高中北师大版 (2019)第六章 立体几何初步3 空间点、直线、平面之间的位置关系3.1 空间图形基本位置关系的认识备课课件ppt

空间图形基本位置关系的认识

【教学目标】

能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系.

【教学重难点】

点、线、面的位置关系.

【教学过程】

一、基础铺垫

1．点、线、面之间的关系及符号表示

A是点，l，m是直线，α，β是平面．

名师点拨：

从集合的角度理解点、线、面之间的关系

（1）直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．

（2）平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉ ”表示．

（3）直线与平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．

2．空间中直线与平面的位置关系

名师点拨：

一般地，直线a在平面α内时，应把直线a画在表示平面α的平行四边形内；直线a与平面α相交时，应画成直线a与平面α有且只有一个公共点，被平面α遮住的部分画成虚线或不画；直线a与平面α平行时，应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行，并画在表示平面α的平行四边形外．

3．空间中平面与平面的位置关系

名师点拨：

（1）画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．

（2）以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线，“两个平面”均指不重合的两个平面．

二、合作探究

例1：（1）用符号语言表示下面的语句，并画出图形．

平面ABD与平面BDC交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.

（2）将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言予以表示．

α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.

【解】（1）符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图①所示．

（2）文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，直线AB，AC分别在平面α，β内，图形语言表示如图②所示．

[规律方法]

三种语言的转换方法

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言叙述，再用符号语言表示．

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

2．空间两直线位置关系的判定

例2：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

【解析】经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．

【答案】①平行②异面③相交④异面

[规律方法]

（1）判定两条直线平行或相交的方法

判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4（下节学习）判断．

3.直线与平面的位置关系

例3：下列命题：

①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；

②若直线a在平面α外，则a∥α；

③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；

④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．

其中真命题的个数为（    ）

A．1 B．2

C．3   D．4

【解析】因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是假命题．

因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是假命题．

因为直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a不一定平行于α，所以③是假命题．

因为a∥b，b⊂α，所以a⊂α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是真命题．

综上，真命题的个数为1.

【答案】A

[归纳反思]

判断直线与平面的位置关系应注意的问题

（1）在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏．

（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．

4.平面与平面的位置关系

例4：已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（    ）

A．平行   B．相交

C．平行或相交   D．以上都不对

【解析】如图，可能会出现以下两种情况：

【答案】C

[规律方法]

（1）平面与平面的位置关系的判断方法

①平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；

②平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

（2）常见的平面和平面平行的模型

①棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行；

②长方体的六个面中，三组相对面平行．

5.点、线、面位置关系图形的画法

例5：如图所示，G是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．

（1）过点G及AC．

（2）过三点E，F，D1．

【解】（1）画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．

（2）画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．

[规律方法]

直线与平面位置关系的图形的画法

（1）画直线a在平面α内时，表示直线a的线段只能在表示平面α的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形外．

（2）画直线a与平面α相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面α的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感．

（3）画直线a与平面α平行时，最直观的画法是用来表示直线a的线段在表示平面α的平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行．

【课堂检测】

1．不平行的两条直线的位置关系是（    ）

A．相交 B．异面

C．平行   D．相交或异面

解析：选D．若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面．

2．若M∈l，N∈l，N∉α，M∈α，则有（    ）

A．l∥α   B．l⊂α

C．l与α相交   D．以上都有可能

解析：选C．由符号语言知，直线l上有一点在平面α内，另一点在α外，故l与α相交．故选C．

3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（    ）

A．平行   B．异面

C．相交   D．平行或异面

解析：选D．如图：

4．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为（    ）

A．平行   B．直线在平面内

C．相交或直线在平面内   D．平行或直线在平面内

解析：选D．若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或直线在平面内．

5．已知平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________．

答案：异面

6．下列命题正确的是________．（填序号）

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

③如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交．

解析：①显然是正确的；②中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以②是错误的；③中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以③是错误的．

答案：①