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2018年湖北省随州市曾都区中考数学一模试卷
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这是一份2018年湖北省随州市曾都区中考数学一模试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2018年湖北省随州市曾都区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如果a与3互为相反数，那么a等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．x3•x5＝x15
C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7
3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1十∠3＝180° B．∠1＝∠2
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠4
4．（3分）解分式方程＝2+，去分母得（ ）
A．1＝2x﹣1+3 B．1＝2x﹣1﹣3 C．1＝2（x﹣1）+3 D．1＝2（x﹣1）﹣3
5．（3分）今年清明小长假，我市再次出现旅游小高峰，接待游客26万人次，旅游收入近1亿元，其中26万用科学记数法表示为（ ）
A．2.6×105 B．2.6×104 C．0.26×105 D．26×104
6．（3分）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）已知△ABC的外心为O，内心为I，∠BOC＝120°，则∠BIC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．120°或150° D．130°或150°
8．（3分）下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第20天与第30天的日销售利润相同
D．第12天与第30天的销售量相同
10．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使点A与CD边上的点H重合（H不与C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD周长为m，△CHG周长为n，则为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上）
11．（3分）计算：|﹣3|﹣20+（）﹣1＝ ．
12．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为 ．
13．（3分）某学校校园电视台要招募小记者，测试内容为：采访写作、计算机操作、创意设计，并将测试得分按5：2：3的比例确定测试总分．已知某应聘者的三项得分分别为88、85、70，则这位应聘者的测试总分为 ．
14．（3分）《九章算术》中，将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，主视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 ．
15．（3分）将一些同样大小的小圆圈按如图的规律摆放，第①个图形中小圆圈的个数为a1，第②个图形中小圆圈的个数为a2，第③个图形中小圆圈的个数为a3，…，以此类推，第个图形中小圆圈的个数为an，当an＝231时，n＝ ．
16．（3分）如图，函数y＝（x＜0）与y＝x+3的图象交于点A（﹣1，n）和点B，过点A垂直于AB的直线交y轴于点C．若直线x＝m与y＝（x＜0）的图象交于点P，与直线AC交于点Q，当∠PAQ＞90°时，直接写出m的取值范围为 ．
三.解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）先化简再求值：（x﹣1）2﹣x（x+2）﹣，其中x＝﹣．
18．（8分）如图是某产品商标的示意图，已知AB＝CD，∠A＝∠D，有人认为△ABC≌△DCB，他的思考过程是：
∵AB＝CD，∠A＝∠D，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
你认为这个思考过程对吗？
如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件？
如果不正确，写出你的思考过程．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，求x12+x22﹣x1x2的值．
20．（9分）某学校举行了以“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了不完整的频数分布表，后来发现，表中前三行的所有数据都是正确的，最后一行中有一个数据填写错误，请根据以上信息，解答下列问题：
分数段
（分数为x单位）
频数
百分比
60≤x＜70
8
20%
70≤x＜80
a
30%
80≤x＜90
16
b%
90≤x＜100
5
10%
（1）表中的a＝ ，b＝ ．
（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应的圆心角的度数是 ．
（3）表中最后一行中哪一个数是错误的？该数据的正确值是多少？
（4）竞赛成绩不低于90分的同学中，有且仅有2名男同学，其余均为女同学，学校从这些同学中随机抽取2名同学接受电视台记者采访，求正好抽到一名男同学和一名女同学的概率．
21．（9分）如图1是某新建大桥的施工现场图，小明据此构造出一个如图2所示的数学模型．已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝20m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
22．（10分）如图，A．B、C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作⊙O的切线交弦BC的延长线于点F，点E为BF的中点，连接DE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求ME的长．
23．（10分）如果一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差（较大数减较小数）能被13整除，那么我们就称这个自然数为“幸运数”．例如，对于自然数383357，因为383﹣357＝26，26能被13整除，所以383357是“幸运数”．
（1）判断82121和254154是否为“幸运数”，请说明理由；
（2）已知1≤x≤9，0≤y≤5，且x、y为整数，若2x+y能被13整除，求x、y的值．
思路分析：根据题意可得2≤2x+y≤23，若2x+y能被13整除，则2x+y＝13，所以0≤13﹣2x≤5，解得4≤x≤，…
请根据这个思路直接写出x、y的值为， ；
（3）若一个四位自然数，千位数字与百位数字相同，十位数字与个位数字相同，并且它是“幸运数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；
（3）试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
2018年湖北省随州市曾都区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如果a与3互为相反数，那么a等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：如果a与3互为相反数，那么a等于﹣3，
故选：B．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．x3•x5＝x15
C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、3x2+4x2＝7x2，故本选项不合题意；
B、x3•x5＝x8，故本选项不合题意；
C、x4÷x＝x3，故本选项符合题意；
D、（x5）2＝x10，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1十∠3＝180° B．∠1＝∠2
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠4
【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可．
【解答】解：由∠1+∠3＝180°，∠5+∠3＝180°，可得∠1＝∠5，故直线a与b平行，故A能判定；
由∠1＝∠2，不能判定直线a与b平行，故B不能判定；
由∠1＝∠4，∠1＝∠2，可得∠2＝∠4，故直线a与b平行，故C能判定；
由∠2＝∠4，可得直线a与b平行，故D能判定．
故选：B．
4．（3分）解分式方程＝2+，去分母得（ ）
A．1＝2x﹣1+3 B．1＝2x﹣1﹣3 C．1＝2（x﹣1）+3 D．1＝2（x﹣1）﹣3
【分析】分式方程整理后，找出最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：分式方程整理得：＝2﹣，
去分母得：1＝2（x﹣1）﹣3．
故选：D．
5．（3分）今年清明小长假，我市再次出现旅游小高峰，接待游客26万人次，旅游收入近1亿元，其中26万用科学记数法表示为（ ）
A．2.6×105 B．2.6×104 C．0.26×105 D．26×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：26万＝260000＝2.6×105．
故选：A．
6．（3分）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数＝30；②男生种树的总棵树+女生种树的总棵树＝78棵，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：，
故选：D．
7．（3分）已知△ABC的外心为O，内心为I，∠BOC＝120°，则∠BIC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．120°或150° D．130°或150°
【分析】用三角形外心的性质得出∠A的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案
【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形，
∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，
∴∠A＝60°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，则∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°．
如图2，当△ABC是钝角三角形，
∵∠BOC＝120°，
∴∠A＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝30°，
∴∠BIC＝150°．
故选：C．
8．（3分）下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：A、抛物线y＝ax2+ax应该经过原点，故本选项不符合题意；
B、抛物线y＝ax2+ax开口方向向上，则a＞0，对称轴x＝﹣＝﹣．所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意；
C、抛物线y＝ax2+ax开口方向向上，则a＞0，对称轴x＝﹣＝﹣．所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意；
D、抛物线y＝ax2+ax开口方向向上，则a＜0，对称轴x＝﹣＝﹣．所以反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第20天与第30天的日销售利润相同
D．第12天与第30天的销售量相同
【分析】根据函数图象分别求出当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝﹣t+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝t+100，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【解答】解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；
B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝kx+b，
把（0，25），（20，5）代入得：，
解得：，
∴z＝﹣x+25，
当x＝10时，z＝﹣10+25＝15，
故正确；
C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝k1t+b1，
把（0，100），（24，200）代入得：，
解得：，
∴y＝x+100，
当t＝20时，y＝，z＝﹣20+25＝5，
∴第20天的日销售利润为；×5＝（元），第30天的日销售利润为；150×5＝750（元），
750≠，故C错误；
D、产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝x+100，
当t＝12时，y＝×12+100＝150，即第12天的销售量为150件，
根据图①可得第30天的销售量为150件，故正确．
故选：C．
10．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使点A与CD边上的点H重合（H不与C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD周长为m，△CHG周长为n，则为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】连接AH、AG，作AM⊥HG于M．证明△AHD≌△AHM（AAS），得出DH＝HM，AD＝AM，证明Rt△AGM≌Rt△AGB（HL），得出GM＝GB，求出△GCH的周长＝n＝CH+HM+MG+CG＝CH+DH+CG+GB＝2BC，由四边形ABCD的周长＝m＝4BC，即可得出答案．
【解答】解：连接AH、AG，作AM⊥HG于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB．
∵EA＝EH，
∴∠1＝∠2，
∵∠EAB＝∠EHG＝90°，
∴∠HAB＝∠AHG，
∵DH∥AB，
∴∠DHA＝∠HAB＝∠AHM，
在△AHD和△AHM中，
∴△AHD≌△AHM（AAS），
∴DH＝HM，AD＝AM，
∴AM＝AB．
在Rt△AGM和Rt△AGB中，，
∴Rt△AGM≌Rt△AGB（HL），
∴GM＝GB，
∴△GCH的周长＝n＝CH+HM+MG+CG＝CH+DH+CG+GB＝2BC，
∵四边形ABCD的周长＝m＝4BC，
∴＝2；
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上）
11．（3分）计算：|﹣3|﹣20+（）﹣1＝ 4 ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣3|﹣20+（）﹣1
＝3﹣1+2
＝4．
故答案为：4．
12．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为 40° ．
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故答案为：40°．
13．（3分）某学校校园电视台要招募小记者，测试内容为：采访写作、计算机操作、创意设计，并将测试得分按5：2：3的比例确定测试总分．已知某应聘者的三项得分分别为88、85、70，则这位应聘者的测试总分为 82 ．
【分析】运用加权平均数的计算公式求解．
【解答】解：5+2+3＝10
5÷10＝0.5
2÷10＝0.2
3÷10＝0.3
88×0.5+85×0.2+70×0.3
＝44+17+21
＝82（分）．
故这位应聘者的测试总分为82．
故答案为：82．
14．（3分）《九章算术》中，将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，主视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 4+4 ．
【分析】依据三视图求得底面的周长，即可得到侧面积．
【解答】解：如图所示，取AB的中点D，连接CD，
由侧视图可知CD＝1，
俯视图中，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴AB＝2CD＝2，BC＝AC＝，
∴该“堑堵”的侧面积为2（2+）＝4+4．
故答案为：4+4．
15．（3分）将一些同样大小的小圆圈按如图的规律摆放，第①个图形中小圆圈的个数为a1，第②个图形中小圆圈的个数为a2，第③个图形中小圆圈的个数为a3，…，以此类推，第个图形中小圆圈的个数为an，当an＝231时，n＝ 20 ．
【分析】观察图形特点，从中找出规律，根据规律求解．
【解答】解：通过观察，得到：
第①个图形中小圆圈的个数为：a1＝1+2＝＝3，
第②个图形中小圆圈的个数为：a2＝1+2+3＝＝6，
第③个图形中小圆圈的个数为：a3＝1+2+3+4＝＝10，
第④个图形中小圆圈的个数为：a4＝1+2+3+4+5＝＝15，
…，
所以第n个图形中的圆的个数为：an＝1+2+3+…+（n+1）＝，
当an＝231时，＝231，解得：n1＝20，2＝﹣23（不合题意，舍去），
故答案为：20．
16．（3分）如图，函数y＝（x＜0）与y＝x+3的图象交于点A（﹣1，n）和点B，过点A垂直于AB的直线交y轴于点C．若直线x＝m与y＝（x＜0）的图象交于点P，与直线AC交于点Q，当∠PAQ＞90°时，直接写出m的取值范围为 ﹣2＜m＜0且m≠﹣1 ．
【分析】先求得A的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标，观察图象即可的得到m的取值范围．
【解答】解：把点A（﹣1，n）代入y＝x+3得，n＝﹣1+3＝2，
∴A（﹣1，2），
∵函数y＝（x＜0）与y＝x+3的图象交于点A（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数为y＝﹣，
解点或，
∴B（﹣2，1），
如图，当直线x＝m经过点B时，m＝﹣2，
观察图象可知﹣2＜m＜0且m≠﹣1时，∠PAQ＞90°，
故答案为﹣2＜m＜0且m≠﹣1．
三.解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）先化简再求值：（x﹣1）2﹣x（x+2）﹣，其中x＝﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣
＝x2﹣2x+1﹣x2﹣2x+2
＝3﹣4x，
当x＝﹣时，
原式＝3﹣4×（﹣）
＝3+1
＝4．
18．（8分）如图是某产品商标的示意图，已知AB＝CD，∠A＝∠D，有人认为△ABC≌△DCB，他的思考过程是：
∵AB＝CD，∠A＝∠D，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
你认为这个思考过程对吗？
如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件？
如果不正确，写出你的思考过程．
【分析】根据全等三角形的判定定理推出△ABE≌△DCE，根据全等三角形的性质得出AE＝DE，BE＝CE，求出AC＝BD，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：他的思考过程不正确，
理由是：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE(AAS），
∴AE＝DE，BE＝CE，
∴AC＝BD，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，求x12+x22﹣x1x2的值．
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k的范围；
（2）根据方程的系数结合根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣5，x1•x2＝2，将其代入x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1•x2中，即可求出结论．
【解答】解：（1）由题意可知：△＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k+1）＞0，
即﹣12k+5＞0
∴k＜；
（2）当k＝﹣1时，原方程为x2+5x+2＝0，
∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝2，
∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1•x2＝（﹣5）2﹣3×2＝19．
20．（9分）某学校举行了以“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了不完整的频数分布表，后来发现，表中前三行的所有数据都是正确的，最后一行中有一个数据填写错误，请根据以上信息，解答下列问题：
分数段
（分数为x单位）
频数
百分比
60≤x＜70
8
20%
70≤x＜80
a
30%
80≤x＜90
16
b%
90≤x＜100
5
10%
（1）表中的a＝ 12 ，b＝ 40 ．
（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应的圆心角的度数是 108° ．
（3）表中最后一行中哪一个数是错误的？该数据的正确值是多少？
（4）竞赛成绩不低于90分的同学中，有且仅有2名男同学，其余均为女同学，学校从这些同学中随机抽取2名同学接受电视台记者采访，求正好抽到一名男同学和一名女同学的概率．
【分析】（1）首先根据第一小组的频数和频率求得总人数，然后减去其它小组的频数即可求得a值，根据总人数和第三小组的频数即可求得b值；
（2）用周角乘以相应分数段所占的百分比即可求得圆心角的度数；
（3）根据四个分组的频数之和等于总人数，百分比之和等于1求解即可；
（4）列表将所有等可能的结果列举出来利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵60≤x＜70小组的频数为8，占20%，
∴8÷20%＝40（人），
∴a＝40×30%＝12，b%＝×100%＝40%，即b＝40，
故答案为：12，40；
（2）∵70≤x＜80小组所占的百分比为30%，
∴70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数360°×30%＝108°，
故答案为：108°；
（3）表中最后一行中数据5是错误的，
90≤x＜100的频数为40﹣（8+12+16）＝4；
（4）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：
A
B
a
b
A
AB
Aa
Ab
B
BA
Ba
Bb
a
aA
aB
ab
b
bA
bB
ba
∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种，
∴正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为＝．
21．（9分）如图1是某新建大桥的施工现场图，小明据此构造出一个如图2所示的数学模型．已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝20m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）根据题意，作出合适的辅助线，然后直角三角形中30°角所对的直角边和斜边的关系，即可得到点B到AC的距离；
（2）根据锐角三角函数，可以求得AC的长，从而可以得到CD的长．
【解答】解：（1）作BE⊥AC交AC于点E，
∵∠A＝30°，AB＝20m，∠AEB＝90°，
∴BE＝10m，
即点B到AC的距离是10m；
（2）∵∠A＝30°，AB＝20m，∠AEB＝90°，
∴BE＝10m，AE＝AB•cos30°＝20×＝10m，
∵∠CBD＝75°，∠A＝30°，
∴∠BCE＝45°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝∠CBE，
∴CE＝BE＝10m，
∴AC＝AE+CE＝（10+10）m，
∵∠D＝90°，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝×（10+10）＝5+5≈14（m），
即线段CD的长度约为14m．
22．（10分）如图，A．B、C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作⊙O的切线交弦BC的延长线于点F，点E为BF的中点，连接DE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求ME的长．
【分析】（1）根据DF是⊙O的切线得到BD⊥DF，根据直角三角形斜边中线定理得到DE＝BE，根据等角对等边得∠BDE＝∠EBD，根据BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠CBD，等量代换得∠BDE＝∠ABD，根据内错角相等，两直线平行即可得到DE∥AB；
（2）连接DC，因为BD是⊙O的直径，所以∠BAD＝∠BCD＝90°，根据AAS证明△ABD≌△CBD，所以CD＝AD＝4，AB＝BC，根据勾股定理得CE＝3，根据直角三角形斜边中线定理得EF＝DE＝5，所以∠CBD＝∠BDE，求出BF＝10，BC＝8，所以AB＝8，因为DE∥AB，所以△ABF∽△MEF，所以，进而求出ME的长度．
【解答】（1）证明：∵DF切⊙O于点D，
∴BD⊥DF．
∵点E为BF的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠EBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠ABD，
∴DE∥AB；
（2）解：如图，连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
又∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（AAS），
∴CD＝AD＝4，AB＝BC，
∵DE＝5，
∴CE＝＝3，EF＝DE＝5，
∴BE＝DE＝5，
∴BF＝BE+EF＝10，BC＝BE+EC＝8，
∴AB＝8，
∵DE∥AB，
∴△ABF∽△MEF，
∴，
∴，
∴ME＝4．
23．（10分）如果一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差（较大数减较小数）能被13整除，那么我们就称这个自然数为“幸运数”．例如，对于自然数383357，因为383﹣357＝26，26能被13整除，所以383357是“幸运数”．
（1）判断82121和254154是否为“幸运数”，请说明理由；
（2）已知1≤x≤9，0≤y≤5，且x、y为整数，若2x+y能被13整除，求x、y的值．
思路分析：根据题意可得2≤2x+y≤23，若2x+y能被13整除，则2x+y＝13，所以0≤13﹣2x≤5，解得4≤x≤，…
请根据这个思路直接写出x、y的值为， 或或 ；
（3）若一个四位自然数，千位数字与百位数字相同，十位数字与个位数字相同，并且它是“幸运数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
【分析】（1）根据新定义直接判断，即可得出结论；
（2）先确定出2x+y的范围，进而求出2x+y的值，即可得出结论；
（3）先求出100a+10b+b﹣a＝99a+11b能被13整除，进而判断出5a+2b能被13整除，进而求出5a+2b＝13或26或39或52，即可得出结论．
【解答】解：（1）82121是“幸运数”，254154不是“幸运数”；
理由：∵121﹣82＝39，能被13整除，
∴82121是“幸运数”，
∵254﹣154＝100，不能被13整除，
∴254154不是“幸运数”；
（2）∵1≤x≤9，0≤y≤5，
∴2≤2x+y≤23，
∵2x+y能被13整除，则2x+y＝13，
∴y＝13﹣2x，
∵0≤y≤5，
∴0≤13﹣2x≤5，
∴4≤x≤，
∵1≤x≤9，x为整数，
∴x＝4或5或6，
即或或，
故答案为：或或；
（3）设这个四位数的千位数字为a，十位数字为b（1≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数），
由题意知，100a+10b+b﹣a＝99a+11b能被13整除，
∵99a+11b＝104a+13b﹣5a﹣2b＝13（8a+b）﹣（5a+2b），
∴5a+2b能被13整除，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，
∴5≤5a+2b≤63，
∴5a+2b＝13或26或39或52，
∴或或或或或，
∴这个四位自然数为1144或2288或4433或5577或7722或8866，
∴最大数为886，最小为1144，
即满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为8866﹣1144＝7722．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；
（3）试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB，即可求解；
（3）当∠PCB为直角时，直线PC与x轴的夹角为45°，故直线PC的表达式为y＝﹣x﹣3，进而求解；当∠BPC为直角时，证明∠PBM＝∠CPN，则tan∠PBM＝tan∠CPN，即，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB＝×3×（t﹣3﹣t2+2t+3）＝﹣（t﹣）2+≤，
∴当t＝时，△PBC的面积最大值为，
此时点P的坐标为（，﹣）；
（3）∵点P为直线BC下方抛物线上一动点，故∠PBC≠90°，
①当∠PCB为直角时，
由直线BC的表达式知，直线BC和x轴负半轴的夹角为45°，
∴当∠PCB为直角时，则直线PC与x轴的夹角为45°，
故直线PC的表达式为y＝﹣x﹣3②，
联立①②得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣3，解得x＝0（舍去）或1，
即t＝1，
②当∠BPC为直角时，如图2，
过点P作y轴的垂线交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵∠BPM+∠PBM＝90°，∠BPM+∠CPN＝90°，
∴∠PBM＝∠CPN，
∴tan∠PBM＝tan∠CPN，即，
∴，解得t＝（不合题意的值已舍去）；
综上，t的值为1或．
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日期：2021/8/11 12:01:19；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2018年湖北省随州市曾都区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如果a与3互为相反数，那么a等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．x3•x5＝x15
C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7
3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1十∠3＝180° B．∠1＝∠2
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠4
4．（3分）解分式方程＝2+，去分母得（ ）
A．1＝2x﹣1+3 B．1＝2x﹣1﹣3 C．1＝2（x﹣1）+3 D．1＝2（x﹣1）﹣3
5．（3分）今年清明小长假，我市再次出现旅游小高峰，接待游客26万人次，旅游收入近1亿元，其中26万用科学记数法表示为（ ）
A．2.6×105 B．2.6×104 C．0.26×105 D．26×104
6．（3分）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）已知△ABC的外心为O，内心为I，∠BOC＝120°，则∠BIC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．120°或150° D．130°或150°
8．（3分）下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第20天与第30天的日销售利润相同
D．第12天与第30天的销售量相同
10．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使点A与CD边上的点H重合（H不与C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD周长为m，△CHG周长为n，则为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上）
11．（3分）计算：|﹣3|﹣20+（）﹣1＝ ．
12．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为 ．
13．（3分）某学校校园电视台要招募小记者，测试内容为：采访写作、计算机操作、创意设计，并将测试得分按5：2：3的比例确定测试总分．已知某应聘者的三项得分分别为88、85、70，则这位应聘者的测试总分为 ．
14．（3分）《九章算术》中，将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，主视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 ．
15．（3分）将一些同样大小的小圆圈按如图的规律摆放，第①个图形中小圆圈的个数为a1，第②个图形中小圆圈的个数为a2，第③个图形中小圆圈的个数为a3，…，以此类推，第个图形中小圆圈的个数为an，当an＝231时，n＝ ．
16．（3分）如图，函数y＝（x＜0）与y＝x+3的图象交于点A（﹣1，n）和点B，过点A垂直于AB的直线交y轴于点C．若直线x＝m与y＝（x＜0）的图象交于点P，与直线AC交于点Q，当∠PAQ＞90°时，直接写出m的取值范围为 ．
三.解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）先化简再求值：（x﹣1）2﹣x（x+2）﹣，其中x＝﹣．
18．（8分）如图是某产品商标的示意图，已知AB＝CD，∠A＝∠D，有人认为△ABC≌△DCB，他的思考过程是：
∵AB＝CD，∠A＝∠D，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
你认为这个思考过程对吗？
如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件？
如果不正确，写出你的思考过程．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，求x12+x22﹣x1x2的值．
20．（9分）某学校举行了以“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了不完整的频数分布表，后来发现，表中前三行的所有数据都是正确的，最后一行中有一个数据填写错误，请根据以上信息，解答下列问题：
分数段
（分数为x单位）
频数
百分比
60≤x＜70
8
20%
70≤x＜80
a
30%
80≤x＜90
16
b%
90≤x＜100
5
10%
（1）表中的a＝ ，b＝ ．
（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应的圆心角的度数是 ．
（3）表中最后一行中哪一个数是错误的？该数据的正确值是多少？
（4）竞赛成绩不低于90分的同学中，有且仅有2名男同学，其余均为女同学，学校从这些同学中随机抽取2名同学接受电视台记者采访，求正好抽到一名男同学和一名女同学的概率．
21．（9分）如图1是某新建大桥的施工现场图，小明据此构造出一个如图2所示的数学模型．已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝20m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
22．（10分）如图，A．B、C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作⊙O的切线交弦BC的延长线于点F，点E为BF的中点，连接DE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求ME的长．
23．（10分）如果一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差（较大数减较小数）能被13整除，那么我们就称这个自然数为“幸运数”．例如，对于自然数383357，因为383﹣357＝26，26能被13整除，所以383357是“幸运数”．
（1）判断82121和254154是否为“幸运数”，请说明理由；
（2）已知1≤x≤9，0≤y≤5，且x、y为整数，若2x+y能被13整除，求x、y的值．
思路分析：根据题意可得2≤2x+y≤23，若2x+y能被13整除，则2x+y＝13，所以0≤13﹣2x≤5，解得4≤x≤，…
请根据这个思路直接写出x、y的值为， ；
（3）若一个四位自然数，千位数字与百位数字相同，十位数字与个位数字相同，并且它是“幸运数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；
（3）试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
2018年湖北省随州市曾都区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如果a与3互为相反数，那么a等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：如果a与3互为相反数，那么a等于﹣3，
故选：B．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．3x2+4x2＝7x4 B．x3•x5＝x15
C．x4÷x＝x3 D．（x5）2＝x7
【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、3x2+4x2＝7x2，故本选项不合题意；
B、x3•x5＝x8，故本选项不合题意；
C、x4÷x＝x3，故本选项符合题意；
D、（x5）2＝x10，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ）
A．∠1十∠3＝180° B．∠1＝∠2
C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠4
【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行判断即可．
【解答】解：由∠1+∠3＝180°，∠5+∠3＝180°，可得∠1＝∠5，故直线a与b平行，故A能判定；
由∠1＝∠2，不能判定直线a与b平行，故B不能判定；
由∠1＝∠4，∠1＝∠2，可得∠2＝∠4，故直线a与b平行，故C能判定；
由∠2＝∠4，可得直线a与b平行，故D能判定．
故选：B．
4．（3分）解分式方程＝2+，去分母得（ ）
A．1＝2x﹣1+3 B．1＝2x﹣1﹣3 C．1＝2（x﹣1）+3 D．1＝2（x﹣1）﹣3
【分析】分式方程整理后，找出最简公分母，去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：分式方程整理得：＝2﹣，
去分母得：1＝2（x﹣1）﹣3．
故选：D．
5．（3分）今年清明小长假，我市再次出现旅游小高峰，接待游客26万人次，旅游收入近1亿元，其中26万用科学记数法表示为（ ）
A．2.6×105 B．2.6×104 C．0.26×105 D．26×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：26万＝260000＝2.6×105．
故选：A．
6．（3分）为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗．其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，该班男生有x人，女生有y人．根据题意，所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可得等量关系：①男生人数+女生人数＝30；②男生种树的总棵树+女生种树的总棵树＝78棵，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：，
故选：D．
7．（3分）已知△ABC的外心为O，内心为I，∠BOC＝120°，则∠BIC的度数为（ ）
A．120° B．130° C．120°或150° D．130°或150°
【分析】用三角形外心的性质得出∠A的度数，再利用三角形内角和定理以及三角形内心的性质得出答案
【解答】解：如图1，当△ABC是锐角三角形，
∵点O为△ABC的外心，∠BOC＝120°，
∴∠A＝60°，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，则∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°．
如图2，当△ABC是钝角三角形，
∵∠BOC＝120°，
∴∠A＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝30°，
∴∠BIC＝150°．
故选：C．
8．（3分）下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a的值取值范围，进而利用反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：A、抛物线y＝ax2+ax应该经过原点，故本选项不符合题意；
B、抛物线y＝ax2+ax开口方向向上，则a＞0，对称轴x＝﹣＝﹣．所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意；
C、抛物线y＝ax2+ax开口方向向上，则a＞0，对称轴x＝﹣＝﹣．所以反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，故本选项不符合题意；
D、抛物线y＝ax2+ax开口方向向上，则a＜0，对称轴x＝﹣＝﹣．所以反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，故本选项符合题意；
故选：D．
9．（3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第20天与第30天的日销售利润相同
D．第12天与第30天的销售量相同
【分析】根据函数图象分别求出当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝﹣t+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝t+100，根据日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【解答】解：A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；
B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝kx+b，
把（0，25），（20，5）代入得：，
解得：，
∴z＝﹣x+25，
当x＝10时，z＝﹣10+25＝15，
故正确；
C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝k1t+b1，
把（0，100），（24，200）代入得：，
解得：，
∴y＝x+100，
当t＝20时，y＝，z＝﹣20+25＝5，
∴第20天的日销售利润为；×5＝（元），第30天的日销售利润为；150×5＝750（元），
750≠，故C错误；
D、产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝x+100，
当t＝12时，y＝×12+100＝150，即第12天的销售量为150件，
根据图①可得第30天的销售量为150件，故正确．
故选：C．
10．（3分）如图，将正方形ABCD折叠，使点A与CD边上的点H重合（H不与C，D重合），折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G．设正方形ABCD周长为m，△CHG周长为n，则为（ ）
A． B．2 C． D．
【分析】连接AH、AG，作AM⊥HG于M．证明△AHD≌△AHM（AAS），得出DH＝HM，AD＝AM，证明Rt△AGM≌Rt△AGB（HL），得出GM＝GB，求出△GCH的周长＝n＝CH+HM+MG+CG＝CH+DH+CG+GB＝2BC，由四边形ABCD的周长＝m＝4BC，即可得出答案．
【解答】解：连接AH、AG，作AM⊥HG于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB．
∵EA＝EH，
∴∠1＝∠2，
∵∠EAB＝∠EHG＝90°，
∴∠HAB＝∠AHG，
∵DH∥AB，
∴∠DHA＝∠HAB＝∠AHM，
在△AHD和△AHM中，
∴△AHD≌△AHM（AAS），
∴DH＝HM，AD＝AM，
∴AM＝AB．
在Rt△AGM和Rt△AGB中，，
∴Rt△AGM≌Rt△AGB（HL），
∴GM＝GB，
∴△GCH的周长＝n＝CH+HM+MG+CG＝CH+DH+CG+GB＝2BC，
∵四边形ABCD的周长＝m＝4BC，
∴＝2；
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.把答案直接填在答题卡上对应题号的横线上）
11．（3分）计算：|﹣3|﹣20+（）﹣1＝ 4 ．
【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：|﹣3|﹣20+（）﹣1
＝3﹣1+2
＝4．
故答案为：4．
12．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为 40° ．
【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．
【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，
∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．
故答案为：40°．
13．（3分）某学校校园电视台要招募小记者，测试内容为：采访写作、计算机操作、创意设计，并将测试得分按5：2：3的比例确定测试总分．已知某应聘者的三项得分分别为88、85、70，则这位应聘者的测试总分为 82 ．
【分析】运用加权平均数的计算公式求解．
【解答】解：5+2+3＝10
5÷10＝0.5
2÷10＝0.2
3÷10＝0.3
88×0.5+85×0.2+70×0.3
＝44+17+21
＝82（分）．
故这位应聘者的测试总分为82．
故答案为：82．
14．（3分）《九章算术》中，将两底面是直角三角形的棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，主视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为 4+4 ．
【分析】依据三视图求得底面的周长，即可得到侧面积．
【解答】解：如图所示，取AB的中点D，连接CD，
由侧视图可知CD＝1，
俯视图中，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴AB＝2CD＝2，BC＝AC＝，
∴该“堑堵”的侧面积为2（2+）＝4+4．
故答案为：4+4．
15．（3分）将一些同样大小的小圆圈按如图的规律摆放，第①个图形中小圆圈的个数为a1，第②个图形中小圆圈的个数为a2，第③个图形中小圆圈的个数为a3，…，以此类推，第个图形中小圆圈的个数为an，当an＝231时，n＝ 20 ．
【分析】观察图形特点，从中找出规律，根据规律求解．
【解答】解：通过观察，得到：
第①个图形中小圆圈的个数为：a1＝1+2＝＝3，
第②个图形中小圆圈的个数为：a2＝1+2+3＝＝6，
第③个图形中小圆圈的个数为：a3＝1+2+3+4＝＝10，
第④个图形中小圆圈的个数为：a4＝1+2+3+4+5＝＝15，
…，
所以第n个图形中的圆的个数为：an＝1+2+3+…+（n+1）＝，
当an＝231时，＝231，解得：n1＝20，2＝﹣23（不合题意，舍去），
故答案为：20．
16．（3分）如图，函数y＝（x＜0）与y＝x+3的图象交于点A（﹣1，n）和点B，过点A垂直于AB的直线交y轴于点C．若直线x＝m与y＝（x＜0）的图象交于点P，与直线AC交于点Q，当∠PAQ＞90°时，直接写出m的取值范围为 ﹣2＜m＜0且m≠﹣1 ．
【分析】先求得A的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立成方程组，解方程组求得B的坐标，观察图象即可的得到m的取值范围．
【解答】解：把点A（﹣1，n）代入y＝x+3得，n＝﹣1+3＝2，
∴A（﹣1，2），
∵函数y＝（x＜0）与y＝x+3的图象交于点A（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2，
∴反比例函数为y＝﹣，
解点或，
∴B（﹣2，1），
如图，当直线x＝m经过点B时，m＝﹣2，
观察图象可知﹣2＜m＜0且m≠﹣1时，∠PAQ＞90°，
故答案为﹣2＜m＜0且m≠﹣1．
三.解答题（本题共8小题，共72分.解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．（6分）先化简再求值：（x﹣1）2﹣x（x+2）﹣，其中x＝﹣．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣
＝x2﹣2x+1﹣x2﹣2x+2
＝3﹣4x，
当x＝﹣时，
原式＝3﹣4×（﹣）
＝3+1
＝4．
18．（8分）如图是某产品商标的示意图，已知AB＝CD，∠A＝∠D，有人认为△ABC≌△DCB，他的思考过程是：
∵AB＝CD，∠A＝∠D，BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB．
你认为这个思考过程对吗？
如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件？
如果不正确，写出你的思考过程．
【分析】根据全等三角形的判定定理推出△ABE≌△DCE，根据全等三角形的性质得出AE＝DE，BE＝CE，求出AC＝BD，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解答】解：他的思考过程不正确，
理由是：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE(AAS），
∴AE＝DE，BE＝CE，
∴AC＝BD，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
19．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝﹣1时，求x12+x22﹣x1x2的值．
【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，则判别式大于0，据此即可列不等式求得k的范围；
（2）根据方程的系数结合根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣5，x1•x2＝2，将其代入x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1•x2中，即可求出结论．
【解答】解：（1）由题意可知：△＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k+1）＞0，
即﹣12k+5＞0
∴k＜；
（2）当k＝﹣1时，原方程为x2+5x+2＝0，
∴x1+x2＝﹣5，x1•x2＝2，
∴x12+x22﹣x1x2＝（x1+x2）2﹣3x1•x2＝（﹣5）2﹣3×2＝19．
20．（9分）某学校举行了以“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了不完整的频数分布表，后来发现，表中前三行的所有数据都是正确的，最后一行中有一个数据填写错误，请根据以上信息，解答下列问题：
分数段
（分数为x单位）
频数
百分比
60≤x＜70
8
20%
70≤x＜80
a
30%
80≤x＜90
16
b%
90≤x＜100
5
10%
（1）表中的a＝ 12 ，b＝ 40 ．
（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应的圆心角的度数是 108° ．
（3）表中最后一行中哪一个数是错误的？该数据的正确值是多少？
（4）竞赛成绩不低于90分的同学中，有且仅有2名男同学，其余均为女同学，学校从这些同学中随机抽取2名同学接受电视台记者采访，求正好抽到一名男同学和一名女同学的概率．
【分析】（1）首先根据第一小组的频数和频率求得总人数，然后减去其它小组的频数即可求得a值，根据总人数和第三小组的频数即可求得b值；
（2）用周角乘以相应分数段所占的百分比即可求得圆心角的度数；
（3）根据四个分组的频数之和等于总人数，百分比之和等于1求解即可；
（4）列表将所有等可能的结果列举出来利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）∵60≤x＜70小组的频数为8，占20%，
∴8÷20%＝40（人），
∴a＝40×30%＝12，b%＝×100%＝40%，即b＝40，
故答案为：12，40；
（2）∵70≤x＜80小组所占的百分比为30%，
∴70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数360°×30%＝108°，
故答案为：108°；
（3）表中最后一行中数据5是错误的，
90≤x＜100的频数为40﹣（8+12+16）＝4；
（4）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：
A
B
a
b
A
AB
Aa
Ab
B
BA
Ba
Bb
a
aA
aB
ab
b
bA
bB
ba
∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种，
∴正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为＝．
21．（9分）如图1是某新建大桥的施工现场图，小明据此构造出一个如图2所示的数学模型．已知：A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝30°，∠CBD＝75°，AB＝20m．
（1）求点B到AC的距离；
（2）求线段CD的长度（结果精确到1米）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）根据题意，作出合适的辅助线，然后直角三角形中30°角所对的直角边和斜边的关系，即可得到点B到AC的距离；
（2）根据锐角三角函数，可以求得AC的长，从而可以得到CD的长．
【解答】解：（1）作BE⊥AC交AC于点E，
∵∠A＝30°，AB＝20m，∠AEB＝90°，
∴BE＝10m，
即点B到AC的距离是10m；
（2）∵∠A＝30°，AB＝20m，∠AEB＝90°，
∴BE＝10m，AE＝AB•cos30°＝20×＝10m，
∵∠CBD＝75°，∠A＝30°，
∴∠BCE＝45°，
∵∠BEC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∴∠BCE＝∠CBE，
∴CE＝BE＝10m，
∴AC＝AE+CE＝（10+10）m，
∵∠D＝90°，∠A＝30°，
∴CD＝AC＝×（10+10）＝5+5≈14（m），
即线段CD的长度约为14m．
22．（10分）如图，A．B、C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作⊙O的切线交弦BC的延长线于点F，点E为BF的中点，连接DE．
（1）求证：DE∥AB；
（2）连接AF交DE于点M，若AD＝4，DE＝5，求ME的长．
【分析】（1）根据DF是⊙O的切线得到BD⊥DF，根据直角三角形斜边中线定理得到DE＝BE，根据等角对等边得∠BDE＝∠EBD，根据BD平分∠ABC，得∠ABD＝∠CBD，等量代换得∠BDE＝∠ABD，根据内错角相等，两直线平行即可得到DE∥AB；
（2）连接DC，因为BD是⊙O的直径，所以∠BAD＝∠BCD＝90°，根据AAS证明△ABD≌△CBD，所以CD＝AD＝4，AB＝BC，根据勾股定理得CE＝3，根据直角三角形斜边中线定理得EF＝DE＝5，所以∠CBD＝∠BDE，求出BF＝10，BC＝8，所以AB＝8，因为DE∥AB，所以△ABF∽△MEF，所以，进而求出ME的长度．
【解答】（1）证明：∵DF切⊙O于点D，
∴BD⊥DF．
∵点E为BF的中点，
∴DE＝BE，
∴∠BDE＝∠EBD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠BDE＝∠ABD，
∴DE∥AB；
（2）解：如图，连接DC，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
又∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD（AAS），
∴CD＝AD＝4，AB＝BC，
∵DE＝5，
∴CE＝＝3，EF＝DE＝5，
∴BE＝DE＝5，
∴BF＝BE+EF＝10，BC＝BE+EC＝8，
∴AB＝8，
∵DE∥AB，
∴△ABF∽△MEF，
∴，
∴，
∴ME＝4．
23．（10分）如果一个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差（较大数减较小数）能被13整除，那么我们就称这个自然数为“幸运数”．例如，对于自然数383357，因为383﹣357＝26，26能被13整除，所以383357是“幸运数”．
（1）判断82121和254154是否为“幸运数”，请说明理由；
（2）已知1≤x≤9，0≤y≤5，且x、y为整数，若2x+y能被13整除，求x、y的值．
思路分析：根据题意可得2≤2x+y≤23，若2x+y能被13整除，则2x+y＝13，所以0≤13﹣2x≤5，解得4≤x≤，…
请根据这个思路直接写出x、y的值为， 或或 ；
（3）若一个四位自然数，千位数字与百位数字相同，十位数字与个位数字相同，并且它是“幸运数”，求满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差．
【分析】（1）根据新定义直接判断，即可得出结论；
（2）先确定出2x+y的范围，进而求出2x+y的值，即可得出结论；
（3）先求出100a+10b+b﹣a＝99a+11b能被13整除，进而判断出5a+2b能被13整除，进而求出5a+2b＝13或26或39或52，即可得出结论．
【解答】解：（1）82121是“幸运数”，254154不是“幸运数”；
理由：∵121﹣82＝39，能被13整除，
∴82121是“幸运数”，
∵254﹣154＝100，不能被13整除，
∴254154不是“幸运数”；
（2）∵1≤x≤9，0≤y≤5，
∴2≤2x+y≤23，
∵2x+y能被13整除，则2x+y＝13，
∴y＝13﹣2x，
∵0≤y≤5，
∴0≤13﹣2x≤5，
∴4≤x≤，
∵1≤x≤9，x为整数，
∴x＝4或5或6，
即或或，
故答案为：或或；
（3）设这个四位数的千位数字为a，十位数字为b（1≤a≤9，0≤b≤9，a，b均为整数），
由题意知，100a+10b+b﹣a＝99a+11b能被13整除，
∵99a+11b＝104a+13b﹣5a﹣2b＝13（8a+b）﹣（5a+2b），
∴5a+2b能被13整除，
∵1≤a≤9，0≤b≤9，
∴5≤5a+2b≤63，
∴5a+2b＝13或26或39或52，
∴或或或或或，
∴这个四位自然数为1144或2288或4433或5577或7722或8866，
∴最大数为886，最小为1144，
即满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差为8866﹣1144＝7722．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P为直线BC下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求这个最大面积；
（3）试探究：是否存在点P，使△PBC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB，即可求解；
（3）当∠PCB为直角时，直线PC与x轴的夹角为45°，故直线PC的表达式为y＝﹣x﹣3，进而求解；当∠BPC为直角时，证明∠PBM＝∠CPN，则tan∠PBM＝tan∠CPN，即，即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3①；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x﹣3，
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝×PH×OB＝×3×（t﹣3﹣t2+2t+3）＝﹣（t﹣）2+≤，
∴当t＝时，△PBC的面积最大值为，
此时点P的坐标为（，﹣）；
（3）∵点P为直线BC下方抛物线上一动点，故∠PBC≠90°，
①当∠PCB为直角时，
由直线BC的表达式知，直线BC和x轴负半轴的夹角为45°，
∴当∠PCB为直角时，则直线PC与x轴的夹角为45°，
故直线PC的表达式为y＝﹣x﹣3②，
联立①②得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣3，解得x＝0（舍去）或1，
即t＝1，
②当∠BPC为直角时，如图2，
过点P作y轴的垂线交y轴于点N，交过点B与y轴的平行线于点M，
设点P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵∠BPM+∠PBM＝90°，∠BPM+∠CPN＝90°，
∴∠PBM＝∠CPN，
∴tan∠PBM＝tan∠CPN，即，
∴，解得t＝（不合题意的值已舍去）；
综上，t的值为1或．
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