课时过关检测（四十八） 椭圆及简单几何性质

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1．已知椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于( )
A．5 B．6
C．9D．10
解析：选C 由椭圆eq \f(x2,11－m)＋eq \f(y2,m－3)＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得eq \r(m－3－11＋m)＝2，解得m＝9.故选C．
2．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3)，则eq \f(a,b)＝( )
A．eq \f(9,8) B．eq \f(3\r(2),2)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(3\r(2),4)
解析：选D ∵e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \f(1,3)，∴8a2＝9b2，
∴eq \f(a,b)＝eq \f(3 \r(2),4).故选D.
3．(2021·东北三校第一次联考)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cs∠F1AF2＝eq \f(7,8)，则椭圆的离心率e＝( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),2)
C．eq \f(1,4)D．eq \f(\r(7),4)
解析：选C 由题意可知|AF1|＝|AF2|＝a，|F1F2|＝2c，又cs∠F1AF2＝eq \f(7,8)，则在△AF1F2中，由余弦定理得4c2＝a2＋a2－2a2cs∠F1AF2，化简得4c2＝eq \f(1,4)a2，则e2＝eq \f(1,16)，所以e＝eq \f(1,4)，故选C．
4．已知椭圆G的中心为坐标原点O，点F，B分别为椭圆G的右焦点和短轴端点．点O到直线BF的距离为eq \r(3)，过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，则椭圆G的方程是( )
A．eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1B．eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,2)＝1
C．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1D．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,4)＝1
解析：选C 设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知设BF的方程为eq \f(x,c)＋eq \f(y,b)＝1，因为点O到直线BF的距离为eq \r(3).所以eq \f(bc,a)＝eq \r(3)，又因为过F垂直于椭圆长轴的弦长为2，所以eq \f(2b2,a)＝2，结合a2＝b2＋c2，知a＝4，b＝2，故选C．
5．(多选)(2021·山东淄博高三模拟)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为eq \f(\r(6),3)，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是( )
A．椭圆C的方程为eq \f(y2,3)＋x2＝1
B．椭圆C的方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1
C．|PQ|＝eq \f(2\r(3),3)
D．△PF2Q的周长为4eq \r(3)
解析：选ACD 由已知得，2b＝2，b＝1，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),3)，
又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.
∴椭圆方程为x2＋eq \f(y2,3)＝1，如图．
∴|PQ|＝eq \f(2b2,a)＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，△PF2Q的周长为4a＝4eq \r(3).故选A、C、D.
6.(多选)(2021·山东青岛模拟)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则( )
A．a－c＝m＋RB．a＋c＝n＋R
C．2a＝m＋nD．b＝eq \r(m＋Rn＋R)
解析：选ABD 由题意可知a－c－R＝m，a＋c－R＝n，可得a－c＝m＋R，所以A正确；a＋c＝R＋n，所以B正确；可得a＝eq \f(m＋n,2)＋R，c＝eq \f(n－m,2)，可知2a＝m＋n＋2R，所以C错；由b2＝a2－c2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)＋R))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n－m,2)))2＝(m＋R)(n＋R)．则b＝eq \r(m＋Rn＋R)，所以D正确．故选A、B、D.
7．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．
解析：因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(3,0)，所以c＝3.又b＝4，所以a＝eq \r(b2＋c2)＝5.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的左顶点为(－5,0)．
答案：(－5,0)
8.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为________．
解析：设圆柱的底面圆的直径为R，则椭圆的短轴长为R.
∵截面与底面成45°角，∴椭圆的长轴长为eq \r(2)R，
∴椭圆的半焦距为 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)R))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(R,2)))2)＝eq \f(R,2)，
则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(R,2),\f(\r(2),2)R)＝eq \f(\r(2),2).
答案：eq \f(\r(2),2)
9．已知点A(0,2)及椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________．
解析：设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2，－1≤y0≤1，∴|PA|2＝xeq \\al(2,0)＋(y0－2)2.∵eq \f(x\\al(2,0),4)＋yeq \\al(2,0)＝1，∴|PA|2＝4(1－yeq \\al(2,0))＋(y0－2)2＝－3yeq \\al(2,0)－4y0＋8＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(2,3)))2＋eq \f(28,3).∵－1≤y0≤1，而－1＜－eq \f(2,3)＜1，∴当y0＝－eq \f(2,3)时，|PA|eq \\al(2,max)＝eq \f(28,3)，即|PA|max＝eq \f(2\r(21),3).
答案：eq \f(2\r(21),3)
10．(2021·昆明市三诊一模)已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，O为坐标原点，B，C两点在M上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝45°，则椭圆M的离心率为________．
解析：由题意，知A(－a,0)．因为四边形OABC为平行四边形，所以OA∥BC，且|OA|＝|BC|＝a.又∠OAB＝45°，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，±\f(a,2)))，代入椭圆方程，得eq \f(1,4)＋eq \f(a2,4b2)＝1，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(\r(6),3).
答案：eq \f(\r(6),3)
11．设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为eq \f(3,4)，求C的离心率；
(2)若直线MN在y轴上的截矩为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
解：(1)根据题设知Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，eq \f(\f(b2,a),2c)＝eq \f(3,4)，2b2＝3ac.
将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(c,a)＝－2(舍去)，故C的离心率为eq \f(1,2).
(2)由题意，原点O为F1F2的中点．MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点．
故eq \f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2.))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝－\f(3,2)c，,y1＝－1.))
代入C的方程，得eq \f(9c2,4a2)＋eq \f(1,b2)＝1.②
将①及c＝eq \r(a2－b2)代入②得eq \f(9a2－4a,4a2)＋eq \f(1,4a)＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28.故a＝7，b＝2eq \r(7).
12．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝eq \f(4,3)|AB|.
(1)求C1的离心率；
(2)设M是C1与C2的公共点．若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．
解：(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，
其中c＝eq \r(a2－b2).
不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为eq \f(b2,a)，－eq \f(b2,a)；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝eq \f(2b2,a)，|CD|＝4c.
由|CD|＝eq \f(4,3)|AB|得4c＝eq \f(8b2,3a)，即3×eq \f(c,a)＝2－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)))2.解得eq \f(c,a)＝－2(舍去)，eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
所以C1的离心率为eq \f(1,2).
(2)由(1)知a＝2c，b＝eq \r(3)c，故C1：eq \f(x2,4c2)＋eq \f(y2,3c2)＝1.
设M(x0，y0)，则eq \f(x\\al(2,0),4c2)＋eq \f(y\\al(2,0),3c2)＝1，yeq \\al(2,0)＝4cx0，故eq \f(x\\al(2,0),4c2)＋eq \f(4x0,3c)＝1.①
由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得eq \f(5－c2,4c2)＋eq \f(45－c,3c)＝1，
即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c＝3.
所以C1的标准方程为eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1，
C2的标准方程为y2＝12x.
B级——综合应用
13.(多选)(2021·山东潍坊模拟)如图，两个椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列四个选项正确的为( )
A．P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值
B．曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称
C．曲线C所围区域面积必小于36
D．曲线C总长度不大于6π
解析：选BC 易知F1(－4,0)，F2(4,0)分别为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的两个焦点，E1(0，－4)，E2(0,4)分别为椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1的两个焦点．若点P仅在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上，则P到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故A错误；两个椭圆关于直线y＝x，y＝－x均对称，则曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称，故B正确；曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故C正确；曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长6π，故D错误．故选B、C．
14．(2021·湖南长沙一模)设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，点E(0，t)(0＜t＜b)．已知动点P在椭圆上，且P，E，F2三点不共线，若△PEF2的周长的最小值为3b，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(\r(3),2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(\r(5),3)
解析：选D 如图，连接EF1，F1P，易知|EF1|＝|EF2|，△PEF2的周长为|PE|＋|PF2|＋|EF2|＝|PE|＋2a－|PF1|＋|EF2|＝2a＋|EF2|＋|PE|－|PF1|≥2a＋|EF2|－|EF1|＝2a＝3b，
所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝ eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3)，故选D.
15．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程．
解：(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)))，代入椭圆方程可得eq \f(1,4)＋eq \f(a2,4b2)＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝eq \f(\r(6),3).
(2)由(1)得椭圆E的方程为eq \f(x2,3b2)＋eq \f(y2,b2)＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1－1，,x2＋3y2＝3b2))⇒(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝eq \f(6kk＋1,3k2＋1)，x1x2＝eq \f(3k＋12－3b2,3k2＋1).
又x1＋x2＝2，∴k＝eq \f(1,3)，∴x1x2＝eq \f(16－9b2,4)，
则|AB|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \f(\r(10),3) eq \r(4－4·\f(16－9b2,4))＝2eq \r(5)，
∴b2＝eq \f(10,3)，则a2＝10，
∴椭圆E的标准方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,\f(10,3))＝1.
C级——迁移创新
16．(多选)(2021·山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a,2c，下列结论正确的是( )
A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
解析：选ABD 根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知其速度更慢，B正确；eq \f(a－c,a＋c)＝eq \f(1－e,1＋e)＝eq \f(2,1＋e)－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．故选A、B、D.