多维层次练32- 数列的概念与简单表示学案

多维层次练32  数列的概念与简单表示

[巩固提升练]

1．(2020·安阳模拟)已知复数z＝，则z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

解析：z＝＝＝＝－＋i，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选B.

答案：B

2．(2020·东莞期末)已知复数z满足z·(1＋i)＝2(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．2   B． 

C．－1－i   D．1－i

解析：由z·(1＋i)＝2，得z＝＝＝1－i，

所以|z|＝.故选B.

答案：B

3．(2020·泉州联考)若复数(1＋i)(a＋i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，1)   B．[－1，＋∞)

C．[1，＋∞)   D．(－∞，－1)

解析：因为复数(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i在复平面内对应的点在第三象限，所以即a<－1.所以实数a的取值范围是(－∞，－1)．故选D.

答案：D

4．(2019·北京卷)已知复数z＝2＋i，则z·＝(　　)

A．   B． 

C．3   D．5

解析：法一　因为z＝2＋i，所以＝2－i，

所以z·＝(2＋i)(2－i)＝5.

法二　因为z＝2＋i，所以z·＝|z|2＝5.

答案：D

5．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－3，1)   B．(－1，3)

C．(1，＋∞)   D．(－∞，－3)

解析：由已知可得⇒⇒－3<m<1.

答案：A

6．(多选题)(2021·广东省适应性考试)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　　)

A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3

B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3

C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|

D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2

解析：由复数的形式知选项A显然不正确．

当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3.故选项B正确；

当2＝z3时，则z2＝3，

|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)( 12)－(z1z3)( 13)＝z1z212－z1z313＝0，故选项C正确；

当z1z2＝|z1|2时，则z1z2＝|z1|2＝1z1⇒z1z2－z1z1＝z1(z2－1)＝0，

所以1＝z2，故选项D不正确．

答案：BC

7．复数|1＋i|＋＝________．

解析：原式＝＋＝＋＝＋i－＝i.

答案：i

8．设z2＝z1－i1(其中1表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是－1，则z2的虚部为________．

解析：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，

所以1＝a－bi，z2＝z1－i1＝a＋bi－i(a－bi)＝a＋bi－ai－b＝a－b＋(b－a)i，因为z2的实部是－1，

所以a－b＝－1，所以z2的虚部为b－a＝1.

答案：1

9．已知复数z＝bi(b∈R)，是实数，i是虚数单位．

(1)求复数z；

(2)若复数(m＋z)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．

解：(1)因为z＝bi(b∈R)，

所以＝＝＝＝＋i.

又因为是实数，所以＝0，

所以b＝－2，即z＝－2i.

(2)因为z＝－2i，m∈R，

所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2＝(m2－4)－4mi，

又因为复数(m＋z)2在复平面内对应的点在第一象限，

所以解得m<－2，即m∈(－∞，－2)．

[综合应用练]

10．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝(　　)

A．1   B．0 

C．1＋i   D．1－i

解析：z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，

则有a2－1＝0，a＋1≠0，得a＝1，

则有＝＝＝1－i.

答案：D

11．(多选题)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)

A．复数z＝的虚部为

B．复数z＝的共轭复数＝－5－2i

C．复数z＝－i在复平面内对应的点位于第二象限

D．复数z满足∈R，则z∈R

解析：对于选项A，z＝＝＝－＋i，其虚部为，故A正确；对于选项B，z＝＝(2＋5i)i＝－5＋2i，故＝－5－2i，故B正确；对于选项C，z＝－i，在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限，故C不正确；对于选项D，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝，又∈R，得b＝0，所以z＝a∈R，故D正确．

答案：ABD

12．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________．

解析：因为实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，所以其共轭复数1－i也是方程的根．

由根与系数的关系知

所以b＝－2，c＝3.

答案：－2　3

13．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．

解析：因为|z－2|＝＝，

所以(x－2)2＋y2＝3.

由图可知＝＝.

答案：

14．已知集合M＝{1，m，3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1，3}，若M∩N＝{3}，求实数m的值．

解：因为M∩N＝{3}，所以3∈M且－1∉M，

所以m≠－1，3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，

所以m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，

解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．

综上，m＝3或m＝6.