第27讲-平面向量的概念及线性运算（解析版）学案

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第27讲-平面向量的概念及线性运算
一、 考情分析
1.了解向量的实际背景；
2.理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；
3.理解向量的几何表示和基本要素；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
二、 知识梳理
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或模)
如a，
零向量
长度等于零的向量；其方向不确定
记作0
单位向量
给定一个非零向量a，与a同向且模为1的向量，叫做向量a的单位向量，可记作a0
a0＝
共线(平
行)向量
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行
向量a与b
平行记作
a∥b
相等向量
同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量
如＝a
相反向量
与向量a反向且等长的向量，叫做a的相反向量
记作－a
2.向量的线性运算
向量运算
定　义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
[微点提醒]
1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地， 一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
三、 经典例题
考点一　平面向量的概念
【例1-1】 （2020·全国高二）如图所示，在正ΔABC中，D,E,F均为所在边的中点，则以下向量和ED相等的是（ ）

A．EF B．BE C．FB D．FC
【答案】D
【解析】∵EF,BE,FB与向量ED，方向不同，
∴EF,BE,FB与向量ED不相等，
而向量FC与ED方向相同，长度相等，
∴FC=ED，故选D.
【例1-2】 （2020·山西省高三其他（理））平面向量，共线的充要条件是（ ）
A．
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．∃λ∈R，
D．存在不全为零的实数λ1，λ2，
【答案】D
【解析】A：成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是非零两个向量共线时，它们的夹角可以为平角，故本选项是错误的；
B：两个非零向量也可以共线，故本选项是错误的；
C：只有当不是零向量时才成立，故本选项是错误的；
D：当平面向量，共线时，存在一个λ，使得成立，因此存在不全为零的实数λ1，λ2，；
当存在不全为零的实数λ1，λ2，成立时，若实数λ1，λ2不都为零时，
则有成立，显然，共线，若其中实数λ1，λ2有一个为零时，不妨设
，则有，所以平面向量，共线，所以本选项是正确的.
【例1-3】 （2020·北京市第五十中学高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则∥ D．若，则与不是共线向量
【答案】C
【解析】解：选项中，向量不能比较大小，只有模可以比较大小，所以错误；
选项中，因为向量有方向，因而模的大小相等不能说明向量相等，所以错误；
选项中，两个向量相等，说明两向量方向相同，因此是平行向量，所以正确；
选项中，当两个向量为相反向量时，两个向量不相等，但可以是共线向量，所以错误.
【例1-4】 （2020·广州市天河外国语学校高三月考（理））已知为非零向量，“”为“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若成立,则,则向量与的方向相同,且,从而,所以；
若,则向量与的方向相同,且,从而,所以.
所以“”为“”的充分必要条件.
【例1-5】 （2020·四川省越西中学高一月考）下列说法中错误的是（　　）
A．零向量与任一向量平行 B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0 D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】B
【解析】零向量的定义：零向量与任一向量平行，与任意向量共线.零向量的方向不确定，但模的大小确定为0,故A与C都是对的；
设方向相反的两个非零向量为和，满足 ，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B错；
对于D，因为向量相等的定义是：长度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D对.

规律方法　对于向量的有关概念应注意以下几点：
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递性.
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比较大小.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混为一谈.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
考点二　平面向量的线性运算　
【例2－1】（2020·海南省高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

【例2－2】（2020·上海高三专题练习）已知菱形的边长为2，，点分别在边上，,.若，则等于(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故选C．
【例2－3】（2020·广东省高三二模（文））已知A，B，C三点不共线，且点O满足则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，整理得．
【例2－4】（2020·河南省高三其他（理））设，分别为等差数列，的前n项和，且.设点A是直线外一点，点P是直线上一点，且，则实数的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，分别为等差数列，的前n项和，且，
不妨取，，
当时，，
当时，，
验证得当时上式成立，综上数列的通项公式为，
同理可得，数列的通项公式为，
则，
又由点P在直线上，设，，即，.
【例2－5】（2020·河北省衡水中学高三二模（文））已知四边形ABCD为平行四边形，，，M为CD中点，，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】



.

规律方法　1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.

考点三　共线向量定理及其应用
【例3-1】 （2020·江西省临川一中高三其他（文））在中，，为上一点，若，则实数的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，则，
，
由于为上一点，则，
设，则，
所以，解得.
【例3-2】 （2020·湖南省高三三模（文））已知向量，是两个不共线的向量，且，，，若，，三点共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】由三点共线，
得，
故
解得．
【例3-2】 （2020·山西省高三其他（理））在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：

，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：B.
【例3-4】 （2020·山东省高三一模）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）

A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】连接AO，由O为BC中点可得，
，
、、三点共线，
，
.
故选：C.

【例3-4】 （2020·四川省高三三模（理））在中，，，，为边上的高，为的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
是边上的高，，
在中，，解得，
，，
，
为中点，
，
，
，
，，
.

规律方法　1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.

[方法技巧]
1.向量线性运算的三要素
向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.三个常用结论
(1)O为△ABC的重心的充要条件是＋＋＝0；
(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2；
(3)对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
注意向量共线与三点共线的区别.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
4.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.

四、 课时作业
1．（2020·三亚华侨学校高三开学考试）下列各量中是向量的是（ ）
A．时间 B．速度 C．面积 D．长度
【答案】B
【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；
时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．
而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．
2．（2020·全国高二）如果，是两个单位向量，则与一定（ ）
A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等
【答案】D
【解析】因为，是两个单位向量；
所以其模长相等，方向不定；
3．（2020·陕西省高三期末）已知、是平面向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．零向量与任何非零向量都不共线
【答案】C
【解析】对于A，向量方向不相同则向量不相等，选项A错误；
对于B．向量不能比较大小，选项B错误；
对于C，若，则，，选项C正确；
对于D，零向量与任一向量共线，选项D错误.
4．（2020·衡水市第十四中学高三月考）下列说法错误的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
【答案】D
【解析】A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
5．（2020·全国高二）在中，点D，E分别为边，的中点，则如图所示的向量中，相等向量有（ ）

A．一组 B．二组 C．三组 D．四组
【答案】A
【解析】由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即.
6．（2020·浙江省高三期中）有下列说法：
①若两个向量不相等，则它们一定不共线；
②若四边形是平行四边形，则；
③若，，则；
④若，则且．
其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；
对于②，若四边形是平行四边形，则，故②不正确；
对于③，当时，与可以不共线，故③不正确；
对于④，“若，则且或与在一条直线上”，故④不正确.
7．（2020·上海高二课时练习）下列命题中，正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【解析】若，但是两个向量的方向未必相同,所以不一定成立,A不正确;
若，则两向量的方向相同,模长相等,则,B正确;
向量不能比较大小,C不正确;
若，则,D,不正确.
8．（2020·三亚华侨学校高三月考）下列向量的运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
9．（2020·江苏省高三期中）如图，已知向量，那么下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据向量加法的三角形法则，向量首尾顺次相连，所以根据图形可知，与向量反向且相等，所以.故选择B.
10．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三二模（理））在中，是上一点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是上一点，且，

则．
11．（2020·衡水市第十四中学高三月考）已知向量不共线，且，，则一定共线的三点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，∴三点共线.
12．（2020·浙江省高三期末）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，故选：B．
13．（2020·全国高二）如图，在中，是边延长线上一点，，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题得.
14．（2020·高密市教育科学研究院高三其他）已知两个力,作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力,（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据力的合成可知,
因为物体保持静止即合力为,
则,
即
15．（2020·四川省泸县五中高三二模（理））在中，D在边上，且，E为的中点，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析∵，
∴，
∵为的中点，
∴，故选：D．
16．（2020·甘肃省高三其他（文））在中，点在线段上，且，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，
因为为的中点，所以，
故.
17．（2020·江苏省响水中学高三月考）在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得

，
所以，故选A.
18．（2020·江苏省高二月考）在等边三角形中，是线段的中点，，垂足为，为上一点，，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为为等边三角形，是线段的中点，，垂足为，
所以，
因为，所以，
所以



,故选：B
19．（2020·衡水市第十四中学高三月考）已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为边中点，
∴，
∵，
∴，
即.
20．（2020·黑龙江省哈师大附中高三三模（文））已知M为的边的中点，N为内一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以∥，又因为 M为边的中点，
所以点到的距离等于点到的距离，
所以,

21．（2020·周口市中英文学校高三期中）设是两个不共线的向量，若向量（）与向量共线，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为向量（）与向量共线，
所以存在实数，使得，
所以有，因此，解得.
22．（2020·吉林省高三期末（理））在中，，，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
如图，结合题意可绘出，
因为，，
所以，，，，
因为点为线段的中点，所以，
故

，故选：A.
23．（2020·全国高二）在中，，，若点D满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，
故有.
24．（2020·浙江省绍兴一中高二期中）设平面向量满足，，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】由，令，设，
，，
因为，
所以，
表示点到点和的距离和等于，而，
所以点在线段上，
表示点到点和点的距离和，设点关于的对称点为，则点的坐标为，
由图可知到点和点的距离和的最小为的长，
因为，
所以的最小值为，
故选：C

25．（2020·浙江省高三月考）已知平面向量，，，满足，且，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】
由，
可得与夹角为，且与，成等角，均为，
设，，，
由，
得，
则，

，
当时，
的最大值为.
26．（2020·广东省金山中学高三三模（理））点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点是所在平面上一点，又，
所以,即,即，
则点在线段上，且,
又，,
又，即，
所以点在线段上，且,
.

27．（多选题）（2020·山东省潍坊一中高三期中）有下列说法，其中错误的说法为（ ）．
A．若∥，∥，则∥
B．若，则是三角形的垂心
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若∥，则存在唯一实数使得
【答案】AD
【解析】对于选项A，当时，与不一定共线，故A错误；
对于选项B，由，得，所以，，
同理，，故是三角形的垂心，所以B正确；
对于选项C，两个非零向量，，若，则与共线且反向，故C正确；
对于选项D，当，时，显然有∥，但此时不存在，故D错误.
28．（多选题）（2020·全国高三课时练习）下列能使成立的是（ ）
A． B． C．与方向相反 D．或
【答案】ACD
【解析】对于A，若，则与大小相等且方向相同，所以；对于B，若，则与的大小相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若与方向相反，则有；对于D，零向量与任意向量平行，所以若或，则.
29．（多选题）（2019·全国高三课时练习）若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】如图，

在中，，故A正确；
，故B正确；
，，故C正确；
，故D不正确．
30．（多选题）（2019·辽宁省高三期末）有下列说法，其中错误的说法为
A．若////，则//
B．若，，分别表示，的面积，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．若//，则存在唯一实数使得
【答案】AD
【解析】A. 若////，则//，如果，都是非零向量，，显然满足已知条件，但是结论不一定成立，所以该选项是错误的；
B. 如图，D,E分别是AC,BC的中点，

，
所以则,所以该选项是正确的；
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向，所以该选项是正确的；
D. 若//，如果是非零向量，，则不存在实数使得，所以该选项是错误的.
31．（2020·全国高三课时练习）如图所示，四边形ABCD和BCED都是平行四边形,

（1）写出与相等的向量：
（2）写出与共线的向量：
【解析】（1）与相等的向量有：；
（2）与共线的向量有：
32．（2020·山东省安丘市实验中学高三期中）设两个非零向量与不共线，

（1）若，，，求证：三点共线；
（2）试确定实数，使和同向.
【解析】（1）证明：因为，，，
所以.
所以共线，
又因为它们有公共点，
所以三点共线.
（2）因为与同向，
所以存在实数，使，
即.
所以.
因为是不共线的两个非零向量，
所以
解得或
又因为，
所以.
33．（2020·全国高三课时练习）已知点是平行四边形内一点，且＝ ，＝ ，＝ ，试用表示向量、、、及．

【解析】∵四边形为平行四边形．
∴＝＝；
＝－＝；
＝－＝ ；
＝－＝ ；
＝＋＝ ．
34．（2020·上海高三专题练习）平面上有个向量，其中至少有两个向量不共线，且任意个向量的和都与剩下的一个向量平行，求证：这个向量的和是零向量．
【解析】证明：不妨设与不平行．
由题意，有①且②．
①②左右两边分别加上，，得．
∵与不平行，
∴，即．代入①式即有