新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测33《数列的概念与简单表示》(含解析)

课时跟踪检测（三十三）  数列的概念与简单表示

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)，则a4的值为(　　)

A．31　　　　　　　　　 B．30

C．15  D．63

解析：选C　由题意，得a2＝2a1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝7，a4＝2a3＋1＝15，故选C.

2．已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 019＝(　　)

A．－1  B．

C．1  D．2

解析：选A　由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 018＝a3×672＋3＝a3＝－1.

3．数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为(　　)

A．an＝n2  B．an＝(－1)n·n2

C．an＝(－1)n＋1·n2  D．an＝(－1)n·(n＋1)2

解析：选B　易知数列－1,4，－9,16，－25，…的一个通项公式为an＝(－1)n·n2，故选B.

4．在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.若a6＝64，则a9等于(　　)

A．256  B．510

C．512  D．1 024

解析：选C　在各项均为正数的数列{an}中，对任意m，n∈N*，都有am＋n＝am·an.所以a6＝a3·a3＝64，a3＝8.所以a9＝a6·a3＝64×8＝512.

5．设数列{an}的通项公式为an＝n2－bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为(　　)

A．(－∞，－1]  B．(－∞，2]

C．(－∞，3)  D．

解析：选C　因为数列{an}是单调递增数列，

所以an＋1－an＝2n＋1－b>0(n∈N*)，

所以b<2n＋1(n∈N*)，

所以b<(2n＋1)min＝3，即b<3.

[B级　保分题——准做快做达标]

1．(2019·福建四校联考)若数列的前4项分别是，－，，－，则此数列的一个通项公式为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A　由于数列的前4项分别是，－，，－，可得奇数项为正数，偶数项为负数，第n项的绝对值等于，故此数列的一个通项公式为.故选A.

2．(2019·沈阳模拟)已知数列{an}中a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则an＝(　　)

A．2n－1  B．n－1

C．n  D．n2

解析：选C　由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，即＝，∴为常数列，即＝＝1，故an＝n.故选C.

3．(2019·北京西城区模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，则a3＝(　　)

A．－1  B．－2

C．－4  D．－8

解析：选D　∵数列{an}的前n项和Sn＝2－2n＋1，∴a3＝S3－S2＝(2－24)－(2－23)＝－8.故选D.

4．(2019·桂林四地六校联考)数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的第100项是(　　)

A．10  B．12

C．13  D．14

解析：选D　1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)，由n(n＋1)≤100，得n的最大值为13，易知最后一个13是已知数列的第91项，又已知数列中14共有14项，所以第100项应为14.故选D.

5．(2019·兖州质检)已知数列{an}满足an＝若对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1,4)  B．(2,5)

C．(1,6)  D．(4,6)

解析：选A　因为对任意的n∈N*都有an<an＋1成立，所以数列{an}是递增数列，因此解得1<a<4，故选A.

6．(2019·湖北八校联考)已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，将数列{an}中的整数项按原来的顺序组成新数列{bn}，则b2 019的末位数字为(　　)

A．8  B．2

C．3  D．7

解析：选D　由an＝(n∈N*)，可得此数列为，，，，，，，，，，，，，…，{an}中的整数项为，，，，，，…，∴数列{bn}的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，….∵2 019＝4×504＋3，故b2 019的末位数字为7.故选D.

7．(2018·长沙调研)已知数列{an}，则“an＋1>an－1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　由题意，若“数列{an}为递增数列”，则an＋1>an>an－1，但an＋1>an－1不能推出an＋1>an，如an＝1，an＋1＝1，{an}为常数列，则不能推出“数列{an}为递增数列”，所以“an＋1>an－1”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B.

8．(2019·长春模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an等于(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，从而···…·＝··…·，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.

9．(2019·兰州诊断)已知数列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，当n≥2时，有bn＝bn－1＋an－1，则b501＝________.

解析：由bn＝bn－1＋an－1得bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，所以b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，又b1＝0，所以bn＝，所以b501＝.

答案：

10．(2019·河南八市重点高中测评)已知数列{an}满足an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝，则数列{an}的通项公式an＝________.

解析：∵an≠0,2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，∴两边同除以an·an＋1，得－＝－＋1，整理，得－＝1，即是以3为首项，1为公差的等差数列，∴＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝.

答案：

11．(2019·宝鸡质检)若数列{an}是正项数列，且＋＋＋…＋＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝________.

解析：由题意得当n≥2时，＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，∴an＝4n2.又n＝1，＝2，∴a1＝4，∴＝4n，∴a1＋＋…＋＝n(4＋4n)＝2n2＋2n.

答案：2n2＋2n

12．(2019·深圳期中)在数列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________.

解析：由a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)知，当n≥2时，a1＋＋＋…＋＝an－1，∴＝an－an－1，即an＝an－1，∴an＝…＝2a1＝2，∴an＝.

答案：

13．(2019·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3.

(1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式；

(2)证明：＝4.

解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1.

(2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4.

14．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4.

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

解：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.

因为n∈N*，所以n＝2,3，

所以数列中有两项是负数，即为a2，a3.

因为an＝n2－5n＋4＝2－，

由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.

(2)由an＋1>an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，解得k>－3.

所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．

15．(2019·武汉调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}中，bn＝，且其前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)判断数列{cn}的增减性．

解：(1)∵a1＝S1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，

∴bn＝

(2)由题意得cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1

＝＋＋…＋，

∴cn＋1－cn＝＋－＝－＝<0，

∴cn＋1<cn，∴数列{cn}为递减数列.