天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考（二）数学试卷+Word版含答案

2023年天津市十二区重点学校高三毕业班联考（二）考前模拟检测

数学试卷

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．设，则“”是“”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．的图像大致是

A． B．

C． D．

4．已知，，，则的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．党的二十大报告提出全面推进乡村振兴．为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场．该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第天到该电商平台专营店购物人数（单位：万人）的数据如下表：

依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数与到该电商平台专营店购物的人数（单位：万人）具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数与直播天数的线性回归方程为．请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数（单位：万人）为（    ）

A．312 B．313 C．314 D．315

6．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

7．粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米､泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（    ）

(参考数据：)

A． B． C． D．

8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点，，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

9．将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是（    ）

①函数的最小正周期为；  ②是函数图象的一个对称中心；

③函数图象的一个对称轴方程为；  ④函数在区间上单调递增

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共11小题，共105分。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10．若复数为纯虚数，则=___________.

11．二项式的展开式中，常数项为______（用数值表示）.

12．圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______.

13．接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若人去接种新冠疫苗，恰有人接种同一种疫苗的概率为______．

14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，正八边形ABCDEFGH中，若，则的值为________ ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为______.

15．已知，函数,当时，函数的最大值是_____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．在非等腰中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，.

(1)求的值；   (2)求b的值；

(3)求的值.

17．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.

(1)证明：；

(2)求二面角的大小；

(3)求直线CA与平面所成角的正弦值.

18．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线、的斜率分别为、，且．

①求证：直线经过定点．  ②设和的面积分别为、，求的最大值．

19．已知数列的前项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项．

(1)求数列与数列的通项公式；

(2)若数列，求数列的前项和；

(3)求证：．

20．已知函数，，

（1）求函数的单调区间；

（2）若，，使成立，求m的取值范围.

（3）当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求实数k的取值范围，并且证明：.

数学答案和解析

一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.   2.   3. C 4.A  5.  

6.   7. C  8.       9. B 

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.

10.      11. 1120   12.     13.      14.       15.   

 三、解答题（本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解：（1）在中，由正弦定理，，，

可得，

因为，所以，即，

解得．

（2）在中，由余弦定理，

得，解得或．

由已知互不相等，所以 ．

（3）因为，所以，

所以，，

所以

17. 解：（1）由为正三棱柱可知，平面，

又平面，所以，

由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以；

又，平面，所以平面；

又平面，所以；

（2）取线段的中点分别为，连接，

易知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示;

由侧棱长为，底面边长为2可得，

，

由D为AB的中点可得，

所以，

设平面的一个法向量为，

则，令，可得；

即；

易得即为平面的一个法向量，

所以，

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，

所以，即；

即二面角的大小为.

（3）由（2）可知，平面的一个法向量为，

设直线CA与平面所成的角为，

所以，

即直线CA与平面所成角的正弦值为.

18. 解：（1）解：当点为椭圆短轴顶点时，的面积取最大值，

且最大值为，

由题意可得，解得，

所以，椭圆的标准方程为.

（2）解：①设点、.

若直线的斜率为零，则点、关于轴对称，则，不合乎题意.

设直线的方程为，由于直线不过椭圆的左、右焦点，则，

联立可得，

，可得，

由韦达定理可得，，则，

所以，

，解得，

即直线的方程为，故直线过定点.

②由韦达定理可得，，

所以，

，

，则，

因为函数在上单调递增，故，

所以，，当且仅当时，等号成立，

因此，的最大值为.

19. 解：（1）因为数列的前项和为，且，

当时，；

当时，，当时也满足；

所以；

又因为数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项，

所以，则，则.

（2）由（1）可得，，

令①

所以②

②可得，

所以

令，

即，

令，

则

则

（3）设，则，

则

20. 解：（1），

令f′（x）＞0，得x＞，

令f′（x）＜0，得0＜x＜，

所以f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．

（2）由（1）知，f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣lnm，

令h（x）＝＝＝，x∈（0，3），

h′（x）＝＝，

在x∈（2，3）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

在x∈（0，2）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

所以h（x）min＝h（2）＝＝，

所以1﹣lnm＞，

所以0＜m＜，

所以m的取值范围是（0，）．

（3）当m＝2时，f（x）＝lnx+，

由（1）可知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

f（x）min＝f（）＝ln＝1﹣ln2＞0，

若f（x）＝k有两个实数根x1，x2，且0＜x1＜＜x2，

则k＞1﹣ln2，

所以lnx1+＝k①，lnx2+＝k②，

得lnx1+＝lnx2+，

所以lnx1＝lnx2+﹣，

f（x1）﹣f（1﹣x2）＝lnx1+﹣ln（1﹣x2）﹣

＝（lnx2+﹣）+﹣ln（1﹣x2）﹣

＝lnx2+﹣ln（1﹣x2）﹣

令F（x）＝lnx+﹣ln（1﹣x）﹣，x＞，

＝，

因为x＞，

所以﹣4x2+4x﹣1＜0，即F′（x）＜0，

所以F（x）在（，+∞）单调递减，

所以F（x）＜F（）＝

所以f（x1）＜f（1﹣x2），

因为0＜x1＜＜x2，

所以﹣＞﹣x2，即1﹣＞1﹣x2，

所以0＜1﹣x2＜，

因为f（x）在（0，）上单调递减，

所以x1＞1﹣x2，

所以x1+x2＞1，得证．