暑假作业二十八（函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象）-（新高一）数学

暑假作业二十八（函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象）

一．知识梳理

y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．

二．每日一练

一、单选题

1．把函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若函数是偶函数，则下列数中可能是的值的为（    ）

A． B． C． D．

2．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若存在，使得，且的最小值为，则（    ）

A． B． C． D．

3．若函数()的图象向左平移个单位后得到一个偶函数的图象；若向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（    ）

A．是奇函数 B．图象关于直线对称

C．在上是增函数 D．图象关于直线对称

5．函数的部分图象如图所示，若△的面积为，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．

6．函数(其中，)的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（    ）

A．向右移个单位长度

B．向右移个单位长度

C．向左移个单位长度

D．向左移个单位长度

7．如图是函数(，)的部分图象，则（    ）

A．函数的最小正周期为

B．直线是函数图象的一条对称轴

C．点是函数图象的一个对称中心

D．函数为奇函数

8．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

二、多选题

9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值是2                B．向左平移个单位后为奇函数

C．的图象关于对称      D．在上是递增的

10．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．的最小正周期为

B．

C．在区间上单调递增

D．将的图象向左平移个单位长度后得到的图象

11．已知函数①，②函数，则下列正确的有（    ）

A．①②周期相同，最大小值相同 B．①由②向左平移个单位长度得到

C．①由②向右平移个单位长度得到 D．①由②向左平移个单位长度得到

12．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．函数的振幅是2，初相是

B．若把图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数

C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数

D．，若恒成立，则的范围为

三、填空题

13．已知函数（，）的最小正周期为，将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数为偶函数时，则的最小值是______．

14．若定义在上的非零函数，对任意实数，存在常数，使得恒成立，则称是一个“函数”，试写出一个“函数”：__________．

15．已知函数(，)的部分图象如图所示，则的解析式为___________.

16．已知函数是奇函数，且的最小正周期为，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为，若，则__________.

四、解答题

17．已知函数．

（1）函数图象上所有的点_______，再_________得到的图象．

（2）若在区间内是单调函数，求实数m的最大值．

18．已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②的图象可以由的图像平移得到；③相邻两条对称轴之间的距离为；④最大值为2.

（1）请指出这三个条件，并说明理由；

（2）若曲线的对称轴只有一条落在区间上，求m的取值范围.

19．如图是函数（，，）的部分图象．

（1）求函数的表达式；

（2）若函数满足方程（），求在内所有实数根之和．

20．已知函数的最大值为1，其图象相邻两对称轴之间的距离为．若将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象关于原点中心对称．

（1）求函数的解析式；

（2）已知常数，，且函数在内恰有2021个零点，求常数与n的值．

21．已知函数．

（1）求图象的对称轴；

（2）当时，求的值域．

22．已知函数.

（1）若先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将之向左平移个单位，得到函数图象，求函数的解析式

（2）设，则是否存在实数，满足对于任意，都存在，使得成立?如果存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明你的理由.

参考答案

1．D由题意，它为偶函数，则，，只有时满足．

2．D，，则和中一个取1，另一个取，所以可令，解得，，因为的最小值为，所以.

3．D由题意可得：因为函数()的图象向左平移个单位后得到，要使其为偶函数，只需()，解得()，同理可得()，

取，得.

4．D函数的图象向左平移个单位后，得到，即.

所以为偶函数，故A错误；当时，，所以不是的对称轴，故B错误；当时，，单调递减，故C错误；当时，，所以是的一条对称轴，故D正确；

5．A令,则，则，所以，解得．

6．A由函数图象可得，则，可得.

再由五点作图法可得，得，故函数的解析式为.

由，

故将函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.

7．C由题意可知，根据图像得到，，，则选项A错误；

，又，解得，，则，，即，，

所以直线不是函数图象的一条对称轴，则选项B错误；

，所以点是函数图象的一个对称中心，

选项C正确；不是奇函数，

所以选项D错误.

8．B，∴将函数的图像向右平移个单位，可得.

9．BC由辅助角公式可知：，

A．，故错误；B．向左平移个单位得到，又，定义域为关于原点对称，所以是奇函数，故正确；C．因为为最大值，

所以的图象关于对称，故正确；D．因为，所以，因为在上不是单调函数，所以在上不是单调函数，故错误；

10．BD因为，所以，所以，

又因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，

所以，所以，所以；

A．，故错误；B．，故正确；

C．当时，，因为在上不单调，

所以在区间上不单调，故错误；D．将的图象向左平移个单位长度后得到，故正确；

11．AC解：两个函数的周期都为，最大值为1，最小值为-1，最大小值相同，故A正确；

由，则①由② 向右平移个单位长度得到，故C正确，

将②向左平移个单位长度得到，不能得到①，B错误；将②向左平移个单位长度得到，不能得到①，D错误；

12．BCD由图象可得，，，

，，即，，，，，

，故A正确；把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，因为所以在上是增函数，故B正确；

把函数的图象向左平移个单位，得到的函数为，是奇函数，故C正确；由可得

当时，，的最小值为

所以，即，故D正确

13．∵函数（，）的最小正周期为，

∴，．将的图象向左平移（）个单位长度，所得函数的图象，由于得到的函数为偶函数，

∴，，则的最小值是，

14． (答案不唯一).

当时，由得，所以只需写一个周期为1的函数，

所以满足条件的函数可以为.

15．由图可知最大值为2，故，由图可知，所以，又因为，所以，故，

又因为函数经过点，即，所以，又因为，所以，所以，

16．函数是奇函数，则，

因为的最小正周期为，所以，将的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为，又，所以，解得，所以所以.

17．（1）向右平移个单位；把所得图象上点的横坐标变为原来的，纵坐标不变；（2）．

（1），

所以把图象上的点向右平移个单位，再把所得图象上点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象．

（2）由得，因此在上单调递增，是最大值点．所以的最大值是．

18．（1）①③④，理由见解析；（2）.

（1）三个条件是：①③④，理由如下：

若满足②：因为，所以；

若满足③：因为，所以，所以，

若满足④：，由此可知：若满足②，则③④均不满足，所以满足的三个条件是：①③④；

（2）由③④知：，由①知：，所以，所以，又因为，或，

所以或，所以，所以，不妨令，所以，

当时，；当时，；当时，，

所以若要的对称轴只有一条落在区间上，只需,

所以的取值范围是.

19．（1）；（2）答案见解析.

（1）由图可知：，，即，，

又由图可知：，即，所以，所以，所以，，

所以，，因为，所以，

．

（2）因为的周期为，在内恰有个周期．

①当时，方程在内有个实根，

设为、、、，结合图象知，，

故所有实数根之和为；

②当时，方程在内有个实根为，，，，，

故所有实数根之和为；

③当时，方程在内有个实根，

设为、、、，结合图象知，，

故所有实数根之和为；

综上：当时，方程所有实数根之和为；

当时，方程所有实数根之和为．

20．（1）；（2），．解：（1）依题意，，，

将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的函数为

，而图象关于原点中心对称，则有，．

而，，所以．

（2）

当时，，则在内的零点个数为偶数个，

因为在内恰有2021个零点，为奇数个零点，故，

由，可得，

设，在和上递减，，

因为，

①若，由得或，则由（n为奇数），解得，或（n为偶数），解得n不是整数，舍去；

②若，由得或，则由（n为奇数）或，解得n不是整数，舍去；

③若且，在内的零点个数为偶数；

④或，在内的零点个数为偶数．

综上，．

21．（1）；（2）．

（1）

，

由，得图象对称轴：；

（2）由，得，对递增，对递减，所以，，故函数由的值域为．

22．（1）；（2）存在，.

（1

将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到，再向左平移个单位，得到函数所以函数的解析式为：

（2），，，

即；，，，

又当，

，即假设存在实数，满足对任意，都存在，使得成立，则，解得

又当，，即，

则依题意满足，则，与矛盾.舍去.

综上所述，的取值范围是.