北师大版4 探索三角形相似的条件导学案

这是一份北师大版4 探索三角形相似的条件导学案，共43页。
相似三角形的判定






知识点




一、 相似三角形的判定
一、 平行定理：
1．定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
常见题模型如下：

2．方法点播：前三种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要做辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系．
二、 判定定理：
1．判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）
常见题模型如下：

2．判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，三角形相似．（如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似）
3．判定定理3：三条边对应成比例，两三角形相似．（如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似）
4．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
5．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）
6. 如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．
核心考点





前言2





例题精讲




一、 单选题
1、（2014初三上期末顺义区）如图，D是△ABC的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定与△DBA相似的是（ ）
B
 
D
C

A


A．
B．
C．
D．

【答案】
C

【解析】
该题考查相似三角形的判定．
已知是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
由图可得：
∴当或或
即时，△ABC∽△DBA；
C选项中∠B不是成比例的两边的夹角，故选C．

2、（2013初三上期中大兴区）下列叙述正确的是（ ）
A．所有的直角三角形都相似
B．所有的等腰三角形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似
D．所有的矩形都相似

【答案】
C

【解析】
该题考查的是相似形的判定．
三角形相似主要有三个判定：AA、SAS、SSS．
所有的直角三角形，其中只有一个直角相等，故A错，
所有的等腰三角形，形状不相同，故B错，
所有的等腰直角三角形，内角都是45°，45°，90°，可用AA判定相似，故C对，
矩形的相似要求长宽比相等，故D错，
故答案选C．

3、如图，在△ABC中，D是边AC上一点，连结BD，给出下列条件：
①；②；③；④．
其中单独能够判定△ABD∽△ACB的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

【答案】
C

【解析】
①∵，，
∴△ABD∽△ACB；
②∵
∴，
∵，∴△ABD∽△ACB；
③过点B作BE⊥AC，垂足为点E，过点D作DF⊥AB，垂足为点F．
在Rt△AEB和Rt△AFD中，∵，
∴，即．
又∵
∴，于是．
∴Rt△BDF∽Rt△CBE．
∴．∴△ABD∽△ACB．
④∵，
∴，无法得出△ABD∽△ACB；

4、下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是（ ）
A
B
C
D

A．A图
B．B图
C．C图
D．D图

【答案】
B

【解析】
该题考查的是相似三角形的判定．
两三角形相似，当且仅当对应边长成比例．若记小方块边长为1，那么右图中三边长分别为
、、，而B图中，三边长分别为2、4、．由知，本题选
B．

5、如图所示，中，，于D，若，，则DC的长度是（ ）
B
D
A
C

A．
B．
C．
D．

【答案】
C

【解析】
该题考查的是相似三角形判定与性质．
∵△ABC中，，，，
∴，
∵，
∴，
而为公共角，
∴Rt△CAD∽Rt△CBA，
∴，即，
∴．
所以该题的答案是C．

6、如图，在边长为9的正方形ABCD中，F为AB上一点，连接CF，过点F作，交AD于点E，若，则AE等于
A
B
F
E
D
C

A．1
B．1.5
C．2
D．2.5

【答案】
C

【解析】
该题考查的是相似三角形性质．
∵正方形中
∴，，
∴，
∴，
∴，
已知，，
∴，
∴，
∴．
所以本题的答案是C．

7、如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（ ）

A．8对
B．6对
C．4对
D．2对

【答案】
B

【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，
∴△GAB∽△BCF，
还有△ABC≌△CDA（是特殊相似），
∴共有6对．

二、 填空题
8、如图，点D，E分别在的边AB，AC上，且，若，，，则AE的长为_______
A
B
C
F
D


【答案】
4

【解析】
该题考查的是相似三角形的性质．
∵、
∴△AED∽△ABC，那么，从而．
故本题的答案是4．

9、等边的边长为3，P为BC上一点，且，D为AC上一点，若，则CD的长为_______
A
B
C
D
P



【答案】


【解析】
该题考查的是共线三等角相似．
由于、，且，
那么，再由知△APB∽△PDC，所以，
所以．

10、如图，已知中，，，过直角顶点C作，垂足为，再过作，垂足为，过作，垂足为，再过作，垂足为，…，这样一直做下去，得到了一组线段，，，…，则_____，_____。（其中n为正整数）
B
C
A






【答案】
；

【解析】
该题考查的是相似三角形
在Rt△ABC 中，AC=6 ，BC=8 ，由勾股定理得AB=10，
∵ ，∠ACB=
∴ ，∴，解得，
由平行线的性质， ，
∴，
∴

11、如图，AB是的直径，弦，F是弦BC的中点，．若动点E以的速度从A点出发沿着方向运动，设运动时间为t（秒），连结EF，当t值为________秒时，是直角三角形．
A
B
C
E
F
O


【答案】
1或或或3

【解析】
该题考查的是几何中的运动问题．
在⊙O中，AB是⊙O的直径，由圆的性质可得到，
∵弦cm，F是弦BC的中点，，
∴cm，，
当△BEF为直角三角形时，包含两种情况，
当时，E点到达O点，此时，
此时E点走的路程可能为AE，也可能为,即，
则或，
当时，在△FEB中，，
此时E点走的路程可能为AE，也可能为，
则，
故该题答案为1或1.75或2.25或3．

三、 解答题
12、（2014初三上期末顺义区）如图，在中，，，于．证：△ABD∽△CDE．
A


【答案】
见解析

【解析】
该题考查相似三角形的判定．
证明：在△ABC中，，，
∴，…………………………………………………………………2分
∵，
∴，…………………………………………………… 3分
又∵，……………………………………………………………… 4分
∴△ABD∽△CBE．………………………………………………………… 5分

13、（2012初三上期末朝阳区）如图，□ABCD中，点E在BA的延长线上，连接CE，与AD相交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求AF的长．


【答案】
（1）见解析（2）

【解析】
该题考查的是相似三角形的判定和性质；平行四边形的性质．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD．
∴△EAF∽△EBC ，△EAF∽△CDF． ……………………………………………2分
∴△EBC∽△CDF． …………………………………………………………………3分
（2）∵△EAF∽△EBC，
∴，即．
解得． …………………………………………………………………………5分

14、如图，梯形ABCD中，，，E为BC上一点，且。若，，，求AB的长。
A
B
C
D
E


【答案】


【解析】
该题考查的是三角形相似的性质．
∵AB//DC，，
∴，
∵，
∴，
∴△BAE∽△CED，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．

15、已知:如图（1），等边中，D是AB边上的动点(点D与点B不重合)，以CD
为一边，向上作等边，连结AE．
（1）求证：；
（2）将（1）中等边的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作改成相似于如图（2）．请问：是否仍有？证明你的结论．
A
E
B
C
D
D
B
C
A
E
图1
图2


【答案】
见解析

【解析】
该题考查的是全等三角形和相似三角形的证明．
（1）证明：∵△ABC和△EDC均为等边三角形，
∴，， 1分
∴ 2分
∴△BCD≌△ACE． 3分
∴
∴AE∥BC． 4分
（2）仍有AE∥BC． 5分
证明：∵△ABC和△EDC均为等腰三角形，且△EDC∽△ABC，
∴，．
∴．
∴△BCD∽△ACE． 6分
∴．
∴AE∥BC． 7分

16、已知：如图，在中，点D是BC中点，点E是AC中点，且，，BE，AD相交于点G，过点B作BF//AC交AD的延长线于点F，．
（1）求AE的长；
（2）求的值．
A
E
B
F
C
G
D


【答案】
（1）（2）

【解析】
该题考查的是三角形性质．
（1）∵点是中点，点是中点，，，
∴。
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
（2）由（1）知，，，，
∴，
∴，
∵//，
∴，
∴．

17、如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，的平分线交AB于E，交⊙O于D．求弦AD，CD的长及的值．
A
B
C
D
O
E


【答案】
；；

【解析】
本题综合考查圆内的角度关系及相似三角形的判定和性质．
解：连结
是直径，．
在中，（cm）．------------1分
平分，
，．-----------------------------------------------2分
在中，
（cm）．----------------------------------3分




A
B
C
D
O
E
M

方法一(见上图)
过作于
在中，-----------4分
在中 ，------5分
∴（cm） -----------------------------------------------6分
∵ ，
∴∽
∴
∴
∴
∴ ------------------------------------------------7分
方法二
过作于，于，是垂足，则四边形是正方形．
设，由三角形的面积公式，得，
即，解得．
． -------------------------------------------------------4分
，得，即，




A
B
C
D
O
E
F
G

解得，，
∴． ------------------------------------------------------------------5分
∴（cm）．------------------6分
-------------------------------------------7分

18、如图，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分线，E是AC上的一点，且，，．
（1）求证：△BCD∽△DCE；
（2）求证：△ADE∽△ACD；
（3）求CE的长．


【答案】
（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】
（1）证明：CD是△ABC中∠ACB的角平分线，
∴．
∵，∴，
∴△BCD∽△DCE（两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似）；
（2）证明：∵△BCD∽△DCE，
∴（相似三角形的对应角相等）．
∵（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
，
∴．又，
∴△ADE∽△ACD（两个角对应相等的两个三角形相似）；
（3）解：∵△ADE∽△ACD，
∴，∴，解得，
∴．

19、如图在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在边BC上．若cm， cm，
（1），求矩形PQMN的周长；
（2）当PN为多少时矩形PQMN的面积最大，最大值为多少？


【答案】
（1）矩形PQMN的周长为14.4cm；（2）当时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12．

【解析】
（1）由题意得；，
∴
又∵，cm，cm，
∴，∴，则，
∴矩形PQMN的周长为14.4cm；
（2）∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，，，
∴△PAN∽△ABC，
∵AD是高，
∴，
∴四边形PQDE是矩形，，
∴，，
设，矩形PQMN的面积为S，
则，，
∴，，∴
∴当时，S的最大值为12．
∴当时，矩形PQMN的面积最大，最大面积是12．

20、如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点G在AC边上，点F在AB边上，cm，cm，四边形PQGF是正方形．
（1）△AFG与△ABC相似的吗？为什么？
（2）的值．


【答案】
（1）△AFG∽△ABC．理由见解析；（2）．

【解析】
（1）△AFG∽△ABC．
理由：∵四边形PQGF是正方形，
∴FG∥PQ，即FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC；
（2）∵四边形PQGF是正方形，
∴设cm，FG∥PQ，
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，AD⊥FG，
∴四边形EFPD是矩形，
∴cm，
∴（cm），
∵△AFG∽△ABC，
∴，即，
解得：，即cm，
∴．

21、如图，在△ABC中，已知，，且∠B=∠DEF（足够大）与△ABC重叠在一起，即∠B与∠DEF重合，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与点B，C重合），且DE始终经过点A，EF与AC交于点M．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）当BE为何值时，？
（3）当BE为何值时，？


【答案】
（1）见解析；（2）当时，；（3）当时，．

【解析】
（1）证明：∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∵，∴△ABE∽△ECM；
（2）解：当时，．理由如下：
∵，，∴，
在△ABE和△ECM中

∴△ABE≌△ECM，
∴；
（3）解：当时，，
理由是：∵，，
∴，
∵，，∴，
∵，∴△CAE∽△CBA，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．


随堂练习




1、（2014初三上期中大兴区）如图，已知在与中，，，，，求证：．


【答案】
见解析

【解析】
该题考查的是相似三角形的判定．
证明：由三角形的内角和定理得，，同理，
与三个内角对应相等，
，，，
∴．

2、(2012初三上期末大兴区)已知：如图，将正方形ABCD纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处(点P与C、D不重合)，点B落在点Q处，折痕为EF，PQ与BC交于点G．
求证：△PCG∽△EDP.


【答案】
见解析

【解析】
该题考查的是四边形的性质．
∵ABCD是正方形
∴
∴
由折叠知，

∴
∴
∴△GCP∽△EDP

3、已知：如图，E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且，．求证：．

2
1
A
B
C
D
E


【答案】
见解析

【解析】
该题考查的是相似三角形的证明．
∵
∴ 1分
∵，
∴． 3分
∴△ABC∽△AED 4分
∴ 5分

4、如图所示，如果分别在上，且．
求证：．


【答案】
见解析

【解析】
∵
∴
∴，
∴
∴
∴
∴

5、（2012初三上期末燕山区）已知正方形内接于（如图所示），若的面积为，，求该正方形的边长．


【答案】


【解析】
该题考查的是相似三角形综合．

作于F，交MQ于E．
∵，
∴ ……………………………1分
设
∵
∴ …………………2分
∴ ……………………3分
又∵，
∴
∴ ……………………………………4分
解得．
答：正方形的边长是．

6、（2012四川凉山中考）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于F．

（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．

【答案】
（1）见解析（2）

【解析】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；

（2）∵△ABE∽△DEF，
∴=，
∵AB=6，AD=12，AE=8，
∴BE=AB2+AE2=10，DE=AD-AE=12-8=4，
∴=，
解得：EF=．

课后作业




1、（2012初三上期末门头沟）已知如图，在中，，过点作于点，点为上一点，过点作的垂线，交的延长线于点，与交于点．求证：
A
E
C
B
D
F
G


【答案】
见解析

【解析】
该题考查的是相似三角形
证明：∵=，，
∴= ………………………………．1分
∵
∴ ………………………………．2分
∴
∴……………………………………．．3分
∴ …………………………………．4分

2、如图，等腰△MBC中，，点A、P分别在MB、BC、上，作．PE交CM于E．
（1）求证：；
（2）若，，，，求△ABP的面积．


【答案】
（1）见解析；（2）△ABP的面积为：或．

【解析】
（1）证明：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴△APB∽△PEC，∴；
（2）∵△APB∽△PEC，∴，
设，则，
∵，，，
∴，整理得：，解得：或4，
∵，，
∴△MBC是等边三角形，
∵当，∴△ABP是等边三角形，
∴，
当，则△ABP的高为：，
∴，
综上所述：△ABP的面积为：或．

3、如图1，在中，，，，将绕顶点C顺时针旋转，得到．联结、，设和的面积分别为和。
（1）直接写出_____；
（2）如图2，当旋转角为时，与的比值是否发生变化，若不变请证明；若改变，写出变化后的比值（可用含的代数式表示）．
C
A

B
C
A

B

B

30
图1
图2


【答案】
（1）（2）

【解析】
该题考查的是图形的旋转和相似三角形的性质．
（1） 相似性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
∴ ； ……………………………2分
（2）与的比值不变；
∵△ABC绕点C顺时针旋转角得到△
∴， …………………………………3分
，，
∴， ……………………………………………4分
∴△∽△， ………………………………………………5分
∴…………………………6分

4、已知：如图，中，，，D为BC边上一点，．
（1）求证：；
（2）若DE∥AB交AC于点E，请再写出另一个与相似的三角形，并直接写出DE的长．
A
B
C
D


【答案】
（1）见解析（2）；

【解析】
该题考查的是相似三角形．
（1）∵，且
∴△ABD∽△CBA 2分
（2）△CDE∽△ABD 4分
5分

5、如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？


【答案】
（1）直线AB的解析式为；（2）当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；（3）当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为个平方单位．

【解析】
（1）设直线AB的解析式为，
由题意，得，解得
所以，直线AB的解析式为
（2）由，得，
所以，，
①当时，△APQ∽△AOB．
所以，解得（秒），
②当时，△AQP∽△AOB．
所以，解得（秒）；
∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；
（3）过点Q作QE垂直AO于点E．
在Rt△AOB中，，
在Rt△AEQ中，，
，
解得（秒）或（秒）．
∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为个平方单位


6、（2011四川资阳中考）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．

（1）若点F与B重合，求CE的长；
（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长；
（3）设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数关系式（直接写出结果可）．

【答案】
（1）3（2）5（3）见解析

【解析】

（1）∵F与B重合，且EF⊥DE，
∴DE⊥BC，（1分）
∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠A=∠B=90°，
∴四边形ABED为矩形，（2分）
∴BE=AD=9，
∴CE=12-9=3．（3分）

（2）作DH⊥BC于H，
则DH=AB=7，CH=3．
设AF=CE=x，
∵F在线段AB上，
∴点E在线段BH上，CH=3，CE=x，
∴HE=x-3，BF=7-x，（4分）
∵∠BEF+90°+∠HED=180°，∠HDE+90°+∠HED=180°，
∴∠BEF=∠HDE，
又∵∠B=∠DHE=90°，
∴△BEF∽△HDE，（6分）
∴=，
∴=，
整理得x2-22x+85=0，
（x-5）（x-17）=0，
∴x=5或17，
经检验，它们都是原方程的解，但x=17不合题意，舍去．
∴x=CE=5．（7分）
（3）作DH⊥BC于H，
∵AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，CE=x，BF=y，
∴则HE=x-3，BF=y，
当3≤x≤12时，
易证△BEF∽△HDE，
∴=，
∴y=-x2+x-，
当0≤x＜3，
易证△BEF∽△HDE，
则HE=3-x，BF=y，
∴=，
∴y=x2-x+，
∴y=．