2022届高三旧高考数学（理）开学摸底测试卷3含答案

这是一份2022届高三旧高考数学（理）开学摸底测试卷3含答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，则
A．，3，B．，2，3，C．D．
2．设复数满足，则
A．B．C．1D．
3．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为
A．650B．660C．680D．700
4．某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为，其中表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是 ，，
A．2040年B．2045年C．2030年D．2050年
5．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的焦距为
A．4B．6C．D．8
6．三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示，则三棱锥的左视图为
A．B．
C．D．
7．
A．2B．C．1D．
8．设，，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
9．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北（即的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在北偏东（即的方向上，仰角为，则此山的高度
A．B．C．D．
10．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为
A．B．C．D．
11．已知直三棱柱，的各顶点都在球的球面上，且，，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于
A．B．C．8D．
12．已知函数是定义域为的奇函数．当时，，则函数在，上的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设函数．若的图象关于原点对称，则曲线在点处的切线方程为 ．
14．已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为 ．
15．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为 ．
16．设函数（a＞0），若∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，则的最小值为 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
18．某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为的样本进行调查．调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的．
（1）完成下面列联表．若有的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量的最小值；
（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
19．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为1的等边三角形．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的大小．
20．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．
21．已知是自然对数的底数，函数，其中．
（1）当时，若，求的单调区间；
（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点，动点满足．
（1）求动点的轨迹的参数方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与异于极点的交点为，与异于极点的交点为，求．
23．已知关于的不等式的解集为．
（1）求的最大值；
（2）若，，都是正实数，且，求证：．
2022届旧高考数学（理）开学摸底测试卷3
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A．，3，B．，2，3，C．D．
【答案】B
【解析】集合，2，3，4，5，6，7，8，，
，
，2，3，．
故选B．
2．设复数满足，则
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
故．
故选B．
3．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动，以庆祝中国共产党成立100周年．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为
A．650B．660C．680D．700
【答案】A
【解析】由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在，分的频率为，
所以学生初赛成绩大于90分的频率为，
则该校获得复赛资格的人数为．
故选A．
4．某新晋网红一线城市鹅城人口模型近似为，其中表示2020年的人口数量，则鹅城人口数量达到320000的年份大约是 ，，
A．2040年B．2045年C．2030年D．2050年
【答案】A
【解析】令，
则，两边取对数得，
即，
过去20年或21年，表示2020年的人口数量，
则鹅城人口数量达到320000的年份大约是2040年或2041年．
故选A．
5．已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的焦距为
A．4B．6C．D．8
【答案】B
【解析】直线与双曲线的一条渐近线平行，
不妨设直线与渐近线平行，
由可知，过点，
两条平行线间的距离为，
，解得，
，双曲线的焦距为6．
故选B．
6．三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，正方向如图所示，则三棱锥的左视图为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图三棱锥的四个顶点为正方体的四个顶点，
则观察可知其左视图为．
故选A．
7．
A．2B．C．1D．
【答案】C
【解析】．
故选C．
8．设，，若的必要不充分条件是，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，解得，
，，
是的必要不充分条件，是的充分不必要条件，
，等号不能同时成立，
解得，
则实数的取值范围，．
故选A．
9．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北（即的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在北偏东（即的方向上，仰角为，则此山的高度
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】中，，，，
，
由正弦定理得，
，
中，，
，
则山高为．
故选B．
10．把颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的小球放入颜色分别为红、黄、蓝、白四种颜色的纸盒中，则四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将四种不同颜色的球放入四种不同颜色的纸盒中基本事件的总数为，
四个球都没有放入相同颜色的纸盒中的基本事件的总数为，
所以四个小球都没有放入相同颜色的纸盒中的概率为．
故选B．
11．已知直三棱柱，的各顶点都在球的球面上，且，，若球的体积为，则这个直三棱柱的体积等于
A．B．C．8D．
【答案】B
【解析】设球的半径为，球的体积为，，解得．
，，
．．
外接圆的半径，可得．
设球心到底面的距离为，则．
这个直三棱柱的体积．
故选B．
12．已知函数是定义域为的奇函数．当时，，则函数在，上的零点个数为
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】解：令，即，
函数为上的奇函数，则，
函数也是上的奇函数，
故只需研究当时的零点个数即可，
又当时，，
故在同一坐标系下，作出函数与的函数图象，如图所示，
由图象可得，当时，函数与的函数图象有2个交点，
则当时，函数与的函数图象也有2个交点，
又也是它们的交点，
故函数与的函数图象有5个交点，
即函数在，上的零点个数为5个．
故选C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设函数．若的图象关于原点对称，则曲线在点处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】由题函数．的图象关于原点对称，
知为奇函数，可得，．，
（1）．所以切线方程为．
故答案为：．
14．已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由，且，
建立如图所示平面直角坐标系，
设，，则，，
再设，则，
，其几何意义为单位圆上的动点与定点间的距离．
则其最大值为．
故答案为：．
15．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【解析】设，则，，
，．
，
在中，由余弦定理得，，
，
化简可得，而，故，
，，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
椭圆的离心率，
故答案为：．
16．设函数（a＞0），若∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】函数

，其中，a＞0，
因为∀x∈R，|f（x）|≤|f（0）|，
所以f（0）为函数f（x）的最值，
则有，
故，
所以，
故. ，
所以b＝﹣a，a＞0，
故，
当且仅当，即a时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．已知数列满足，．
（1）求证数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）数列满足，．整理得，
故（常数），
所以数列是以1为首项，为公差的等差数列．
（2）由于数列是以1为首项，为公差的等差数列．
所以，故
所以，
则：．
18．某中学高三年级组为了解学生主动预习与学习兴趣是否有关，随机抽取一个容量为的样本进行调查．调查结果表明，主动预习的学生占样本容量的，学习兴趣高的学生占样本容量的，主动预习且学习兴趣高的学生占样本容量的．
（1）完成下面列联表．若有的把握认为主动预习与学习兴趣有关，求样本容量的最小值；
（2）该校为了提高学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人，组成数学学习小组，现从该小组中随机抽取3人进行摸底测试，记3人中“不太主动预习”的人数为，求的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）270；（2）分布列见解析；.
【解析】（1）列联表如下：
则，
因为有的把握认为主动预习与学习兴趣有关，
所以，解得，
结合题意，正整数是15的倍数，
所以的最小值为270；
（2）由（1）可知，“学习兴趣一般”的学生中，
“主动预习”与“不太主动预习”的学生人数之比为，
因此用分层抽样的方法，从“学习兴趣一般”的学生中抽取10人中，“不太主动预习”的人数为2，
所以，2，，
所以，
，
所以的分布列为：
则．
19．如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为1的等边三角形．
（1）证明：；
（2）若，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）证明：是边长为1的等边三角形，
，，
是的中点，
，即△是等腰三角形，
，从而，即．
平面，且平面，
，
又，平面，平面，
平面，
平面，
．
（2）解：连接，
，．
以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，，，
，，，，．
设平面的法向量为，，，则，即，
令，则，，，3，，
由（1）知，平面的一个法向量为，，，
，，
由图可知，二面角为锐角，
故二面角的大小为．
20．如图，已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）若直线交轴于点，且，，当直线的倾斜角变化时，是否为定值？若是，请求出的值；否则，请说明理由．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，
则有，解得，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，由条件得直线的斜率必存在，
设方程为，又，设，，，，
则由，解得，
所以，
因为，
则有，，，
所以，
同理可得，
所以，
即是定值．
21．已知是自然对数的底数，函数，其中．
（1）当时，若，求的单调区间；
（2）若在上恰有三个零点，求的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.
【解析】（1）当时，
令，则，
当时，，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
（1）．在上单调递增．
（2），的零点，
令，可得，
设，
，
令，得，且，
当时，，单调递增且，；
当时，，单调递减且；
当时，，单调递增且，
作图的大致图象，如图所示，
由图象可知，当时，与的图象有三个交点，即有三个不同的零点，
的取值范围是．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），是上的动点，动点满足．
（1）求动点的轨迹的参数方程；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与异于极点的交点为，与异于极点的交点为，求．
【答案】（1）为参数）；（2）2.
【解析】（1）设，，，由，得①，
又的上，为参数），②
将②代入①得为参数），即为的参数方程．
（2）解法一：的参数方程化为普通方程为，
对应的极坐标方程为，的参数方程化为普通方程为，
对应的极坐标方程为，
当时，，
．
解法二：的参数方程化为普通方程为，的参数方程化为普通方程为，
又射线化为普通方程为，
联立与射线方程解得点直角坐标为，
联立与射线方程解得点直角坐标为．
．
23．已知关于的不等式的解集为．
（1）求的最大值；
（2）若，，都是正实数，且，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）解：当时，不等式恒成立，解集为，满足题意；
当时，
①时，，
由不等式的解集为，可得，
解得：；
②时，不等式，即为，解得或，不满足题意；
③时，，
由不等式的解集为，可得，
解得：，与矛盾；
综上所述，，的最大值为．
（2）证明：，，，
由柯西不等式得：
，
整理得，当且仅当，即，，时取等号．
学习兴趣高
学习兴趣一般
合计
主动预习
不太主动预习
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
学习兴趣高
学习兴趣一般
合计
主动预习
不太主动预习
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.076
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
学习兴趣高
学习兴趣一般
合计
主动预习
不太主动预习
合计
0
1
2