多维层次练33- 等差数列及其前n项和学案

多维层次练33  等差数列及其前n项和

[巩固提升练]

1.已知数列，，2，，…，则2是这个数列中的（　　）

A.第6项   B.第7项

C.第19项   D.第11项

解析：设，，，，…构成的数列为{an}，易归纳出数列{an}的一个通项公式为an＝.令2＝＝，解得n＝7，所以2是这个数列的第7项，故选B.

答案：B

2.定义函数f（x）如下表，数列{an}满足an＋1＝f（an），n∈N*.若a1＝2，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝（　　）

A.7 043   B.7 059 

C.7 064   D.7 263

解析：因为a1＝2，且对任意n∈N*，都有an＋1＝f（an），所以a2＝f（a1）＝f（2）＝5，a3＝f（a2）＝f（5）＝1，a4＝f（a3）＝f（1）＝3，a5＝f（a4）＝f（3）＝4，a5＝f（a4）＝f（4）＝6，a7＝f（a6）＝f（6）＝2，可知数列{an}为2，5，1，3，4，6，2，5，1，…，数列{an}是周期为6的数列，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝21，故a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝336×（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6）＋a1＋a2＋a3＝7 056＋2＋5＋1＝7 064.故选C.

答案：C

3.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 019＝（　　）

A.－1   B.0 

C.1   D.2

解析：因为an＋1＝，所以an＋1＝1－，因为a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，所以a2 019＝a673×3＝a3＝－1.

答案：A

4.已知数列{an}的通项公式为an＝，若a1×a2×…×an≤a1×a2×…×ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为（　　）

A.5   B.6 

C.7   D.8

解析：因为an＝，所以当n≤5时，an>1；当n≥6时，an<1.由题意知，a1×a2×…×ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.故选A.

答案：A

5.已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋Sn＋1＝an＋1，则此数列是（　　）

A.递增数列   B.递减数列

C.常数列   D.摆动数列

解析：因为Sn＋Sn＋1＝an＋1，所以当n≥2时，Sn－1＋Sn＝an，两式相减得an＋an＋1＝an＋1－an，所以an＝0（n≥2）.当n＝1时，a1＋（a1＋a2）＝a2，所以a1＝0，所以an＝0（n∈N*）.故选C.

答案：C

6.设函数f（x）＝数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　）

A.   B.

C.（1，3）   D.（2，3）

解析：因为数列{an}是递增数列，an＝f（n），n∈N*，

所以解得2<a<3.故选D.

答案：D

7.已知数列{an}满足a4n－3＝1，a4n－1＝3，a2n＝an（n∈N*），则a2 018＋a2 019＝　　　　.

解析：由题意得a2 018＝a1 009＝a4×253－3＝1，a2 019＝a4×505－1＝3，所以a2 018＋a2 019＝1＋3＝4.

答案：4

8.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则它的通项公式为an＝　　　　.

解析：因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3（an＋1），即＝3，所以＝3，＝3，＝3，…，＝3，由这些等式相乘得＝3n.因为a1＝1，所以＝3n，即an＋1＝2×3n－1，所以an＝2×3n－1－1（n≥2），又a1＝1也满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1－1.

答案：2×3n－1－1

9.已知数列{an}中，an＝1＋（n∈N*，a∈R且a≠0）.

（1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；

（2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.

解：（1）若a＝－7，则an＝1＋＝1＋（n∈N*）.

结合函数f（x）＝1＋的单调性，

可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1（n∈N*）.

所以数列{an}中的最大项为a5，a5＝1＋＝2，最小项为a4，a4＝1＋＝0.

（2）an＝1＋＝1＋，已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，结合函数f（x）＝1＋的单调性，可知5<<6，解得－10<a<－8，故a的取值范围是（－10，－8）.

10.已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

（1）若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

（2）对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围.

解：（1）由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.

因为n∈N*，所以n＝2，3，

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.

因为an＝n2－5n＋4＝－，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

（2）由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，

所以－<，解得k>－3.

所以实数k的取值范围为（－3，＋∞）.

[综合应用练]

11.设曲线f（x）＝xn＋1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2 020等于（　　）

A.   B. 

C.   D.

解析：由f（x）＝xn＋1得f′（x）＝（n＋1）xn，切线方程为y－1＝（n＋1）（x－1），令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2 019＝××…×＝.

答案：D

12.（2020·安徽江淮十校第三次联考）已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为（　　）

A.4   B.4－1

C.8   D.9

解析：由an＋1－an＝2n知：a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2（n－1）.n≥2，

以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，

当n＝1时，a1＝20符合上式，

所以＝n＋－1，n∈N*，

所以n≤4时单调递减，n≥5时单调递增，

因为＝，所以的最小值为＝＝8，故选C.

答案：C

13.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的（如图），其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，记OA1，OA2，OA3，…，OA8的长度构成的数列为{an}（n∈N*，n≤8），则{an}的通项公式an＝　　　　（n∈N*，n≤8）.

解析：根据题意：OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，所以a＝a＋1（n≥2）且a＝1，所以{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a＝n，an＝.

答案：

14.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则a2＝　　，通项公式an＝　　　　.

解析：由已知，a2＝a1＋＝3＋＝.

因为an＋1－an＝＝－，

所以a2－a1＝1－，

a3－a2＝－，

…

an－an－1＝－，

所以以上（n－1）个式子累加可得，an－a1＝1－，

因为a1＝3，所以an＝4－.

答案：　4－

15.设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式.

解：（1）令n＝1，T1＝2S1－1，

因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.

（2）n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－（n－1）2，

则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－（n－1）2]＝2（Sn－Sn－1）－2n＋1＝2an－2n＋1.

因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，

所以Sn＝2an－2n＋1（n∈N*），

当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2（n－1）＋1，

两式相减得an＝2an－2an－1－2，

所以an＝2an－1＋2（n≥2），

所以an＋2＝2（an－1＋2），

因为a1＋2＝3≠0，

所以数列{an＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列.

所以an＋2＝3×2n－1，

所以an＝3×2n－1－2，

当n＝1时也成立，

所以an＝3×2n－1－2.

[拔高创新练]

16.大衍数列来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，其前10项为0、2、4、8、12、18、24、32、40、50，通项公式an＝如果把这个数列{an}排成如图所示的形状，并记A（m，n）表示第m行中从左向右第n个数，那么A（10，4）的值为　　　　.

解析：由题意可知，前9行共有1＋3＋…＋17＝＝81项，

所以A（10，4）为数列的第85项，所以A（10，4）的值为＝3 612.

答案：3 612