2020_2021学年浙江宁波江北区江北实验中学初二上学期期末数学试卷(详解版)

2020~2021学年浙江宁波江北区江北实验中学初二上学期期末数学试卷

选择题

（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列长度的三条线段能组成三角形的是(　　)．

A.

B.

C.

D.

【答案】 A

【解析】 A选项：，则能组成三角形，符合题意；

B选项：，则不能组成三角形，不合题意；

C选项：，则不能组成三角形，不合题意；

D选项：，则不能组成三角形，不合题意．

故选A.

2.在数轴上表示不等式，正确的是（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 在数轴上表示不等式，

如下：．

故选．

3.若点在函数的图象上，则的值是（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 D

【解析】 把代入得：

，

∴．

故选．

4.下列方程中是关于的一元二次方程的是（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 A

【解析】 A选项：是一元二次方程，故正确；

B选项：是分式方程，不是一元二次方程，故错误；

C选项：，当时，不是一元二次方程，当时，才是一元二次方程，故错误；

D选项：，，是一元一次方程，不是一元二次方程，故错误．

故选A.

5.在中，，则的度数为（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 ，

，

故选．

6.二次根式中，的取值范围是（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 C

【解析】 ∵二次根式有意义，

∴，

∴，

故选．

7.用一副直角三角板拼出如图所示的图形，则图中的度数为(　　).

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 解：图中是一副直角三角板，

，

，

．

故选．

8.如图，直线与直线相交于点，则不等式的解为（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 ∵直线与直线相交于点，

∴观察图象得出：当时，，

∴不等式的解集为：．

故选．

9.在越野赛中，甲乙两选手的行程（单位：）随时间（单位：）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲上的速度小于乙的速度；②出发后小时，两人行程均为；③出发后小时，甲的行程比乙少；④甲比乙先到达终点．其中正确的是（   ）．

A.①②

B.①③

C.②④

D.②③

【答案】 C

【解析】 在两人出发后小时之前，甲的速度小于乙的速度，小时到小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；

由图可得，两人在小时时相遇，行程均为，故②正确；

甲的图象的解析式为，乙段图象的解析式为，因此出发小时后，甲的路程为千米，乙的路程为千米，甲的行程比乙多千米，故③错误；

甲到达终点所用的时间较少，因此甲比乙先到达终点，故④正确．

故选．

10.我们把，，，，，，，，这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作圆弧，，，得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接，，，得到螺旋折线（如图），已知点，，，则该折线上的点的坐标为（   ）．

A.

B.

C.

D.

【答案】 B

【解析】 方法一：由题意，在的正上方，推出在的正上方，且到的距离，

所以的坐标为．

方法二：∵在的左下方，且半径为，

∴点的坐标为，即，

∵在的右下方，且半径为，

∴点的坐标为，即，

∵在的右上方，且半径为，

∴点的坐标为，即，

∵在的左上方，且半径为，

∴点的坐标为，即，

由此可确定坐标为，

即．

∴坐标为，即，

∴坐标为，即，

∴坐标为，即．

故选．

填空题

（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.已知，试比较大小：             ．（填“、或”）

【答案】

【解析】 ∵，

∴，

故答案为：．

2.请写出“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题：             ．

【答案】 等边三角形的三个角相等

【解析】 “三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题为“等边三角形的三个角都相等”．

故答案为：等边三角形的三个角都相等．

3.若点与关于轴对称，则             ．

【答案】

【解析】 ∵点与点关于轴对称，

∴纵坐标互为相反数，即，故．

4.若等腰三角形的边长分别为和，则它的周长为           ．

【答案】 或

【解析】 解：当是底边长时，三边长为，，，能构成三角形，周长为；

当是底边长时，三边长为，，，能构成三角形，周长为．

故周长为或．

故答案为：或．

5.若，且一元二次方程有实数根，则的取值范围是             ．

【答案】 且

【解析】 ，

，

原方程为，

该一元二次方程有实数根，

，

解得：，

方程是一元二次方程，

，

的取值范围是：且．

6.若关于的不等式组无解，则的取值范围为           ．

【答案】

【解析】 解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式组无解，

，

解得，

故答案为：．

7.定义：在平面直角坐标系中，把任意点与点之间的距离叫做曼哈顿距离（ManhatanDistance），则原点与函数图象上一点的曼哈顿距离，则点的坐标为             ．

【答案】

【解析】 ∵点在函数图象上，

∴设，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴点．

故答案为．

8.如图，四边形中，，平分，，为上一点，，，为上一点，则周长的最小值为             ．

【答案】

【解析】 如图所示，

作点关于的对称点，连接，

则在上，

过作的垂线，垂足为，

则，

∵，，

∴，，

∴ ，，，

当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，

此时，中， ，

∴的最小值等于，

又∵，

∴周长的最小值为，

故答案为：．

解答题

（本大题共7小题，共46分）

1.解一元一次不等式组：．

【答案】 ．

【解析】 解不等式，

，

，

，

解不等式，

，

，

则不等式组的解集是．

2.

( 1 )计算：．

( 2 )化简求值：当时，求代数式的值．

【答案】 (1) ．

(2) ．

【解析】 (1)

．

(2)

，

．

3.解方程．

( 1 )．

( 2 )．

【答案】 (1) ，．

(2) ，．

【解析】 (1) ，

，，

，．

(2) ，，，

，

，．

4.已知：如图，，．

( 1 )求证：≌．

( 2 )求证：．

【答案】 (1) 证明见解析．

(2) 证明见解析．

【解析】 (1) 在和中，

≌．

(2) ≌，

，

．

5.如图，直线与坐标轴分别交于点、．

( 1 )点在轴上，并使得是等腰三角形，请用直尺和圆规作出所有满足条件的点．(保留作图痕迹)

( 2 )求()中作出的点的坐标．

【答案】 (1) 见解析

(2) 见解析

【解析】 (1) 解：以为圆心，以为半径画弧，交轴于、；

以为圆心，以为半径画弧，交轴于；

作的中垂线，交轴于，连接，此时；

所以符合条件的点一共有个；

(2) 解：当时，，

，

当时，，

，

由勾股定理得：，

当时，此时、，

当时，则，

，

，

，

，

，

当时，此时与关于轴对称，

，

综上所述，点的坐标是：或或或．

6.为迎接杭州峰会的召开，某校八年级(1)(2)班准备集体购买一种恤衫参加一项社会活动．了解到某商店正好有这种恤衫的促销，当购买件时每件元，购买数量每增加件单价减少元；当购买数量为件(含件)以上时，一律每件元．

( 1 )如果购买件，每件的单价为元，请写出关于的函数关系式；

( 2 )如果八(1)(2)班共购买了件恤衫，由于某种原因需分两批购买，且第一批购买数量多于件且少于件．已知购买两批恤衫一共花了元，求第一批恤衫的购买数量．

【答案】 (1) 见解析

(2) 见解析

【解析】 (1) 购买件时，．

故关于的函数关系式是．

(2) 设第一批购买件，则第二批购买件．

①当时，则，则，

解得(舍去)，；

②当时，则，

则，

解得或，但，所以无解；

答：第一批购买数量为件．

7.如图，在三角形中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转，得到，连接，过点作的垂线，交于点，交于点．

( 1 )【特例尝试】如图，当时，

① 求证：．

② 猜想与的数量关系并说明理由．

( 2 )在图中，当为任意三角形时，②中与的数量关系还成立吗？请给予证明．

( 3 )【拓展应用】如图，直线与轴，轴分别交于、两点，分别以，为直角边在第二、一象限内作等腰和等腰，连接，交轴于点．试猜想的长是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

【答案】 (1) 证明见解析．

(2) ，证明见解析．

(3) 成立，证明见解析．

(4) ．

【解析】 (1) ∵，

∴．

(2) ∵，，，

∴≌，

∴，，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

同理可得，，

∴．

(3) 过点作，交延长线于点，过点作，交于点．

∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，，，

∴≌，

∴，，

同理可得，，

∴，

∵，，，

∴≌，

∴，

∵

，

∴．

(4) 直线与轴交于点，

则点，则，

由题（）可知．

附加题

（本大题共5小题，每道题4分，共20分）

1.已知，，，为实数，且，则             ．

【答案】

【解析】 ∵，，

∴，

移项化简得，

∴，

∴．

2.如图，已知，是线段上的两点，，，，点以点为中心顺时针旋转，点以为中心逆时针旋转，使点，两点重合成一点，构成，若为直角三角形，则             ．

【答案】 或

【解析】 ∵在中，，设，

．

∴，

解得；

①若为斜边，则，即

，无解，

②若为斜边，则，解得

，满足，

③若为斜边，则，解得

，满足，

或．

故答案是：或．

3.如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．

( 1 )如图①弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为．较短的直角边为，斜边长为，可以验证勾股定理．

( 2 )如图②，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则             ．

【答案】 (1) 证明见解析．

(2)

【解析】 (1) ，

另一方面，

即，

则．

(2) 将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，

∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，，

∴，，，

∴，

∴，

∴．

故答案为：．

4.如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动过程中，线段长度的最小值是           ．

【答案】

【解析】 解：如下图所示，取的中点，连接，

旋转角是，

，

，

，

是等边三角形的对称轴，

，

，

旋转后得到，

，

在和中，

，

，

，

当时，最短，即最短，

，，

，

．

5.如图，直线交轴于点，交轴于点．将关于直线翻折得到，过点作轴交线段于点，在上取点，且点在点的右侧，连接，若平分的外角，记面积为，面积为，且，则             ．

【答案】

【解析】 由折叠的性质，可知：，，

∵，

，，

∴，

设，

则，

在和中，

，

∴，

∴，

∵平分的外角，轴，

∴，

∴，

在中，，，

∴，

∴，

，

∴．