标系，从而得到A点和C点坐标；
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）如图，A（0，1），C（﹣3，1）；
故答案为（0，1），（﹣3，1）；
（3）如图，△A2B2C2为所作，B2点坐标为（3，﹣5）；C2点坐标为（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣5），（3，﹣1）．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，BE＝DF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：△CBE≌△ADF；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据已知先证明△DFO≌△BEO（AAS）．用全等三角形的性质得∠FDO＝∠EBO，再利用（ASA）证明△DFA≌△BEC．（2）根据一组对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠DFB＝∠BEF＝90°．∠DFA＝∠BEC＝90°
在△DFO与△BEO中
．
∴△DFO≌△BEO（AAS）．
∴∠FDO＝∠EBO．
∴∠ADB﹣∠FDO＝∠CBD﹣∠EBO．
∴∠ADF＝∠CBE．
在△DFA与△BEC中
．
∴△DFA≌△BEC（ASA）．
（2）答：四边形ABCD是平行四边形．
∵△DFA≌△BEC，
∴AD＝BC，∠DCA＝∠BCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20．（10分）（1）如图1，△ABC与△DEC都是等边三角形，联结BE和AD．求证：BE＝AD．
（2）如图2，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，连接AG和CE．探究线段AG和CE有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论．
（3）如图3，在图2的基础上，连接AC，将正方形DEFG绕着点D旋转到某一位置时，恰好使得DE∥AC，CE＝AC．求出此时∠CAG的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，则∠BCE＝∠ACD，再证∠BCE≌△ACD（SAS），即可得出结论；
（2）证△ADG≌△CDE（SAS），得AG＝CE，∠DAG＝∠DCE，再由三角形的外角得∠DAG+∠ANM＝∠DCE+∠ADC，则∠ANM＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（3）连接CG，证△CDE≌△CDG（SAS），得CE＝CG，则AG＝AC＝CG，△ACG是等边三角形，再由等边三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ABC+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴∠BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：AG＝CE，AG⊥CE，证明如下：
设AD与CE交于点M，AG与CE交于点N，如图2所示：
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°，DG＝DE，
∴∠EDG+∠ADE＝∠ADC+∠ADE，
即∠ADG＝∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，∠DAG＝∠DCE，
∵∠AMC＝∠DAG+∠ANM＝∠DCE+∠ADC，
∴∠ANM＝∠ADC＝90°，
∴AG⊥CE；
（3）解：连接CG，如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°，
由（2）得：AG＝CE，
∵CE＝AC，
∴AG＝AC，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝45°，
∴∠CDE＝90°+45°＝135°，
∴∠CDG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠CDG＝∠CDE，
在△CDE和△CDG中，
，
∴△CDE≌△CDG（SAS），
∴CE＝CG，
∴AG＝AC＝CG，
∴△ACG是等边三角形，
∴∠CAG＝60°．
一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知x﹣2y＝3，x2﹣4y2＝15，则代数式7xy+14y2的值是 ．
【分析】由x2﹣4y2＝15，得（x+2y）（x﹣2y）＝15，故x+2y＝5．又因x﹣2y＝3，得x＝4，y＝．那么，7xy+14y2＝7y（x+2y）＝7××5＝．
【解答】解：∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝15，x﹣2y＝3，
∴（x+2y）•3＝15，x＝2y+3．
∴x+2y＝5，
∴（2y+3）+2y＝5．
∴y＝．
∴x＝2y+3＝2×+3＝4．
∴7xy+14y2＝7y（x+2y）＝7××5＝．
故答案为：．
22．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 6≤a＜9 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴2≤＜3，
解得：6≤a＜9，
故答案为：6≤a＜9．
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝3，CA＝6，M为斜边AB上的一个动点，过点M作MD⊥AC于点D，ME⊥BC于点E．则线段DE的最小值是 ．
【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE＝CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，
∴AB＝＝＝3，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB•CM＝BC•AC，
∴CM的最小值＝＝，
∴线段DE的最小值为；
故答案为：．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 y＝3x﹣2 ．
【分析】根据已知条件得到A（﹣1，0），B（0，﹣2），求得OA＝1，OB＝2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，求得F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
在△ABO和△FAE中
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，
∴F（1，1），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数表达式为：y＝3x﹣2，
故答案为：y＝3x﹣2．
25．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF＝2AF，点E1是CB边的中点，连接E1F，E1D，得到△E1FD；点E2是CE1的中点，连接E2F，E2D，得到△E2FD；点E3是CE2的中点，连接E3F，E3D，得到△E3FD；…按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于6，则△E2021FD的面积是 ．
【分析】由题意可得：AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝90°，，，AB＝CD＝3AF，而，整理可得：，再表示出，的面积，观察规律可得：＝，从而可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵BF＝2AF，点E1是CB边的中点，
∴，，AB＝CD＝3AF，
∴，
＝，
＝，
＝，
＝，
＝，
＝，
∵E2是CE1的中点，
∴，，
∴，整理得：，
同理可得：，
∴＝，
∴．
故答案为：．
二、解答题：（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）“爱成都，迎大运”，为迎接即将在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会，倡导全民参与健身活动，新都某社区准备购置甲、乙两种健身器材．已知，若购买1台甲器材，2台乙器材共需资金12000元，且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍．
（1）求甲、乙健身器材的单价各是多少元？
（2）现社区准备购买两种型号的器材共8台，购买总资金不超过33000元，并且甲器材的数量不超过乙器材数量的2倍．试问一共有几种购买方案？请写出所有购买方案．
（3）若甲器材一年的维护费用是200元，乙器材一年的维护费用是300元．请问（2）小题中的所有购买方案中，哪种方案的一年两种器材总维护费用W最少，并算出最少维护费用W是多少元．
【分析】（1）设甲健身器材的单价是x元，乙健身器材的单价是y元，根据“购买1台甲器材，2台乙器材共需资金12000元，且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲健身器材m台，则购买乙健身器材（8﹣m）台，根据“购买总资金不超过33000元，并且甲器材的数量不超过乙器材数量的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案；
（3）利用总维护费用＝每台设备的维护费用×购买数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲健身器材的单价是x元，乙健身器材的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲健身器材的单价是3000元，乙健身器材的单价是4500元．
（2）设购买甲健身器材m台，则购买乙健身器材（8﹣m）台，
依题意得：，
解得：2≤m≤．
∵m为整数，
∴m可以为2，3，4，5，
∴一共有4种购买方案，
方案1：购买甲健身器材2台，乙健身器材6台；
方案2：购买甲健身器材3台，乙健身器材5台；
方案3：购买甲健身器材4台，乙健身器材4台；
方案4：购买甲健身器材5台，乙健身器材3台．
（3）依题意得：W＝200m+300（8﹣m）＝﹣100m+2400．
∵﹣100＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝5时，W取得最小值，最小值＝﹣100×5+2400＝1900．
答：方案4一年两种器材总维护费用W最少，最少维护费用是1900元．
27．（10分）如图1，在等边△ABC的AB边和AC边上分别取点D、E，使得AD＝AE，将△ADE绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）如图3，若AD＝，AB＝+3，且旋转角为45°时，求∠ACE的度数；
（3）如图4，连接BE，并延长CE交BD于点F，若△ADE旋转至某一位置时，恰有AD⊥BD，AD∥BE，求的值．
【分析】（1）先证△ADE是等边三角形，由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
（2）由等腰直角三角形的性质可求AF＝EF＝，在Rt△AEF中，由勾股定理可求EC的长，由直角三角形的性质可求EF＝EH＝FH，可证△EFH是等边三角形，即可求解；
（3）由全等三角形的判定和性质可得∠AEC＝∠ADB＝90°，EC＝DB，由平行线的性质可求∠ADB＝∠DBE＝90°，∠BEF＝30°，由直角三角形的性质可求EF＝DF＝2BF，即可求CE＝3BF，CF＝5BF，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
如图2，∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）如图3，过点E作EF⊥AC于F，取EC中点H，连接FH，
∵∠CAE＝45°，
∴∠CAE＝∠AEF＝45°，
∴AF＝EF，AE＝AF，
∵AD＝＝AE，
∴AF＝EF＝，
∵AB＝+3＝AC，
∴CF＝3，
∴CE＝＝＝2，
∵∠EFC＝90°，点H是EC中点，
∴EH＝FH＝HC＝，
∴EF＝EH＝FH，
∴△EFH是等边三角形，
∴∠FEH＝60°，
∴∠ECA＝30°；
（3）由（1）可知：△BAD≌△CAE，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，EC＝DB，
又∵∠AED＝60°，
∴∠DEF＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBE＝90°，∠DAE+∠BEA＝180°，
∴∠BEA＝120°，
∴∠DEB＝60°，∠FEB＝30°，
∴EF＝2BF，
∵∠BDE＝90°﹣∠DEB＝30°，
∴∠BDE＝∠DEF＝30°，
∴EF＝DF＝2BF，
∴DB＝3BF＝CE，
∴CF＝CE+EF＝5BF，
∴＝＝．
28．（12分）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DF∥BE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．
【分析】（1）①利用三角形的外角性质证明∠FDE＝∠BEC即可得出平行；
②作辅助线EG⊥DF于点G，利用锐角三角函数即可求出DG的长，再用等腰三角形的性质求出DF的长；
（3）先求出点A和点E的坐标，然后设出点G和点H的坐标，根据对角线的情况及菱形的性质即可求出H的坐标．
【解答】解：（1）①∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD，
∵∠EDF+∠EFD＝2∠EDF＝∠FEC＝2∠BEC，
∴∠EDF＝∠BEC，
∴DF∥BE；
②作EG⊥DF于点G，则DG＝FG，
根据勾股定理得BE＝5，
∵sin∠GDE＝，
∴DG＝，
∴DF＝；
（2）由题意得A（2，0），
在△EDC和△EOA中，
，
∴△EDC≌△EOA（AAS），
∴AE＝CE，
设OE＝x，则AE＝，
由勾股定理得：，
解得x＝，
∴E（0，），
由题意知AC的解析式为y＝，
设G（x，），H（m，n），
若AE是菱形的对角线，
则，
又∵AG＝EG，
∴，
解得，
∴H（，0），
若AG是菱形的对角线，
则，
又∵AE＝EG，
∴，
解得，
∴H（4，﹣），
若AH是菱形的对角线，
则，
又∵AE＝AG，
∴，
解得或，
∴H（，）或H（﹣，），
综上，H的坐标为（，0），（4，﹣），（﹣，），（，）．
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日期：2021/8/11 12:04:35；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年四川省成都市新都区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，将你所选答案的字母涂在答题卡上）
1．（3分）已知：m＞n，下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．2m＞2n D．＜
2．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．9 C．4 D．6
3．（3分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
5．（3分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．a2﹣4 B．﹣x2+y2 C．x2y2﹣1 D．﹣m2﹣n2
6．（3分）下列各式中：，，，a+，（m+n），，其中分式的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等
B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度
C．对角线平分每一组对角
D．四边相等且有一个角是直角
9．（3分）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长是10，AC﹣BC＝2，则底边BC长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上．）
11．（4分）一次函数y＝（1﹣2k）x﹣3的图象在直角坐标系中过二、三、四象限，请写出k的取值范围 ．
12．（4分）分解因式x2﹣12xy+36y2＝ ．
13．（4分）若分式的值为0，则a＝ ．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BM＝BN；分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CBA内部交于点E；作射线BE交AC于点F．若CF＝2，点H为线段AB上的一动点，则FH的最小值是 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共54分．解答过程写在答题卡上．）
15．（12分）（1）分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2；
（2）解不等式组并在数轴上表示它的解集．
16．（8分）先化简m﹣1+÷，再从﹣1，0，3中选一个你认为合适的数作为m的值，代入求值．
17．（8分）新都区某中学八年级学生乘车到某实践基地参加社会实践活动，基地距学校60千米，一班学生乘慢车先行，出发15分钟后，二班学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地．已知快车的速度是慢车的1.2倍，求慢车的速度是每小时多少千米．
18．（8分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并写出A点坐标 ；C点坐标 ；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2点坐标 ；C2点坐标 ．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，BE＝DF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：△CBE≌△ADF；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
20．（10分）（1）如图1，△ABC与△DEC都是等边三角形，联结BE和AD．求证：BE＝AD．
（2）如图2，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，连接AG和CE．探究线段AG和CE有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论．
（3）如图3，在图2的基础上，连接AC，将正方形DEFG绕着点D旋转到某一位置时，恰好使得DE∥AC，CE＝AC．求出此时∠CAG的度数．
一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知x﹣2y＝3，x2﹣4y2＝15，则代数式7xy+14y2的值是 ．
22．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 ．
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝3，CA＝6，M为斜边AB上的一个动点，过点M作MD⊥AC于点D，ME⊥BC于点E．则线段DE的最小值是 ．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
25．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF＝2AF，点E1是CB边的中点，连接E1F，E1D，得到△E1FD；点E2是CE1的中点，连接E2F，E2D，得到△E2FD；点E3是CE2的中点，连接E3F，E3D，得到△E3FD；…按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于6，则△E2021FD的面积是 ．
二、解答题：（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）“爱成都，迎大运”，为迎接即将在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会，倡导全民参与健身活动，新都某社区准备购置甲、乙两种健身器材．已知，若购买1台甲器材，2台乙器材共需资金12000元，且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍．
（1）求甲、乙健身器材的单价各是多少元？
（2）现社区准备购买两种型号的器材共8台，购买总资金不超过33000元，并且甲器材的数量不超过乙器材数量的2倍．试问一共有几种购买方案？请写出所有购买方案．
（3）若甲器材一年的维护费用是200元，乙器材一年的维护费用是300元．请问（2）小题中的所有购买方案中，哪种方案的一年两种器材总维护费用W最少，并算出最少维护费用W是多少元．
27．（10分）如图1，在等边△ABC的AB边和AC边上分别取点D、E，使得AD＝AE，将△ADE绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）如图3，若AD＝，AB＝+3，且旋转角为45°时，求∠ACE的度数；
（3）如图4，连接BE，并延长CE交BD于点F，若△ADE旋转至某一位置时，恰有AD⊥BD，AD∥BE，求的值．
28．（12分）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DF∥BE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．
2020-2021学年四川省成都市新都区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，将你所选答案的字母涂在答题卡上）
1．（3分）已知：m＞n，下列不等式中正确的是（ ）
A．m﹣2＜n﹣2 B．﹣m＞﹣n C．2m＞2n D．＜
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【解答】解：∵m＞n，
∴m﹣2＞n﹣2，故本选项不合题意；
B．∵m＞n，
∴﹣m＜﹣n，故本选项不合题意；
C．∵m＞n，
∴2m＞2n，故本选项符合题意；
D．∵m＞n，
∴，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为9和4，则第三边长是（ ）
A．5 B．9 C．4 D．6
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：∵4+4＝8＜9，
∴腰的长不能为4，只能为9，
∴第三边长是9，
故选：B．
3．（3分）下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C．
4．（3分）下列命题是假命题的是（ ）
A．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B．斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等
C．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等
D．一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等
【分析】根据三角形全等的判定定理判断即可．
【解答】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；
C、两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项说法是假命题，符合题意；
D、一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：C．
5．（3分）下列各式不能用平方差公式法分解因式的是（ ）
A．a2﹣4 B．﹣x2+y2 C．x2y2﹣1 D．﹣m2﹣n2
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A、a2﹣4，两平方项符号相反，故A选项不符合题意；
B、﹣x2+y2，两平方项符号相反，故B选项不符合题意；
C、x2y2﹣1，两平方项符号相反，故C选项不符合题意；
D、﹣m2﹣n2，两平方项符号相同，故D选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）下列各式中：，，，a+，（m+n），，其中分式的个数有（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据分式的定义（A与B为整式，B≠O，且B中含有字母，形如的式子称为分式），故分式有，共4个．
【解答】解：∵A与B为整式、B≠0且B中含有字母，形如的式子叫作分式，
∴是分式．
故选：B．
7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解：由得：x≤2．由2﹣x＜3得：x＞﹣1．所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．故选C．
8．（3分）下列条件中能判断一个四边形是正方形的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等
B．一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度
C．对角线平分每一组对角
D．四边相等且有一个角是直角
【分析】根据各个选项中的说法，可以判断能否构成正方形，不正确的说明理由或举出反例即可．
【解答】解：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，但是对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，如等腰梯形中的对角线就有可能垂直且相等，故选项A不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角为90度的四边形不一定是正方形，如直角梯形，故选项B不符合题意；
对角线平分每一组对角的四边形不一定是正方形，如菱形，故选项C不符合题意；
四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故选项D符合题意；
故选：D．
9．（3分）有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得到正确选项．
【解答】解：∵线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等，
∴△ABC三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知△BCE的周长是10，AC﹣BC＝2，则底边BC长是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【分析】根据题意可知AC+BC＝10，然后根据AC﹣BC＝2，即可得AC、BC的长度．
【解答】解：∵△BCE的周长为10，
∴BE+EC+BC＝10．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∴AE+EC+BC＝10，
即AC+BC＝10，
∵AC﹣BC＝2，
∴BC＝4，
故选：C．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上．）
11．（4分）一次函数y＝（1﹣2k）x﹣3的图象在直角坐标系中过二、三、四象限，请写出k的取值范围 k＞ ．
【分析】根据一次函数图象与系数的关系得到1﹣2k＜0，然后求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵次函数y＝（1﹣2k）x﹣3的图象在直角坐标系中过二、三、四象限，
∴1﹣2k＜0．
∴k＞．
故答案是：k＞．
12．（4分）分解因式x2﹣12xy+36y2＝ （x﹣6y）2 ．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x﹣6y）2．
故答案为：（x﹣6y）2．
13．（4分）若分式的值为0，则a＝ 3 ．
【分析】先根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得a＝3．
故答案为：3．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BA，BC上分别截取BM＝BN；分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CBA内部交于点E；作射线BE交AC于点F．若CF＝2，点H为线段AB上的一动点，则FH的最小值是 2 ．
【分析】如图，过点F作FG⊥AB于G．根据角平分线的性质定理证明GF＝FC＝2，利用垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，过点F作FG⊥AB于G．
由作图可知，FB平分∠ABC，
∵GF⊥BA，FC⊥BC，
∴GF＝FC＝2，
根据垂线段最短可知，HF的最小值为2，
故答案为：2．
三、解答题：（本大题共6个小题，共54分．解答过程写在答题卡上．）
15．（12分）（1）分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2；
（2）解不等式组并在数轴上表示它的解集．
【分析】（1）观察该式特点，先变形为（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x2+y2）2﹣（2xy）2．再根据公式法a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），得（x2+y2）2﹣（2xy）2＝（x+y）2（x﹣y）2．
（2）根据不等式的性质，解不等式①，解得：x＞0．解不等式②，解得：x≤2．那么，该不等式组的解集为0＜x≤2．
【解答】解：（1）（x2+y2）2﹣4x2y2
＝（x2+y2）2﹣（2xy）2
＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2．
（2）解不等式①，得3x＞2x．
解得：x＞0．
解不等式②，得：﹣4x≥﹣8．
解得：x≤2．
∴该不等式组的解集为0＜x≤2．
该不等式组的解集在数轴上表示如下：
16．（8分）先化简m﹣1+÷，再从﹣1，0，3中选一个你认为合适的数作为m的值，代入求值．
【分析】应用分式的混合运算法则进行计算化为最简，当m+1≠0时，m≠﹣1分式有意义，选取m的值代入计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝m﹣1+
＝m﹣1+
＝+
＝
＝，
把m＝0代入上式，
原式＝0．
17．（8分）新都区某中学八年级学生乘车到某实践基地参加社会实践活动，基地距学校60千米，一班学生乘慢车先行，出发15分钟后，二班学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地．已知快车的速度是慢车的1.2倍，求慢车的速度是每小时多少千米．
【分析】设慢车的速是x千米/小时，则快车的速度是1.2x千米/小时，根据基地距学校60千米，他们同时到达基地列出分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设慢车与快车的速是xkm/h，则快车的速度是1.2xkm/h，
根据题意得 ﹣＝，
解得：x＝40，
检验：经检验x＝40是原方程的根，
答：慢车速度为40千米/小时．
18．（8分）在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，并写出A点坐标 （0，1） ；C点坐标 （﹣3，1） ；
（3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2，并写出B2点坐标 （3，﹣5） ；C2点坐标 （3，﹣1） ．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可；
（2）利用B点坐标画出直角坐标系，从而得到A点和C点坐标；
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）如图，A（0，1），C（﹣3，1）；
故答案为（0，1），（﹣3，1）；
（3）如图，△A2B2C2为所作，B2点坐标为（3，﹣5）；C2点坐标为（3，﹣1）．
故答案为（3，﹣5），（3，﹣1）．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，BE＝DF，∠ADB＝∠CBD．
（1）求证：△CBE≌△ADF；
（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据已知先证明△DFO≌△BEO（AAS）．用全等三角形的性质得∠FDO＝∠EBO，再利用（ASA）证明△DFA≌△BEC．（2）根据一组对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形．
【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠DFB＝∠BEF＝90°．∠DFA＝∠BEC＝90°
在△DFO与△BEO中
．
∴△DFO≌△BEO（AAS）．
∴∠FDO＝∠EBO．
∴∠ADB﹣∠FDO＝∠CBD﹣∠EBO．
∴∠ADF＝∠CBE．
在△DFA与△BEC中
．
∴△DFA≌△BEC（ASA）．
（2）答：四边形ABCD是平行四边形．
∵△DFA≌△BEC，
∴AD＝BC，∠DCA＝∠BCA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
20．（10分）（1）如图1，△ABC与△DEC都是等边三角形，联结BE和AD．求证：BE＝AD．
（2）如图2，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，连接AG和CE．探究线段AG和CE有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论．
（3）如图3，在图2的基础上，连接AC，将正方形DEFG绕着点D旋转到某一位置时，恰好使得DE∥AC，CE＝AC．求出此时∠CAG的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，则∠BCE＝∠ACD，再证∠BCE≌△ACD（SAS），即可得出结论；
（2）证△ADG≌△CDE（SAS），得AG＝CE，∠DAG＝∠DCE，再由三角形的外角得∠DAG+∠ANM＝∠DCE+∠ADC，则∠ANM＝∠ADC＝90°，即可得出结论；
（3）连接CG，证△CDE≌△CDG（SAS），得CE＝CG，则AG＝AC＝CG，△ACG是等边三角形，再由等边三角形的性质求解即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ABC+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴∠BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：AG＝CE，AG⊥CE，证明如下：
设AD与CE交于点M，AG与CE交于点N，如图2所示：
∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠EDG＝90°，DG＝DE，
∴∠EDG+∠ADE＝∠ADC+∠ADE，
即∠ADG＝∠CDE，
在△ADG和△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，∠DAG＝∠DCE，
∵∠AMC＝∠DAG+∠ANM＝∠DCE+∠ADC，
∴∠ANM＝∠ADC＝90°，
∴AG⊥CE；
（3）解：连接CG，如图3所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝45°，
由（2）得：AG＝CE，
∵CE＝AC，
∴AG＝AC，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠DAC＝45°，
∴∠CDE＝90°+45°＝135°，
∴∠CDG＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠CDG＝∠CDE，
在△CDE和△CDG中，
，
∴△CDE≌△CDG（SAS），
∴CE＝CG，
∴AG＝AC＝CG，
∴△ACG是等边三角形，
∴∠CAG＝60°．
一、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
21．（4分）已知x﹣2y＝3，x2﹣4y2＝15，则代数式7xy+14y2的值是 ．
【分析】由x2﹣4y2＝15，得（x+2y）（x﹣2y）＝15，故x+2y＝5．又因x﹣2y＝3，得x＝4，y＝．那么，7xy+14y2＝7y（x+2y）＝7××5＝．
【解答】解：∵x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝15，x﹣2y＝3，
∴（x+2y）•3＝15，x＝2y+3．
∴x+2y＝5，
∴（2y+3）+2y＝5．
∴y＝．
∴x＝2y+3＝2×+3＝4．
∴7xy+14y2＝7y（x+2y）＝7××5＝．
故答案为：．
22．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 6≤a＜9 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据已知得出答案即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：x≤，
∵不等式组有且只有3个整数解，
∴2≤＜3，
解得：6≤a＜9，
故答案为：6≤a＜9．
23．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝3，CA＝6，M为斜边AB上的一个动点，过点M作MD⊥AC于点D，ME⊥BC于点E．则线段DE的最小值是 ．
【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE＝CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC＝∠MEC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE＝CM，
∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，
∴AB＝＝＝3，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积＝AB•CM＝BC•AC，
∴CM的最小值＝＝，
∴线段DE的最小值为；
故答案为：．
24．（4分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x，y轴于点A，B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 y＝3x﹣2 ．
【分析】根据已知条件得到A（﹣1，0），B（0，﹣2），求得OA＝1，OB＝2，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，求得F（1，1），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x﹣2的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣2，令y＝0，则x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝2，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
在△ABO和△FAE中
，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝2，EF＝OA＝1，
∴F（1，1），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数表达式为：y＝3x﹣2，
故答案为：y＝3x﹣2．
25．（4分）如图，四边形ABCD是矩形，点F是AB边的三等分点，BF＝2AF，点E1是CB边的中点，连接E1F，E1D，得到△E1FD；点E2是CE1的中点，连接E2F，E2D，得到△E2FD；点E3是CE2的中点，连接E3F，E3D，得到△E3FD；…按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于6，则△E2021FD的面积是 ．
【分析】由题意可得：AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝90°，，，AB＝CD＝3AF，而，整理可得：，再表示出，的面积，观察规律可得：＝，从而可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵BF＝2AF，点E1是CB边的中点，
∴，，AB＝CD＝3AF，
∴，
＝，
＝，
＝，
＝，
＝，
＝，
∵E2是CE1的中点，
∴，，
∴，整理得：，
同理可得：，
∴＝，
∴．
故答案为：．
二、解答题：（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
26．（8分）“爱成都，迎大运”，为迎接即将在成都举行的第31届世界大学生夏季运动会，倡导全民参与健身活动，新都某社区准备购置甲、乙两种健身器材．已知，若购买1台甲器材，2台乙器材共需资金12000元，且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍．
（1）求甲、乙健身器材的单价各是多少元？
（2）现社区准备购买两种型号的器材共8台，购买总资金不超过33000元，并且甲器材的数量不超过乙器材数量的2倍．试问一共有几种购买方案？请写出所有购买方案．
（3）若甲器材一年的维护费用是200元，乙器材一年的维护费用是300元．请问（2）小题中的所有购买方案中，哪种方案的一年两种器材总维护费用W最少，并算出最少维护费用W是多少元．
【分析】（1）设甲健身器材的单价是x元，乙健身器材的单价是y元，根据“购买1台甲器材，2台乙器材共需资金12000元，且一台乙器材的价格是一台甲器材价格的1.5倍”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲健身器材m台，则购买乙健身器材（8﹣m）台，根据“购买总资金不超过33000元，并且甲器材的数量不超过乙器材数量的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各购买方案；
（3）利用总维护费用＝每台设备的维护费用×购买数量，即可得出W关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设甲健身器材的单价是x元，乙健身器材的单价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲健身器材的单价是3000元，乙健身器材的单价是4500元．
（2）设购买甲健身器材m台，则购买乙健身器材（8﹣m）台，
依题意得：，
解得：2≤m≤．
∵m为整数，
∴m可以为2，3，4，5，
∴一共有4种购买方案，
方案1：购买甲健身器材2台，乙健身器材6台；
方案2：购买甲健身器材3台，乙健身器材5台；
方案3：购买甲健身器材4台，乙健身器材4台；
方案4：购买甲健身器材5台，乙健身器材3台．
（3）依题意得：W＝200m+300（8﹣m）＝﹣100m+2400．
∵﹣100＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m＝5时，W取得最小值，最小值＝﹣100×5+2400＝1900．
答：方案4一年两种器材总维护费用W最少，最少维护费用是1900元．
27．（10分）如图1，在等边△ABC的AB边和AC边上分别取点D、E，使得AD＝AE，将△ADE绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
（1）求证：△ADB≌△AEC；
（2）如图3，若AD＝，AB＝+3，且旋转角为45°时，求∠ACE的度数；
（3）如图4，连接BE，并延长CE交BD于点F，若△ADE旋转至某一位置时，恰有AD⊥BD，AD∥BE，求的值．
【分析】（1）先证△ADE是等边三角形，由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
（2）由等腰直角三角形的性质可求AF＝EF＝，在Rt△AEF中，由勾股定理可求EC的长，由直角三角形的性质可求EF＝EH＝FH，可证△EFH是等边三角形，即可求解；
（3）由全等三角形的判定和性质可得∠AEC＝∠ADB＝90°，EC＝DB，由平行线的性质可求∠ADB＝∠DBE＝90°，∠BEF＝30°，由直角三角形的性质可求EF＝DF＝2BF，即可求CE＝3BF，CF＝5BF，即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
如图2，∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）如图3，过点E作EF⊥AC于F，取EC中点H，连接FH，
∵∠CAE＝45°，
∴∠CAE＝∠AEF＝45°，
∴AF＝EF，AE＝AF，
∵AD＝＝AE，
∴AF＝EF＝，
∵AB＝+3＝AC，
∴CF＝3，
∴CE＝＝＝2，
∵∠EFC＝90°，点H是EC中点，
∴EH＝FH＝HC＝，
∴EF＝EH＝FH，
∴△EFH是等边三角形，
∴∠FEH＝60°，
∴∠ECA＝30°；
（3）由（1）可知：△BAD≌△CAE，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，EC＝DB，
又∵∠AED＝60°，
∴∠DEF＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠ADB＝∠DBE＝90°，∠DAE+∠BEA＝180°，
∴∠BEA＝120°，
∴∠DEB＝60°，∠FEB＝30°，
∴EF＝2BF，
∵∠BDE＝90°﹣∠DEB＝30°，
∴∠BDE＝∠DEF＝30°，
∴EF＝DF＝2BF，
∴DB＝3BF＝CE，
∴CF＝CE+EF＝5BF，
∴＝＝．
28．（12分）折叠变换是特殊的轴对称变换，我们生活中常对矩形纸片进行折叠，这其中蕴含着丰富的数学知识和思想．
（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E是DC的中点，将矩形ABCD沿BE折叠，点C落在点F的位置．
①求证：DF∥BE；
②求DF的长度．
（2）如图2，在直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线折叠，点B落在点D处，AD与y轴交于点E，OA＝2，OC＝2，点G是直线AC上的一个动点，在坐标平面内存在点H，使得以点E，A，G，H为顶点的四边形是菱形，请直接写出点H坐标．
【分析】（1）①利用三角形的外角性质证明∠FDE＝∠BEC即可得出平行；
②作辅助线EG⊥DF于点G，利用锐角三角函数即可求出DG的长，再用等腰三角形的性质求出DF的长；
（3）先求出点A和点E的坐标，然后设出点G和点H的坐标，根据对角线的情况及菱形的性质即可求出H的坐标．
【解答】解：（1）①∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD，
∵∠EDF+∠EFD＝2∠EDF＝∠FEC＝2∠BEC，
∴∠EDF＝∠BEC，
∴DF∥BE；
②作EG⊥DF于点G，则DG＝FG，
根据勾股定理得BE＝5，
∵sin∠GDE＝，
∴DG＝，
∴DF＝；
（2）由题意得A（2，0），
在△EDC和△EOA中，
，
∴△EDC≌△EOA（AAS），
∴AE＝CE，
设OE＝x，则AE＝，
由勾股定理得：，
解得x＝，
∴E（0，），
由题意知AC的解析式为y＝，
设G（x，），H（m，n），
若AE是菱形的对角线，
则，
又∵AG＝EG，
∴，
解得，
∴H（，0），
若AG是菱形的对角线，
则，
又∵AE＝EG，
∴，
解得，
∴H（4，﹣），
若AH是菱形的对角线，
则，
又∵AE＝AG，
∴，
解得或，
∴H（，）或H（﹣，），
综上，H的坐标为（，0），（4，﹣），（﹣，），（，）．
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