北师大版 (2019)必修 第二册3.2 向量的数乘与向量共线的关系课文内容课件ppt

3．2　向量的数乘与向量共线的关系

[教材要点]

要点一　共线(平行)向量基本定理

给定一个非零向量b，则对于任意向量a，a∥b的充要条件是存在唯一一个实数λ，使________．

　向量共线定理的理解注意点及主要应用

(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.

(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.

要点二　直线的向量表示

通常可以用＝t表示过点A，B的直线l，其中称为直线l的________向量．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若a∥b，则存在λ∈R，使得b＝λa.(　　)

(2)若＝3，则与共线．(　　)

(3)一个点A和一个非零向量可以唯一确定过点A与向量平行的直线l.(　　)

(4)若点P是AB的中点，点O为直线AB外一点，则＝(＋)．(　　)

2．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是(　　)

A．平行四边形  B．菱形

C．梯形  D．矩形

3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A，B，D  B．A，B，C

C．B，C，D  D．A，C，D

4．下列向量中，a，b一定共线的有________．(填序号)

①a＝2e，b＝－2e；

②a＝e1－e2；b＝－2e1＋2e2；

③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；

④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.

题型一　向量共线的判定——自主完成

判断下列各小题中的向量a，b是否共线(其中e1，e2是两个不共线向量)．

(1)a＝5e1，b＝－10e1；

(2)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；

(3)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.

　向量共线的判定一般是用其判定定理，即是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得＝λ，则向量与非零向量共线．解题过程中，需要把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，由此判断共线．

题型二　证明三点共线——师生共研

例1　已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．

变式探究1　将本例中条件改为“a，b是不共线的两非零向量，＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b”，证明A、B、C三点共线．

方法归纳

三点共线的证明问题及求解思路

1．证明三点共线，通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据．

2．若A，B，C三点共线，则向量，，在同一直线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．

跟踪训练1　已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　)

A．A，B，C三点共线  B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线  D．B，C，D三点共线

题型三　由三点共线求参数的值——师生共研

例2　(1)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)

A.  B.

C．－  D．－

(2)已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2与e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

变式探究2　将本例(2)中的条件改为“若a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同”，问当实数t为何值时a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一直线上？

方法归纳

利用向量共线求参数，一种类型是利用向量加法、减法及数乘运算表示出相关向量，从而求得参数，另一种类型是利用三点共线建立方程求解参数．

跟踪训练2　如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)

A.  B.

C.  D.

易错辨析　忽视向量共线的方向出错

例3　设两向量e1，e2不共线，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，求实数t的值．

解析：∵向量2te1＋7e2与向量e1＋te2共线，

∴存在实数λ，使得2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，

即2t＝λ，且7＝λt，解得t＝±.

故所求实数t的值为±.

易错警示

3．2　向量的数乘与向量共线的关系

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

a＝λb

要点二

方向

[基础自测]

1．(1)×　(2)√　(3)√　(4)√

2．解析：因为＝－，所以AB∥CD，且AB＝CD，所以四边形ABCD为梯形．故选C.

答案：C

3．解析：＋＋＝a＋2b＋(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝＝3.所以A，B，D三点共线．

答案：A

4．解析：①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4(e1－e2)＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb，故①②③中a与b共线．

答案：①②③

题型探究·课堂解透

题型一

解析：(1)∵b＝－2a，∴a与b共线．

(2)∵a＝b，∴a与b共线．

(3)设a＝λb，则e1＋e2＝λ(3e1－3e2)，

∴(1－3λ)e1＝－(1＋3λ)e2.

∵e1与e2是两个不共线向量，∴

这样的λ不存在，因此a与b不共线．

题型二

例1　解析：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，

∴＝－＝e1－4e2.

又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，

∴＝2，∴∥.

∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．

变式探究1　证明：∵＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，

而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2(a＋2b)＝－2

∴与共线，且有公共点，

∴A，B，C三点共线．

跟踪训练1　解析：∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，且与有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.

答案：B

题型三

例2　解析：(1)方法一　由＝2得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝.

方法二　因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.

(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，

∴存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.

由于e1与e2不共线

∴∴k＝±1.

答案：(1)A　(2)见解析

变式探究2　解析：由题意知，存在唯一实数λ，使a－tb＝λ，

整理得a＝b，

∵a与b不共线，∴∴

故当t＝时，三向量的终点共线．

跟踪训练2　解析：由题意可得＝5，则＝m＋×5＝m＋.因为B，N，P三点共线，所以m＋＝1，即m＝.

答案：D