2019年浙江宁波江北区初三一模数学试卷(详解版)

2019年浙江宁波江北区初三一模数学试卷

选择题（每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.在下列实数中，无理数是（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 方法一：是无理数，

故选：．

方法二：、、均为有理数，为无理数，

∴选．

2.截止年月日，中国科幻电影《流浪地球》的票房约为亿元，成为中国科幻电影的里程碑．其中亿用科学记数法表示为（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 C

【解析】 亿．

故选．

3.下列计算正确的是（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 A

【解析】 A选项：，正确．

B选项：，错误．

C选项：，错误．

D选项：，错误．

故选A.

4.如图所示是一个正四棱台，其俯视图正确的为（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 俯视图中可观察到上表面和四条侧棱，故选择．

5.从个数，，，，中任意抽取一个作为，则满足不等式的概率是（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 ∵的解是，

∴仅与符合题意，

∴．

故选．

6.将一副三角板如图放置，其中，，，其中点落在线段上，且，则的度数为（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 D

【解析】 ∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴

．

故选．

7.一元二次方程的解为（   ）．

A.，

B.，

C.，

D.，

【答案】 D

【解析】 ∵，

∴，

∴，．

故选．

8.如图，是⊙的内接三角形，，，则⊙的直径长为（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 C

【解析】 连接，，

∵，

又∵，

∴正，

∴，

∴直径为．

故选．

9.一组数，，，，，，是“斐波那契数列”的一部分，若去掉其中的两个数后，这组数的中位数、众数保持不变，则去掉的两个数可能是（   ）．

A.，

B.，

C.，

D.，

【答案】 A

【解析】 原数据中位数是，众数是，

∵众数不变，

∴不可能去掉，

又∵中位数不变，

∴一定删去和一个大于的数据，

∴选择．

10.如图，在边长为的正方形中，点是边上的一点，连接，将绕着点顺时针旋转一定的角度，使得点落在线段上，记为点，此时点恰好落在边上，记为点，则的长为（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 D

【解析】 由旋转可知≌，

∴，，

∵和中，，

∴≌，

∴，

∴，

∴．

11.下列尺规作图中，能确定圆心的是（   ）．

①如图，在圆上任取三个点，，，分别作弦，的垂直平分线，交点即为圆心；

②如图，在圆上任取一点，以为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于，两点，连接，，作的平分线交圆于点，作弦的垂直平分线交于点，点即为圆心；

③如图，在圆上截取弦，连接，，，分别作与的平分线，交点即为圆心．

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

【答案】 A

【解析】 ①三角形的中垂线交点即外接圆圆心（外心），

∴①能确定圆心；

②由垂经定理可知是的直径，

∴中点是圆心，

∴②能确定圆心；

③当时，能确定圆心，仅有，则条件不充分．

∴①②正确．

故选．

12.已知点，在抛物线的图象上，且，则线段长的最大值、最小值分别是（   ）．

A.，

B.，

C.，

D.，

【答案】 C

【解析】 ，，

∴

，

∴，，

∴，．

故选．

填空题（每小题4分，共24分）

1.因式分解：             ．

【答案】

【解析】 ．

2.一个圆锥的底面半径长为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为             ．

【答案】

【解析】 （）．

3.等腰直角在平面直角坐标系中如图所示，点为坐标原点，直角顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，则的值为             ．

【答案】

【解析】 过点作轴垂线于点，

作交于点，

由三垂直模型易知，≌，

∴，，

∴，

∴．

故答案为：．

4.如图，在中，点，，分别在边，，上，，，，的面积为，则四边形的面积为             ．

【答案】

【解析】 ∵且，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴.

故答案为：．

5.如图，在的正方形网格图中，以格点为圆心各画四条圆弧，则这四条圆弧所围成的阴影部分面积为             ．

【答案】

【解析】

如图对空白部分进行划分，，，，，

∴．

6.如图，在菱形中，，，点在上运动（不与，重合），将四边形沿直线翻折后，点落在处，点落在处，与交于点，当时，长为             ．

【答案】

【解析】 延长交于，作交于点，

由对称可知，，

，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，

在中，，

∴，

在中，，,

∴，

∴，

∴．

解答题（本大题有8小题，共78分）

1.先化简，再求值：，其中．

【答案】 ．

【解析】 原式，

．

当时，原式．

2.“数学来源于生活，又运用于生活”．曹老师为了了解所教班级学生利用数学知识解决实际问题的能力，编制若干问题对全班学生进行了一次测试，并将测试结果分成四类，：特别强；：强；：一般；：较弱．以下是由调查测试结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图完成以下解答．

( 1 )曹老师的班级共有             名学生．

( 2 )将下面条形统计图的类部分补充完整．

( 3 )扇形统计图中，类对应的圆心角为多少度．

【答案】 (1)

(2) 画图见解析．

(3) ．

【解析】 (1) 根据题意得：（名）．

(2) 类的人数为：（名），

则类的女生有（名），

补全图形为：

(3) 方法一：类占总数的百分比为，

∴类对应的圆心角为：．

方法二：．

故答案为：类对应的圆心角为度．

3.如图，是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图，图的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．

( 1 )在图中，以为边画直角三角形(与不重合），使它与全等．

( 2 )在图中，以为边画直角三角形，使它的一个锐角等于，且与不全等．

【答案】 (1) 画图见解析．

(2) 画图见解析．

【解析】 (1) 如下图：

即为所求．

(2) 如下图：

即为所求（画出一个即可）．

4.如图，二次函数图象的顶点为，且与反比例函数的图象交于点．

( 1 )求二次函数与反比例函数的解析式．

( 2 )判断原点是否在二次函数的图象上，并说明理由．

( 3 )根据图象直接写出二次函数的值小于反比例函数的值时，自变量的取值范围．

【答案】 (1) 二次函数表达式为：．

反比例函数表达式为：．

(2) 原点在二次函数图象上．证明见解析．

(3) 或．

【解析】 (1) 由题意得：设二次函数表达式为：，

把代入得：，，

∴二次函数表达式为：．

设反比例函数表达式为：，

把代入得：，

∴．

(2) 把代入，，

∴原点在二次函数图象上．

(3) 或．

5.为了增强体质，小明计划晚间骑自行车训练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯射出的光线、与地面的夹角分别为和，该夜行灯照亮地面的宽度长为米，求该夜行灯距离地面的高度的长．

（参考数据：，，，）．

【答案】 该夜行灯距离地面高度为米．

【解析】 设高度，

在中，

，

在中，

，

∵，

∴，

∴，

即该夜行灯距离地面高度为米．

故答案为：该夜行灯距离地面高度为米．

6.“宁波国际山地马拉松赛”于年月日在江北区举行．小林参加了环绕荪湖的迷你马拉松项目（如图），上午起跑，赛道上距离起点处会设置饮水补给站．在比赛中，小林匀速前行，他距离终点的路程与跑步的时间的函数图象的一部分如图所示．

( 1 )求小林从起点跑向饮水补给站的过程中与的函数表达式．

( 2 )求小林跑步的速度，以及图中的值．

( 3 )当跑到饮水补给站时，小林觉得自己跑得太悠闲了，他想挑战自己在上午之前跑到终点，那么接下来一段路程他的速度至少应为多少？

【答案】 (1) ．

(2) 小林的速度为，．

(3) ．

【解析】 (1) 设，将和代入得：，解得，

∴．

∴小林从起点站跑到第一个饮料站的过程中与之间的函数表达式为：．

(2) ∵，

∴小林的速度为，

将代入，得，

∴．

(3) 设接下来一段路程小林的速度为，则，解得．

答：要使小林能在之前跑到终点，那么接下来一段路程他的速度至少应为每小时．

7.平行四边形的对角线相交于点，的外接圆交于点，且圆心恰好落在边上，连接，若．

( 1 )求证：为切线．

( 2 )求的度数．

( 3 )若，求的长．

【答案】 (1) 证明见解析．

(2) ．

(3) ．

【解析】 (1) 如图，连结，

在平行四边形中，．

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴，

∴，

∴为圆切线．

(2) 如图，连结，

在平行四边形中，．

∵，

∴．

∵，

∴．

在中，，∴．

(3) ∵四边形内接于圆，

∴，．

∵，

∴．

∴，

∴．

过点作．

∵，∴．

∵，∴，

∴，

∴．

8.等边与正方形如图放置，其中，两点分别在，上，且．

( 1 )求的度数．

( 2 )当正方形沿着射线方向以每秒个单位长度的速度平移时，的长度随着运动时间变化的函数图象如图所示，且当时，有最小值．

① 求等边的边长．

② 连接，在平移的过程中，求当与同时为等腰三角形时的值．

③ 从平移运动开始，到恰落在边上时，请直接写出外接圆圆心的运动路径的长度．

【答案】 (1) ．

(2) ．

(3) 当，时与同时为等腰三角形．

(4) ．

【解析】 (1) ∵为等边三角形，

∴，

∵，

∴．

(2) 的运动路径为一条平行于的射线，

∴当时，的长度最短，

由函数图象得：此时正方形移动，即，，，

∵，则，

∴，

∴，

∴，

即的边长为．

(3) 如图，当点在上时，

∵，

∴若为等腰三角形，则一定，

又∵，

∴也为等腰三角形，则，

如图，当点在延长线上时，

∵，

∴若为等腰三角形，则一定为等边三角形，

∴，

又，

∴也为等腰三角形，则，

综上所述：当，时与同时为等腰三角形．

(4) 方法一：如图，当落在边上时，即点运动到了点，

过点作，过点作,

∵,

∴,,

∵,

∴,

∴，即点平移了个单位长度．

如图，设为外接圆圆心，

当正方形平移时，点沿着射线方向平移，，

在射线上任取一定点，

连结并将绕点逆时针旋转至，连结，

∵，

∴，

∴为等边三角形，

∴，，

∴，

∴≌，且当点平移时，始终成立，

∴始终等于，且所在直线与所在直线夹角为，

即点在射线上运动，

∴点运动路径等于点的运动路径长，

∴当落在边上时，点平移了个单位长度．

∴点运动路径长为也为．

方法二：如图，以为原点，所在直线为轴建立坐标系，当平移了个单位后，

，，，

∴与的中垂线分别：

与直线，

交点即为外接圆圆心，，

∴点在直线上运动，

当落在边上时，，

此时，

当时，，

∴点运动路径长为．