026应用万有引力定律估算天体质量和密度 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题学案

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一.必备知识 1．万有引力定律 F＝G，式中G为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。测定G值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。（1）．万有引力的特点普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用（2）应用万有引力定律的注意事项在以下三种情况下可以直接使用公式F＝G计算：①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r表示两质点间的距离。②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的r为两个球心间的距离。③一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力：r指质点到球心的距离。(3)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可依据F＝G得出r→0时F→∞的结论，违背公式的物理含义。(4)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. 2．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向．地面上物体的重力随纬度的升高而变大。在南北两极和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球两极处重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一条直线上。(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.(2)在两极上：G＝mg0.(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. （3）重力与高度的关系由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G。若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度)，可得g′＝＝g，所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。.所以＝. 3.天体质量、密度的计算    使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算　利用运行天体r、TG＝mrM＝只能得到中心天体的质量r、vG＝mM＝v、TG＝mG＝mrM＝利用天体表面重力加速度g、Rmg＝M＝ 密度的计算利用运行天体r、T、RG＝mrM＝ρ·πR3ρ＝当r＝R时ρ＝利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝M＝ρ·πR3ρ＝  4. 估算天体质量、密度时的注意事项与易错点：(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。(3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。  二.经典例题精讲例1：(2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案　D解析　根据G＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据G＝m及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G＝mr可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。 例2.(2021全国乙卷18，6分) 科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
 A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T0=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是 地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知解得太阳的质量为同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知解得黑洞的质量为     综上可得     故选B。 三.举一反三，巩固练习1．(重力加速度的理解)火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为(　　)A．0.2g  B．0.4g  C．2.5g  D．5g答案　B解析　在星球表面近似有mg＝G，设火星表面的重力加速度为g火，则＝·2＝0.4，故B正确。 2．(重力加速度与高度的关系)地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为(　　)A．(－1)R   B．RC.R   D．2R答案　A解析　万有引力近似等于重力，设地球的质量为M，物体质量为m，该处距地面的高度为h，分别列式G＝mg，G＝m·，联立得2R2＝(R＋h)2，解得h＝(－1)R，A正确。 3．(万有引力定律的应用)如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　利用填补法来分析此题。原来物体间的万有引力为F，挖去的半径为的球体的质量为原来球体的质量的，其他条件不变，所以挖去的球体对质点P的万有引力为，故剩余部分对质点P的万有引力为F－＝，C正确。4．(万有引力定律的应用)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设地球是一个半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(可视为质点，假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则下列选项中的四个F随x的变化关系图正确的是(　　)答案　A解析　由题意，物体在地球内部距离球心x(x<R)的位置时，外面球壳对其引力为0，内部以x为半径的球体对物体的引力为F＝G＝G＝πGρmx，F∝x，图像为过原点的倾斜直线；当x≥R时，地球对物体的引力为F＝G＝G，F∝，图像为随x增大而减小的曲线，故A正确。 5．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　)A.   B.  C.   D. 答案　A解析　对在该星体表面附近绕其做圆周运动的卫星有G＝mR，对该星体有V＝πR3，ρ＝，联立可得，在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期T＝，A正确。 6．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)A．0.2  B.0.4 C.2.0  D.2.5答案　B解析　设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝G，在地球表面有F地＝G，由题意知＝，＝。联立以上各式可得＝·2＝×＝0.4，故B正确。 7．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍。已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为(　　)A.   B. C.   D. 答案　D解析　设地球质量为M，在地球表面处，对质量为m的物体有G＝mg。设“嫦娥四号”的质量为m1，根据万有引力提供向心力得G＝m1，解得v＝，故D正确。 8．(2020·江苏高考)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　)A．由v＝可知，甲的速度是乙的  倍B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍答案　CD解析　卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则F＝G＝m＝mω2r＝mr＝ma。因为在不同半径的轨道处g值不同，故不能由v＝得出甲、乙的速度关系，卫星的线速度v＝ ，可得＝ ＝，故A错误；因为在不同半径的轨道上卫星的角速度不同，故不能由a＝ω2r得出两卫星的加速度关系，卫星的加速度a＝，可得＝＝，故B错误；卫星所受的向心力F＝G，两颗人造卫星质量相等，可得＝＝，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，由开普勒第三定律＝k，可得＝ ＝2，故D正确。 9．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是(　　)答案　D解析　由万有引力公式F＝G可知，探测器与地球表面距离h越大，F越小，排除B、C；而F与h不是一次函数关系，排除A。故选D。 10．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a­x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则(　　)A．M与N的密度相等B．Q的质量是P的3倍C．Q下落过程中的最大动能是P的4倍D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍答案　AC解析　如图，当x＝0时，对P：mPgM＝mP·3a0，即星球M表面的重力加速度gM＝3a0；对Q：mQgN＝mQa0，即星球N表面的重力加速度gN＝a0。当P、Q的加速度a＝0时，对P有：mPgM＝kx0，则mP＝，对Q有：mQgN＝k·2x0，则mQ＝，即mQ＝6mP，B错误；根据mg＝G得，星球质量M＝，则星球的密度ρ＝＝，所以M、N的密度之比＝·＝×＝1，A正确；当P、Q的加速度为零时，P、Q的动能最大，系统的机械能守恒，对P有：mPgMx0＝Ep弹＋EkP，即EkP＝3mPa0x0－Ep弹，对Q有：mQgN·2x0＝4Ep弹＋EkQ，即EkQ＝2mQa0x0－4Ep弹＝12mPa0x0－4Ep弹＝4×(3mPa0x0－Ep弹)＝4EkP，C正确；P、Q在弹簧压缩到最短时，其位置与初位置关于加速度a＝0时的位置对称，故P下落过程中弹簧的最大压缩量为2x0，Q为4x0，D错误。 11．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)A．5×109 kg/m3  B.5×1012 kg/m3C．5×1015 kg/m3  D.5×1018 kg/m3答案　C解析　设脉冲星质量为M，密度为ρ，半径为R，星体表面一物块质量为m，根据天体运动规律知：≥m2R，ρ＝＝，代入可得：ρ≥≈5×1015 kg/m3，故C正确。 12． 2019年3月10日我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功将“中星6C”卫星发射升空，卫星进入预定轨道，它是一颗用于广播和通信的地球静止轨道通信卫星，假设该卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动．已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G.下列说法正确的是(　　)A．同步卫星运动的周期为2πB．同步卫星运行的线速度大小为C．同步轨道处的重力加速度大小为()2gD．地球的平均密度为答案　C解析　地球同步卫星在距地面高度为h的同步轨道做圆周运动，万有引力提供向心力，有：＝m，在地球表面附近，重力等于万有引力，有：mg＝，故同步卫星运动的周期为：T＝2π，故A错误；根据万有引力提供向心力，有：＝m，解得同步卫星运行的线速度大小为：v＝，故B错误；根据万有引力提供向心力，有：G＝mg′，解得g′＝()2g，故C正确；由mg＝得：M＝，故地球的平均密度为：ρ＝＝，故D错误． 13. 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为R、球心为O′的球体，且O、O′与质点m位于同一直线上，如图所示，则剩余部分对m的万有引力F为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　质量为M的球体对质点m的万有引力F1＝G＝G，挖去的球体的质量M′＝M＝，质量为M′的球体对质点m的万有引力F2＝G＝G，则剩余部分对质点m的万有引力F＝F1－F2＝G－G＝，故A正确。(注意这种解题方式：填补法。只有把挖去的小球补上才成为质量均匀的球体。)