优化提升专题训练（新高考） 三角函数的图像与性质（含答案解析）学案

 三角函数的图像与性质

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，，

其图像向左平移a个单位得到函数，

而函数，所以有

，取得.答案选C.

2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数的图象过点，则(     )

A．把的图象向右平移个单位得到函数的图象

B．函数在区间上单调递减

C．函数在区间内有五个零点

D．函数在区间上的最小值为1

【答案】D

【解析】因为函数的图象过点，

所以，因此，

所以，

因此；

A选项，把的图象向右平移个单位得到函数的图象，故A错；

B选项，由得，即函数的单调递减区间是：，故B错；

C选项，由得，即，

因此，所以，共四个零点，故C错；

D选项，因为，所以，因此，所以，即的最小值为1，故D正确；

故选：D.

3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是的一个周期 B．的图像可由的图像向右平移得到

C．的一个零点为 D．的图像关于直线对称

【答案】ACD

【解析】的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；

的图像可由的图像向右平移得到，故B错误；

，故C正确；

，故D正确.

故选：ACD

4、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数，是的导函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．函数的值域与的值域不相同

B．把函数的图象向右平移个单位长度，就可以得到函数的图象

C．函数和在区间上都是增函数

D．若是函数的极值点，则是函数的零点

【答案】CD

【解析】∵函数f（x）＝sinx﹣cosxsin（x）

∴g（x）＝f'（x）＝cosx+sinxsin（x），

故函数函数f（x）的值域与g（x）的值域相同，

且把函数f（x）的图象向左平移个单位，就可以得到函数g（x）的图象，

存在x0=，使得函数f（x）在x0处取得极值且是函数的零点，

函数f（x）在上为增函数，g（x）在上也为增函数，∴单调性一致，

故选：CD．

5、【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．

【答案】

【解析】函数，周期为.

【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.

6、【2018年高考北京卷理数】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．

【答案】

【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，

所以，

因为，所以当时，ω取最小值为.

7、【2020年高考全国III卷理数】16.关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图像关于y轴对称．

②f（x）的图像关于原点对称．

③f（x）的图像关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

【问题探究，变式训练】

题型一 三角函数图像的变换

知识点拨：图像的平移变换要按照“左加右减”的原则，若x前面有系数，需要提取系数．由y＝sinx的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值

例1、【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则

A．  B．

C．  D．

【答案】C

【解析】∵为奇函数，∴；

又∴，

又，∴，

∴，故选C.

变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数的图象，只需把函数的图象（   ）

A．向左平移个单位 B．向左平移单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】A

【解析】不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象．

于是，函数平移个单位后得到函数，，即，

所以有，，取，．答案为A．

变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则（    ）

A．1 B．-1 C． D．

【答案】D

【解析】把的图象向左平移个单位长度，得的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得图象的函数式为，

，∴，

∴．

故选：D.

变式3、【2020年高考江苏】将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是   ▲    ．

【答案】

【解析】

当时.

故答案为：

变式4、(2019苏州三市、苏北四市二调）将函数y＝2sin3x的图像向左平移个单位长度得到y＝f(x)的图像，则f的值为________．

【答案】、 －　

【解析】、解法1 由题意可知：y＝f(x)＝2sin＝2sin，所以f＝2sin＝－2sin＝－.

解法2 根据图像平移前后的关系，f的值应和y＝2sin3x中x＝＋时y值相等，所以f＝2sin3＝－.

题型二 三角函数的对称性

知识点拨：正弦型和余弦型函数的对称轴，就是函数取最大值或最小值时x的值，体现了整体的思想，如本题是ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z，而不是2kπ＋，解题时一定要注意这一点．利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！

例2、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，

又因为的图象关于对称，

所以，即，

因为，所以的最小值为.

故选：A.

变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知函的最大值为，其相邻两个零点之间的距离为，且的图象关于直线对称，则当时，函数的最小值为______.

【答案】

【解析】由题意可得，设函数的最小正周期为，则，得，

，此时，.

因为函数的图象关于直线对称，则，

，，，，则.

，，

因此，函数在区间上的最小值为.

故答案为：.

变式2、(2019南京学情调研） 已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则f(0)的值为________．

【答案】、. 1　

【解析】、由题意，f＝2sin＝±2，即sin＝±1，又因为－＜φ＜， －<＋φ<，所以＋φ＝，即φ＝，所以f(x)＝2sin，f(0)＝1.

变式3、(2019苏锡常镇调研（二））函数的图像关于直线对称，则的最小值为       ．

【答案】、.

解法1：根据余弦函数的图像及性质，令，得，令得，，又因为，所以当时取得最小值为

解法2：由条件可得，即，则，，解得，，又因为，所以当时取得最小值为

题型三  三角函数的图像与性质

知识点拨：解决此题的关键就是熟练掌握三角函数的图像和性质，运用专题的思想解决对称轴单调性等问题。

例3、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设函数在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为

A．   B．

C．  D．

【答案】C

【解析】由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：，

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得.

所以函数最小正周期为

故选C．

变式1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：

①f(x)是偶函数  ②f(x)在区间（，）单调递增

③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A．①②④   B．②④

C．①④  D．①③

【答案】C

【解析】为偶函数，故①正确．

当时，，它在区间单调递减，故②错误．

当时，，它有两个零点：；当时，

，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．

当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．

综上所述，①④正确，故选C．

变式2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴方程为

C．的最小值为 D．的上为增函数

【答案】B

【解析】，

对A，的最小正周期为，故A错误；

对B，，图象的一条对称轴方程为，故B正确；

对C，的最小值为，故C错误；

对D，由，得，则在上先增后减，故D错误．

故选：B．

变式3、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是

A．f(x)=|cos2x|     B．f(x)=|sin2x|    

C．f(x)=cos|x|      D．f(x)=sin|x|

【答案】A

【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；

因为，周期为，排除C；

作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；

作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，

故选A．

图1

图2

图3

题型四 根据三角函数的图像确定解析式

知识点拨：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

例4、【2020年新高考全国Ⅰ卷】下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

A．   B．  C．  D．

【答案】BC

【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC．

变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数，其中，，，，且的最小值为-2，的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，的图象过点.

（1）求函数的解析式和单调递增区间；

（2）若函数的最大值和最小值.

【答案】（1）；递增区间为：，；（2）最大值为2，最小值为-1..

【解析】（1）∵函数的最小值是-2，∴，

∵的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴，解得：

又∵的图象过点，

∴，﹐解得：，，

又∵，解得：.

可得：

因为，

∴，

所以的递增区间为：，.

（2）∵

∴，

∴

∴

所以的最大值为2，最小值为-1.

变式2、(2018苏州暑假测试）设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，－<φ<，x∈R的部分图像如图所示．

(1) 求函数y＝f(x)的解析式；

(2) 当x∈时，求f(x)的取值范围．

解析： (1) 由图像知，A＝2，(2分)

又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1.(4分)

所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点，2代入，得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，

又－<φ<，所以φ＝.(6分)

所以f(x)＝2sinx＋.(8分)

(2) 当x∈[－，]时，x＋∈[－，]，(10分)

所以sinx＋∈[－，1]，即f(x)∈[－，2]．(14分)

题型五 三角函数图像与性质的综合

知识点拨：涉及到三角函数的图像性质以及三角函数的值域解析式等问题；有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．

例5、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．函数为奇函数

B．函数在上单调递增

C．若，则的最小值为

D．函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象

【答案】AC

【解析】因为直线是的对称轴,

所以,则,

当时,,则,

对于选项A,,因为,所以为奇函数,故A正确；

对于选项B,,即,当时,在当单调递增,故B错误；

对于选项C,若,则最小为半个周期,即,故C正确；

对于选项D,函数的图象向右平移个单位长度,即,故D错误

故选：AC

变式1、（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,则函数具有性质(    )

A．在上单调递增,为偶函数 B．最大值为1,图象关于直线对称

C．在上单调递增,为奇函数 D．周期为,图象关于点对称

【答案】ABD

【解析】

则，单调递增，为偶函数， 正确错误；

最大值为，当时，为对称轴，正确；

，取，当时满足，图像关于点对称，正确；

故选：

变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数的一个零点，为图象的一条对称轴，且上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（    ）

A． B．

C．上有且仅有4个极大值点 D．上单调递增

【答案】CD

【解析】为图象的一条对称轴，为的一个零点，

，且，，

，，

在上有且仅有7个零点，

，即，

，

，又，所以，

令，解得，

当解得，因为，所以

故上有且仅有4个极大值点，

由得，，

即在上单调递增，

在上单调递增，

综上，错误，正确，

故选：．

变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．

【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

变式4、【2018年高考浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是

A．     B．

C．     D．

【答案】D

【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A，B；

因为时，，所以排除选项C，

故选D.