数学1.2 怎样判定三角形相似授课课件ppt

这是一份数学1.2 怎样判定三角形相似授课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了活动1，活动2，探究定理，知识梳理，重难点突破，导入问题合作探究，举反例探究，两三角形是否相似，变式训练1，有几种填法等内容，欢迎下载使用。

1.相似多边形的概念：两个边数相同的多边形，如果它们所有的角分别相等、所有的边成比例，那么这两个多边形相似。
2.相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。
3.成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a：b=c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段。
阅读教材，联想相似多边形，得出相似三角形的概念
回顾与思考：回忆什么是相似多边形？想一想什么是相似三角形？ 相似比为1的两个三角形有怎样的关系？
归纳：如图，在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， 即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A′B′C′相似，相似比为k。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”。相似比为1的两个三角形全等。
问题探究一：什么是相似三角形？
（1）判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等，三条边成比例；（2）相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形。（3）对应性：表示两三角形相似时，要注意对应性，即要把对应顶点写在对应位置上。（4）顺序性：求两相似三角形的相似比，要注意顺序性。若当△ABC∽△A′B′C′时， 则△A′B′C′∽△ABC， (5)相似三角形具有传递性：即若△ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″；
例题讲解，相似三角形定义的应用
解：对应边分别是：AB与DE，BC与EF，AC与DF对应角分别是：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F∵AB∶DE＝6∶9＝2∶3，∴相似比为2∶3。
例：如图，△ABC∽△DEF，其中AB＝6，DE＝9，指出对应边、对应角，并求出相似比。
点拨：用“∽”表示两个图形相似时，表示对应顶点的字母应该写在对应的位置上。
问题探究二：什么是平行线分线段成比例定理？
问题：如图，任意画两条直线m、n，再画三条与m、n都相交的平行线l1、l2、l3，分别度量l1、l2、l3在m上截得的两条线段AB，BC和在n上截得的两条线段DE，EF的长度， 相等吗？任意平移l3， 还相等吗？
探究：如图，小方格的边长都是1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线mn于A1，A2，A3，B1，B2，B3
问题2：将l2向下平移到如图的位置，直线mn与l2的交点分别为A2，B2，问题1中的结论还成立吗？计算试一试。
探究：如图，小方格的边长都是1，直线l1∥l2∥l3，分别交直线mn于A1，A2，A3，B1，B2，B3
问题3：还可以得到哪些对应线段的比值相等？
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
说明：（1）一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；（2）所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；（3）当上比下的值为1时，说明这组平行线间的距离相等。
例题讲解，平行线分线段成比例性质的应用
点拨：本题中利用平行线分线段成比例的基本事实的图形主要有“A”型和“X”型，从每种图形中找出比例线段即可判断。在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例。
利用多媒体演示，得出平行线分线段成比例定理的推论。
探究三：平行线分线段成比例定理有怎样的推论？
把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况。
在图 （1）中，把l4看成平行于△ABC的边BC的直线；在图 （2）中，把l3看成平行于△ABC的边BC的直线，那么我们可以得到结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
数学表达式： 如图，∵DE∥BC，
例题讲解，平行线分线段成比例性质推论的应用
例1：如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且 EF∥BC（1）如果AE=7，EB=5，FC=4，那么AF的长是多少？ （2）如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？
点拨：写比例式时，注意线段的对应关系。
例2：如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接BF，并延长BF交AD的延长线于点E。求证：
分析: 先根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理的推论得出对应边成比例即可得出结论。
分组讨论，探究相似三角形判定的预备定理
探究四：相似三角形判定的预备定理是什么？
如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？
追问：若点D、E分别在AB、AC的反向延长线上，△ADE与△ABC是否还相似呢？
因此，我们有如下判定三角形相似的定理。 相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
定理的几何语言表述： ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC。
相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或它们的反向延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
例题讲解，相似三角形判定的预备定理的应用
例1：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长。
点拨：在根据相似三角形写比例式时，对应线段不要写错了。
例2：如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB求证：△ADE∽△EFC
解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC
点拨：利用平行线得三角形相似，是判定三角形相似的常用方法。
合作探究，巧作平行线构造相似三角形解题
探究五：如何巧作平行线构造相似三角形解题？
技巧1：连接线段的中点构造相似三角形
例1.如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BP：PQ：QD。
分析：题中无平行线，又无相似三角形，得不到成比例的线段，无法求出三条线段的比，需构造出平行线.由题意，D、F分别是AC、EC的中点，连接DF可得DF//AE，由此平行得线段成比例可求。
解：如图，连接DF，∵E，F是边BC的两个三等分点，∴BE＝EF＝FC∵D是AC的中点，∴AD＝CD∴DF是△ACE的中位线。∴DF∥AE，且DF＝ AE.∴DF∥PE∴△BEP∽△BFD。 ∴ 。∵BF＝2BE，∴BD＝2BP∴BP＝PD∴DF＝2PE∵DF∥AE，∴∠APQ＝∠FDQ，∠PAQ＝∠DFQ∴△APQ∽△FDQ∴ 。设PE＝a，则DF＝2a，AP＝3a∴PQ：QD＝AP：DF＝3：2∴BP：PQ：QD＝5：3：2
点拨：当题中已知有多条线段的中点时，可将中点与中点连接，构造三角形中位线，得到平行线。口诀是“中点连中点，构造中位线”。
技巧2：过顶点作平行线构造相似三角形
例2：如图， 在△ABC中，F为底边AB上一点，BF：AF＝3：2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求 的值。
解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G又∵D为CF的中点，∴CD＝DF又∵∠ADF＝∠CDG∴△ADF≌△GDC∴AF＝CG∵BF：AF＝3：2，∴AB：AF＝5：2∵AB∥CG∴△ABE∽△GCE∴
点拨：过顶点作平行线构造相似三角形，是常用之法。本题也可过顶点B作AE的平行线与CF的延长线相交求；也可过顶点A作CB的平行线与CF的延长线相交求。
技巧3：过分点作平行线构 造相似三角形
例3：如图，在△ABC中， ＝4， ，求 的值。
点拨：点D、M、E分别为线段BC、AD、AC的分点，过它们任一点作平行线都可求。
（1）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段成比例。（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。（2）平行线除了具备造成“三线八角”相等或互补的功能外，还可以分线段成比例，利用平行线得线段成比例的基本思路是：①善于从较复杂的几何图形中分离出基本图形：“ 型”或“ 型”，得到相应的比例式；②平行是前提条件，没有平行线可以添加辅助线，一般从分点或中点出发作平行线。
（3）相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似。（4）解与线段成比例有关的问题时，往往会遇到求解的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加平行线构造相似三角形是解决这类问题的一种重要方法。
相似三角形的判定 第二课时
1.三角形全等的判定方法：SSS、SAS。
2.相似三角形判定的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
3.全等三角形与相似三角形的关系：相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形可以看作是相似比是1的相似三角形。
提出问题，引导学生探究
探究：任意画ΔABC和ΔA′B′C′，使ΔA′B′C′的各边长都是△ABC各边长的k倍，△ABC∽△A′B′C′吗？
1.操作：度量这两个三角形的对应角，这两个三角形的对应角相等，对应边成比例。
探究一：三边成比例的两个三角形相似吗？
3.证明：分析：这时可在A′B′上截取A′D=AB，再过D作DE//B′C′，由△A′DE∽△A′B′C′，再证明△ABC≌△A′DE，则可得到△ABC∽△A′B′C′。
归纳：三角形相似的判定方法1：三边成比例的两个三角形相似。
例题讲解，相似三角形判定1的应用
例：下面图中小正方形的边长均为1，则左面图中的三角形（阴影部分）与右面图中的△ABC相似的是（ ）
点拨：这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定方法中的“三边”要求的是“比相等”。三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”。本题主要体现“代数计算解决几何问题”的思想方法，这里具体地结合图形，利用勾股定理来证明。
探究二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似吗？
导入：判定两个三角形全等我们有SAS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
1.操作：量出BC和B′C′，它们的比值等于k吗？∠B=∠B′，∠C=∠C′吗？
2.改变∠A的大小，结果怎样？改变k的值呢？
5.结论：三角形相似的判定方法2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
思考：在ΔABC与ΔA′B′C′中，如果，∠B=∠B′，那么ΔABC与ΔA′B′C′一定相似吗？如果一定相似，给予证明；如果不一定相似，举一反例（画图）。
观察上面图形，如果两个三角形两边对应成比例，有任意一角对应相等，那么，这两个三角形一定相似吗？
思考：在ΔABC与ΔA′B′C′中，如果，∠B=∠B′，那么ΔABC与ΔA′B′C′一定相似吗？如果一定相似，给予证明；如果不一定相似，举一反例（画图）。
注意：两边对应成比例并且必须是夹角对应相等两三角形才一定相似。
例题讲解，相似三角形判定2的应用
例1：根据下列条件，判断∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm， ∠A1＝1200，A1B1=3cm，A1C1=6cm。（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm， ∠B1＝1200，A1B1=8cm，A1C1=24cm。
点拨：两边成比例，它们的夹角相等才相似。
例2：如图：D，E分别是△ABC的边AC，AB边上的点。AE=1.5，AC=2，BC=3， 求DE的长？
点拨：两个三角形有一个角相等，要证明它们相似，可考虑夹这个角的两边是否成比例。
（1）三角形相似的判定方法1：三边成比例的三角形相似；（2）三角形相似的判定方法2：两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似。
（1）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边，相等的角所对的边是对应边。（2）判定方法2一定要注意区别“夹角相等”的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似。（3）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似。
（4）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1。（5）两对应边成比例中的比例式既可以写成如 的形式，也可以写成 的形式。
（6）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供。利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似的方法：首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似。特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等。
（7）相似三角形的判定定理的作用：①可以用来判定两个三角形相似；②间接证明角相等、线段域比例；③间接地为计算线段的长度及角的大小创造条件。
第三课时
判定两个三角形相似的方法：
类比全等三角形的“边角边”判定定理，我们能得出相似的什么结论呢？
判定三角形全等有哪些方法？
1.探索并掌握两个三角形相似的判定定理2；2.会选择恰当的方法进行简单的证明及计算。
画一画：同桌两人一人画△ABC，使AB=4厘米，∠B=50°，BC=6厘米；另一人画△DEF，使DE=2厘米，∠E=50°，EF=3厘米，如图，观察并思考以下问题：∠C与∠F，∠A与∠D是否相等？
两边成比例，且夹角相等两个三角形相似。
这两个三角形不一定相似
对于△ABC和△A´B ´C ´中，∠B=∠B´ ，这两个三角形一定相似吗？试着画画看。
例2 如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9，△ADE和△ABC相似吗？说明理由。
如图，在△ABC中，D在AC上，已知AD=2cm，AB=4cm，AC=8cm， 求证：△ABD∽△ABC。
如图，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似。
通过本节课的学习，你有哪些收获？与你的同伴交流。
1.相似三角形的判定定理2：两边成比例， 且夹角相等两个三角形相似； 2.相似三角形的识别方法； 3.基本图形。