优化提升专题训练（新高考）利用导数研究函数的性质（含答案解析）学案

   利用导数研究函数的性质

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．   B．a=e，b=1

C．   D．，

【答案】D

【解析】∵

∴切线的斜率，，

将代入，得.

故选D．

2、设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.

故选D.

该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.

3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________．

【答案】

【解析】

所以切线的斜率，

则曲线在点处的切线方程为，即．

4、【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】

则所求的切线方程为.

5、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线在点处的切线的斜率为，则________．

【答案】

【解析】，则，所以.

【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题.

6、（2020届山东省滨州市高三上期末）曲线在点处的切线的方程为__________．

【答案】

【解析】

7、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与曲线相切，则__________.

【答案】

【解析】函数的导函数，

设切点坐标，则，解得：.

故答案为：

8、【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】当时，恒成立；

当时，恒成立，

令，

则

，

当，即时取等号，

∴，则.

当时，，即恒成立，

令，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

则时，取得最小值，

∴，

综上可知，的取值范围是.

故选C.

9、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．

【解析】（1）当时，，，

所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.

（2）因为，

因为函数处有极小值，所以，

所以

由，得或，

当或时，，

当时，，

所以在，上是增函数，在上是减函数，

因为，，

所以的最大值为.

【问题探究，变式训练】

题型一  函数图像的切线问题

知识点拨：利用导数研究函数的切线问题，要区分在与过的不同，要是过某一点一定要设切点坐标，然后根据具体的条件得到方程，然后解出参数即可。

例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数的图像在点处的切线方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B．

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.

变式1、【2020年高考全国III卷理数】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为

A．y=2x+1  B．y=2x+ 

C．y=x+1  D．y=x+

【答案】D

【解析】设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D．

变式2、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是  ▲   .

【答案】

【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.

设点，则.

又，当时，，

则曲线在点A处的切线为，

即，

将点代入，得，即，

考察函数，

当时，，当时，，

且，

当时，单调递增，

注意到，故存在唯一的实数根，

此时，故点的坐标为.

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

变式3、（2017苏州一调）若直线为曲线的一条切线，则实数的值是          ．

【答案】、1  

【解析】、 设切点的横坐标为，由曲线，得，所以依题意切线的斜率为，得，所以切点为，又因为切线过切点，故有，解得.

变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线和曲线E：交于三点时，曲线E在点A，点C处的切线总是平行的，则过点可作曲线E的切线的条数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

直线过定点

由题意可知：定点是曲线的对称中心，

，解得，所以曲线，

f′（x）= ，设切点M（x0，y0），

则M纵坐标y0=，又f′（x0）=，

∴切线的方程为：

又直线过定点

，

得﹣-2=0，

，

即

解得：

故可做两条切线

故选C

题型二  有关函数图像切线的综合问题

知识点拨：知识点拨：有关函数图像切线的综合问题涉及到导数的几何意义以及转化为切点到直线的距离或者切线与直线的距离的问题，关键要设切点的坐标。

例2、【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是  ▲   .

【答案】4

【解析】由，得，

设斜率为的直线与曲线切于，

由得（舍去），

∴曲线上，点到直线的距离最小，最小值为.

故答案为．

变式1、(2019苏锡常镇调研（二））已知点P在曲线C：上，曲线C在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点，若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为       ．

【答案】.设

【解析】因为，所以切线l的斜率，且，则直线，即

令，消得：，设，则，即，又因为点在曲线上，所以，故

因为，所以，即，化简得，则，所以点的纵坐标为

变式2、（2017年泰州一模）已知曲线：，直线：，在曲线上有一个动点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为.再过点作曲线的切线，分别与直线和轴相交于点，是坐标原点.若的面积为，则的面积为    ．

【答案】

思路点拨：从条件分析，本题利用“设而不求”的方法，用点P的横坐标作为参数，通过一定的计算，表示A，B，M，N的坐标，再根据条件，求得值，进而计算的面积.

解析：设点P坐标为,因为点关于的对称点为，故垂足A坐标为，B坐标为，由条件得，将

代入化简得，从而，故，过点P的切线方程是，与联立得，从而，又知

，所以的面积为.

变式3、(2018南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线y＝(m＞0)在x＝1处的切线为l，则点(2，－1) 到直线l的距离的最大值为________．

【答案】 　

解法1 由题意，切点坐标为，因为y′＝－，所以切线l的斜率k＝－，故切线l的方程为y－＝－(x－1)，即l：mx＋4y－3m＝0，则点(2，－1)到直线l的距离d＝＝＝＝，又因为m>0，所以m＋≥2＝8(当且仅当m＝4时取等号)，则d≤，故点(2，－1)到直线l的距离的最大值为.

解法2 由题意，切点坐标为，因为y′＝－，所以切线l的斜率k＝－，故切线l的方程为y－＝－(x－1)，则直线l：m(x－3)＋4y＝0恒过定点(3，0)，故当直线l与两点(3，0)，(2，－1)的连线垂直时，点(2，－1)到直线l的距离的最大，且为.

变式4、（2019年栟茶中学二模）         

【答案】

解析：如图所示，在两个函数图像上分别取一点，求距离最小值等价为将直线平移与相切时的两条平行线的距离.

设上的任一点，则在该点处的切线斜率，所以

即切线方程为，所以两条平行线间的距离为

点评：一直线上任一点到另一曲线上任一点的距离最值问题可以不要用函数思想建立函数研究，可以直接根据最值的几何特征，再进行代数计算.

题型三  简单函数的最值问题

知识点拨： 最值的求法通常有如下的方法：

(1) 函数、导数法：运用函数的性质，或求导数确定函数的最值。(2) 不等式法：利用基本不等式或向量不等式或柯西不等式求最值。(3) 几何法：运用式子的几何意义或线性规划的知识求最值

例3、【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．

【答案】–3

【解析】由得或，

因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，

因此解得.

从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ，

则

故答案为.

变式1、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，则的最小值是_____________．

【答案】

【解析】，

所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，

从而得到函数的递减区间为，

函数的递增区间为，

所以当时，函数取得最小值，

此时，

所以，

故答案是.

该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.

变式2、【2020年高考北京】已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

【解析】（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程：，即.

（Ⅱ）显然，

因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.