优化提升专题训练（新高考） 利用函数的图像探究函数的性质（含答案解析）学案

这是一份优化提升专题训练（新高考） 利用函数的图像探究函数的性质（含答案解析）学案，共12页。学案主要包含了知识框图，自主热身，归纳总结，问题探究，变式训练等内容，欢迎下载使用。

 利用函数的图像探究函数的性质
【知识框图】



【自主热身，归纳总结】
1、（2020·山东省东明县实验中学月考）已知函数. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是________;若有2个零点，则________．
【答案】 或
【解析】
由题意，函数有3个零点，转化为的根有3个，
转化为和的交点有3个，
画出函数的图象，如图所示，则直线与其有3个公共点，
又抛物线的顶点为，由图可知实数的取值范围是．
若有2个零点，则或．故答案为：；或．

2、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝若函数y＝f(x)－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】：. 　
【解析】先画出x≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x<0时的图像．令y＝0得f(x)＝m.令y＝f(x)，y＝m，由图像可得要有四个不同的零点，则m∈.


3、(2017苏锡常镇二模）已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】(1,2]　
解法1 问题转化为g(x)＝0，即方程f(x)＝2x有三个不同的解，即或解得或或因为方程f(x)＝2x有三个不同的解，所以解得1
解法2 由题意知函数g(x)＝画出函数y＝4－2x和y＝x2＋2x－3的图像，可知函数g(x)的三个零点为－3，1,2，因此可判断m在1与2之间．当m＝1时，图像不含点(1,0)，不合题意；当m＝2时，图像包含点(2,0)，符合题意．所以1 4、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
【答案】：. (1，＋∞)　
解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，因为f′(x)＝3x2－3m，令f′(x)＝0，则x2－m＝0，若m≤0，则函数f(x)为增函数，不合题意，故m>0，所以函数f(x)在(－∞，－)上为增函数，在(－，0]上为减函数，即f(x)max＝f(－)＝－m＋3m－2＝2m－2，f(0)＝－2<0，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f(x)max＝2m－2>0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)．
解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e－x－＝0，解得x＝ln2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f(x)＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即x3－3mx－2＝0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－(x<0)，则y′＝2x＋＝，当x∈(－∞，－1)时，y′<0，此时函数单调递减；当x∈(－1，0)时，y′>0，此时函数单调递增，故ymin＝3，因此，要使f(x)＝x3－3mx－2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m>3，即m>1.
5、（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是( )

A．函数是奇函数 B．对任意的，都有
C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增
【答案】BCD
【解析】由题意，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；
当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；
当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；
当，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，与的形状相同，因此函数在恰好为一个周期的图像；
所以函数的周期是；其图像如下：

A选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A错；
B选项，因为函数的周期为，所以，因此；故B正确；
C选项，由图像可得，该函数的值域为；故C正确；
D选项，因为该函数是以为周期的函数，因此函数在区间的图像与在区间图像形状相同，因此，单调递增；故D正确；
故选：BCD.
【问题探究，变式训练】
题型一、运用图像研究函数零点的个数及区间
知识点拨：运用函数的图像研究函数的零点问题的关键要正确做出函数的图像，观察图像交点的个数。由于答案依赖于图像因此，要正确规范的做出图像，该标的关键的点、线要标出，另外有时为了更好地作图也要多对函数进行调整，变成常见的函数。
例1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
，，
，由.
故选：C
变式1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为
【答案】：. 5　
【解析】：因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

本题考查了函数的零点问题，以及函数的奇偶性和周期性，考查了转化与化归、数形结合的思想，函数的零数问题，常转化为函数的图像的交点个数来处理，其中能根据函数的性质作出函数的图像并能灵活地运用图像，找到临界点是解题的关键也是难点．
变式2、（2017年江苏试卷） 设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(x)＝其中集合D＝，则方程f(x)－lgx＝0的解的个数是________．

【答案】： 8　
【解析】：首先f(x)∈[0,1)，所以方程f(x)＝lgx的解x0∈[1,10)．
由图像可知，在[9,10)上方程无解，方程在[1,9)上的整数解只有x＝1.再按x－k∈D和x－k∉D两种情况，讨论f(x)＝lgx在(k，k＋1)上的解，其中k＝1,2，…，8.
①若x－k∈D，且x∈(k，k＋1)，其中k＝1,2,3，…，8，设x－k＝，n∈N*且n≥2.则方程为＝lg，即10(n－1)2＝n2，这样的n不存在．
②若x－k∉D，且x∈(k，k＋1)，其中k＝1,2，…，8，则方程为x－k＝lgx.
记g(x)＝x－lgx－k，则g′(x)＝1－＞1－＞0，所以g(x)在(k，k＋1)上递增．
因为g(k)＝－lgk，g(k＋1)＝1－lg(k＋1)＞0，
所以在(1,2)内无解，当k＝2,3，…，8时，在x∈(k，k＋1)内各恰有一解，共有7解．
与①类似，可证这些解都是无理数，从而满足x－k∉D.
综上所述，方程共有8解．

变式3、（2014年江苏高考题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)．若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．

答案：7　
解析：作出函数f(x)的图像(如图)，则它与直线y＝1在[－2,4]上的交点的个数，即为函数y＝f(x)－1在[－2,4]的零点的个数，由图像观察知共有7个交点，从而函数y＝f(x)－1在[－2,4]上的零点有7个．

题型二 、根据函数的零点确定参数的范围
知识点拨：求解函数的零点问题的填空题，其基本策略是应用数形结合的方法来加以解决，在应用数形结合思想时，一般地会将函数的零点问题转化为两个函数的图像的交点问题来加以解决，此时，为了方便起见，转化后的两个函数，其中一个是不含参数的函数，另一个是含有参数的函数，即转化为“一静一动”两个函数，这样，通过研究“动”函数的图像与“静”函数的图像的相对位置关系就可以得到问题的解
例2、（2020·全国高三专题练习（文））函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令,画出与的图象,

平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故
故选：A
变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数的图象如下图所示，
作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，
而由得，当时，即（舍去）时，得直线，
当直线l：，过点时，得直线，此时，
所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，
故答案为：.

变式2、(2019镇江期末） 函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为________．
【答案】 ∪(1，＋∞)．
【解析】 作函数图像可得(如图所示)，直线y＝kx－k过定点(1,0)，当y＝kx－k过点时，直线的斜率最小即k＝－，当直线y＝kx－k与y＝x2－x(x>0)相切时有且仅有一个交点，交点即为切点(1,0)，k＝y′＝1，故函数f(x)与直线y＝kx－k至少有两个不同的交点时，k的取值范围为∪(1，＋∞)，即关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为∪(1，＋∞)．
解后反思 本题旨在考查将方程根的问题转化为函数图像交点问题从而运用函数与方程思想．

变式3、（2020·浙江月考）已知函数（其中是自然对数的底数），则___________；若与的图象有两个不同的公共点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】；
与的图象有两个不同的公共点，即函数与的图象有两个不同的公共点，当时，单调递减；
当时，，即在上单调递减，在上单调递增；
画出示意图，由图可知当时，与的图象有两个不同的公共点，

题型三、运用函数图像解决多元问题
知识点拨：解决多元问题的最值问题主要思想就是把多元问题转化为单元问题，要通过函数的图像找到各个参数的关系，但要注意参数的范围。
例3、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先作图象，由图象可得
因此为，
从而，选A.

变式1、(2018苏锡常镇调研） 已知函数若存在实数，满足，则的最大值是 ．
【答案】
思路点拨：根据函数解析式，可以结合函数的图象得出，，的关系，利用消元思想将问题转化为一元函数问题，进而利用导数知识解决.
解题过程：作函数的图象如下：

根据题意，结合图象可得，，且
所以
令，
则，易得在上递增，又因为，，根据零点存在性定理可得存在唯一，使得，从而函数的减区间是，增区间是，
又因为，，则
所以在上的最大值是．

解后反思：本题以分段函数为背景，考查了导数知识在解决函数综合问题中的应用，以及数形结合，化归与转化等重要数学思想.
变式2、(2017常州期末）已知函数，若存在实数、、、，满足 ，其中，则的取值范围是 .
【答案】
思路点拨：由存在实数、、、，满足得，存在一条平行于轴的直线与函数的图象有四个不同的交点，从而得到之间所存在的关系，利用这一关系来求得的取值范围。
解析：如图，由图形可知，，则，，，，，因为，所以，由得或，由于，且二次函数的图象的对称轴为，故且，故
变式3、（2015南京、淮安三模） 已知函数若存在，当时，，则的取值范围为 ．
【答案】
解析： 因为时，，画出函数的图象，易知，
则此时，所以，令，解得，当取得最大值，时取得最小值3，
所以的取值范围是．
题型四、复合函数的零点问题
知识点拨： 本题考查复合函数的零点问题，处理f(g(x))＝0解的个数问题，往往通过换元令t＝g(x)，f(t)＝0，研究t的解的个数，再讨论每一个解对应的g(x)＝t的解x的个数，常用数形结合的方法来处理．研究高次的方程、不等式通常首先考虑的是能否进行降次，转化为低次的方程、不等式；其次，在研究方程、不等式问题时，要充分注意它与函数的关系，即充分利用它所对应的函数的图像的直观性来研究问题，这往往可以起到化难为易，化繁为简的作用．
例4、(2019宿迁期末）已知函数f(x)＝ 如果函数g(x)＝f(x)－k(x－3)恰有2个不同的零点，那么实数k的取值范围是________.
【答案】 (－1，0)∪　
函数g(x)＝f(x)－k(x－3)恰有2个不同的零点，表示函数y＝f(x)，y＝k(x－3)的图像有2个交点，所以关键是画出函数y＝f(x)的图像，将函数y＝f(x)在区间[1，2)上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长2倍，就得到了y＝f(x)在区间[2，4)上的图像，将函数y＝f(x)在区间[2，4)上的图像每一点的横坐标和纵坐标都伸长2倍，就得到了y＝f(x)在区间[4，8)上的图像，依次类推，然后考察两函数图像有两个交点时直线的斜率．
函数g(x)＝f(x)－k(x－3)恰有2个不同的零点，表示函数y＝f(x)，y＝k(x－3)的图像有2个交点．画出y＝f(x)和y＝k(x－3)的图像，可以看出．当k>0时，当且仅当点(16，8)在直线y＝k(x－3)的上方且点(32，16)在直线y＝k(x－3)的下方(或在其上)时，两图像有两个公共点，可求出≤k<；当k<0时，当且仅当点(2，1)在直线y＝k(x－3)的上方时，两图像有两个公共点，可求出－1
这个函数题型是2015年，2016年的热点，又出现在今年的复习迎考中，难点在于y＝f(x)第二段图像的寻找和画出，其实是图像的平移与变换的应用，注意观察其特征，即可轻易得出后一段图像均为前一段图像的模．纵坐标伸长到原来2倍所得．本题为填空题，也可直接用具体的数去算，发现规律，然后再画出示意图，最后是利用数形结合寻找到符合题意的临界位置，最后进行求解最终的答案．
变式1、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝t∈R.若函数g(x)＝f(f (x)－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为________．
【答案】[－4，0)　
本题是“复合函数零点”问题，常见思路是借助函数图像，由求外函数零点切入，进而再分析内函数零点个数．当x<0时，有f′(x)＝－3x2＋6x＝3x(2－x)，故函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，则函数f(x)在区间(－∞，0)上至多一个零点，进而分类讨论即可．
当x<0时，有f′(x)＝－3x2＋6x＝3x(2－x)，故函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，此时f(0)＝t.当t≥0时，令f(x)＝0得，x＝0，从而当g(x)＝f(f(x)－1)＝0时，f(x)＝1，借助图像1知，此时至多两个零点，不符合题意；当t<0时，令f(x)＝0得，x＝0，或x＝m(m<0)，且－m3＋3m2＋t＝0，从而当g(x)＝f(f(x)－1)＝0时，f(x)－1＝0或f(x)－1＝m，即f(x)＝1或f(x)＝1＋m，借助图像2知，欲使得函数g(x)恰有4个不同的零点，则m＋1≥0，从而－1≤m<0，又因为t(m)＝m3－3m2，而t′(m)＝3m2－6m>0，故t(m)在区间[－1，0)上单调递增，从而t∈[－4，0)．
,图1)　,图2)

变式2、(2018南通、泰州一调）已知函数f(x)＝g(x)＝x2＋1－2a.若函数y＝f(g(x))有4个零点，则实数a的取值范围是________．
【答案】　
换元g(x)＝t，f(t)＝0，由g(x)＝x2＋1－2a＝t得x2＝t－(1－2a)，因为函数有四个零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且t1>1－2a，t2>1－2a，因为方程f(t)＝0的一个解为t＝－1，故按照1－2a与－1的大小关系，分三种情况讨论得出a的取值范围．
设g(x)＝t，因为函数y＝f(g(x))有四个不同的零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且由g(x)＝x2＋1－2a＝t，得x2＝t－(1－2a)，故t1>1－2a，t2>1－2a.
当t<0时，由ln(－t)＝0得t＝－1.
若1－2a＝－1，则a＝1，易得函数f(g(x))有五个不同的零点，舍去．
若1－2a<－1，则a>1，所以f(0)<0，所以方程f(t)＝0有且仅有一个正根，符合题意．
若1－2a>－1，则a<1，所以方程f(t)＝0必有两个正根，且t1>1－2a，t2>1－2a.
因为t>0时，f(t)＝t2－2at－a＋1，
所以a>0，Δ＝4a2－4(－a＋1)>0，f(0)>0，
f(1－2a)＝(1－2a)2－2a(1－2a)－a＋1>0，
解得 综上可知，1，即{a|1}．