2022届高三旧高考数学（理）开学摸底测试卷1含答案

2022届旧高考数学（理）开学摸底测试卷1

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合，，则　　

A．， B．， C． D．

2．若虚数满足，则　　

A． B． C． D．

3．已知命题，方程都表示双曲线；：抛物线的焦点坐标为；下列判断正确的是　　

A．是假命题 B．是真命题 

C．是真命题 D．是真命题

4．下列函数为奇函数的是　　

A． B． 

C． D．

5．已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

6．在正方体中，异面直线与BD的夹角为　　

A． B． C． D．

7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成　　种重卦．

A．6 B．15 C．20 D．1

8．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若为奇函数，则的最小值为　　

A． B． C． D．

9．在圆内任取一点，则该点到直线的距离小于1的概率为　　

A． B． C． D．

10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　

A．， B． C． D．

11．已知为椭圆的中心，为的一个焦点，点在外，，经过的直线与的一个交点为，是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率为　　

A． B． C． D．

12．已知函数，．若关于的方程有四个不同的解，则实数的取值集合为　　

A． B． C． D．

二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，且，，则的离心率为　　．

14．已知向量，，且与垂直，则　　．

15．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为　　．

16．将满足的封闭图形绕轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为　　．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.

17．已知数列的前项和为，，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，，成等比数列，，求的值．

18．某工厂的工人生产内径为的一种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位：

这里用．表示有件尺寸为的零件．

（1）求这50件零件内径尺寸的平均数；

（2）设这50件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在，内的件数．

参考数据：取．

19．如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

20．设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，．

（1）求的方程；

（2）过点的直线与交于，两点，若与圆相切，求的面积．

21．已知函数，其中．

（1）讨论函数的极值；

（2）设，当时，若不等式对任意，恒成立，求最小值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．以直角坐标坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数，射线，分别与曲线交于极点外的三点，，．

（1）求的值；

（2）当时，，两点在曲线上，求与的值．

23．已知函数，．

（1）若，，求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为，当时，求的取值范围．

2022届旧高考数学（理）开学摸底测试卷1

一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合，，则　　

A．， B．， C． D．

【答案】C

【解析】集合，

，

．

故选C．

2．若虚数满足，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，，，

则由，得，

即，

所以，解得，

所以．

故选A．

3．已知命题，方程都表示双曲线；：抛物线的焦点坐标为；下列判断正确的是　　

A．是假命题 B．是真命题 

C．是真命题 D．是真命题

【答案】C

【解析】方程表示双曲线，则有，解得，

故命题，方程都表示双曲线为真命题；

抛物线的焦点坐标为，

故命题：抛物线的焦点坐标为是假命题；

所以为真，为假，

则为真，为假，

故选C．

4．下列函数为奇函数的是　　

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】对于，，（1），（1），

函数不是奇函数；

对于，函数定义域为，，

函数为偶函数；

对于，函数定义域为，，

函数为偶函数；

对于，由，得，函数定义域为，

而，

函数为奇函数．

故选D．

5．已知，，，则，，的大小关系为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据指数运算与对数运算的性质，

，，，

设，，

由于函数为增函数，

由于的值接近于4，

所以．

故选：C．

6．在正方体中，异面直线与BD的夹角为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】在正方体中，，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

所以异面直线与夹角等于或其补角，

连接，因为△为正三角形，

所以，

所以异面直线与夹角为．

故选B．

7．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成　　种重卦．

A．6 B．15 C．20 D．1

【答案】C

【解析】每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则有种．

故选C．

8．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若为奇函数，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到，

再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象由，

即，

因为是奇函数，所以，．

解得．

因为，所以当时，的最小值为．

故选D．

9．在圆内任取一点，则该点到直线的距离小于1的概率为　　

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为，

故到直线距离为 1的点在直线上，

则，或（舍去）；

满足圆内到直线的距离小于1的点位于两直线之间的弓形内，

由于圆的半径为2，，；

．

故概率．

故选C．

10．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　

A．， B． C． D．

【答案】B

【解析】由，

得，．

要使有两个极值点，

只需有两个变号根，即有两个变号根．

令，，则，

由得，易知当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减．

所以，

而，，

作出，的图象，可知：

，解得．

故选B．

11．已知为椭圆的中心，为的一个焦点，点在外，，经过的直线与的一个交点为，是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】不妨设，，则，

易知中只能，

是有一个内角为的等腰三角形，则，

将代入椭圆方程得到，即，

解得或（舍去），

故，

故选B．

12．已知函数，．若关于的方程有四个不同的解，则实数的取值集合为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：设，方程有四个不同的解，

，

为偶函数，且当时，为增函数，则当时，为减函数，

，即，

当时，，则，

另，解得，

所以当时，，为减函数，

当时，，为增函数，

又，

作出在时的图像，如图所示：

由图可知，当时，，的图像与图像有2个交点，

作出的图像，如下：

此时与分别与有2个交，即有4个不同的解，

故实数的取值范围为，

故选A．

二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，且，，则的离心率为　　．

【答案】

【解析】可设，，

由，可得，

由双曲线的定义可得，

，

由双曲线的定义可得，

在直角中，可得，

即，

在直角△中，可得，

即为，即，

可得．

故答案为：．

14．已知向量，，且与垂直，则　　．

【答案】

【解析】向量，，

，

垂直，，解得．

故答案为：．

15．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为　　．

【答案】

【解析】由余弦定理可得，，

解可得，，

所以的面积．

故答案为：

16．将满足的封闭图形绕轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为　　．

【答案】8

【解析】将满足的封闭图形绕轴旋转一周所得的几何体

是圆锥，

圆锥的底面半径为：2，高为4，

几何体的主视图图是等腰三角形，

面积为：．

故答案为：8．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分.

17．已知数列的前项和为，，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，，成等比数列，，求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】解：（1）数列的前项和为，，，①，

当时，，②，

①②得：，

所以（首项符合通项），

故．

（2）由于，所以，

故，

由于，，成等比数列，

所以，

解得或（负值舍去），

，

所以．

18．某工厂的工人生产内径为的一种零件，为了了解零件的生产质量，从该厂的1000件零件中抽出50件，测得其内径尺寸如下（单位：

这里用．表示有件尺寸为的零件．

（1）求这50件零件内径尺寸的平均数；

（2）设这50件零件内径尺寸的方差为，试估计该厂1000件零件中其内径尺寸在，内的件数．

参考数据：取．

【答案】（1）25.40；（2）740.

【解析】（1）计算这50个零件内径尺寸的平均数为：

；

（2）计算这50件零件内径尺寸的方差为：

，

所以，

所以，，，

计算这50个零件内径尺寸在，内的件数是，

估计该厂1000件零件中其内径尺寸在，内的件数为．

19．如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接，，

因为，分别是，的中点，

所以，，

又，，

所以平面平面，

又平面，

所以平面．

（Ⅱ）由题意，以为原点，垂直与的直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，0，，，，，，，，，，，

所以，，，，，，，0，，

设平面的一个法向量为，，，

则，取，则，0，，

设平面的一个法向量为，，，

则，取，则，2，，

所以，，

由图象可得二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

20．设为坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，．

（1）求的方程；

（2）过点的直线与交于，两点，若与圆相切，求的面积．

【答案】（1）；（2）16.

【解析】（1）抛物线的焦点为，，准线方程为，

点在上，，可得，，

解得，则的方程为；

（2）由（1）可得，设直线的方程为，

圆的圆心，半径为，

与圆相切，可得，

解得，

则直线的方程为，

联立抛物线方程；可得，

设，，，，则，

可得，

又到直线的距离为，

则的面积为．

21．已知函数，其中．

（1）讨论函数的极值；

（2）设，当时，若不等式对任意，恒成立，求最小值．

【答案】（1）当时，的极小值为（1），无极大值，当时，的极小值为，极大值为（1）；（2）.

【解析】（1）的定义域为，

，

①当，即时，当时，，则函数在上单调递增，

当时，，则函数在上单调递减，有极小值为（1），无极大值；

②当，即时，当，时，，则函数在，上单调递减，

当时，，则函数在上单调递增，

则的极小值为，极大值为（1）．

综上所述：当时，的极小值为（1），无极大值，

当时，的极小值为，极大值为（1）；

（2）当时，，

由，可得，

设，，则，

当时，，

设，则，

在，上单调递增，

又（1），，

存在，，使得，，

，

当时，，，

当，时，，，

函数在上单调递增，在，上单调递减，

得，

函数在区间，上单调递增，

，，

又对任意的，恒成立，，

，

故的最小值为是．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．以直角坐标坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数，射线，分别与曲线交于极点外的三点，，．

（1）求的值；

（2）当时，，两点在曲线上，求与的值．

【答案】（1）；（2），.

【解析】（1）设点、、的极坐标分别为，，，，

由点、、在曲线上得：，，．

所以，．

，

所以．

（2）由曲线的参数方程知，曲线是倾斜角为且过定点的直线，

当时，、两点的极坐标分别为，，，化为直角坐标为，，

所以，直线的斜率为，

所以，又因为直线的方程为：，由点在直线上得：．

23．已知函数，．

（1）若，，求不等式的解集；

（2）设函数的最小值为，当时，求的取值范围．

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1），，，

当时，不等式化为，，此时；

当时，不等式化为，恒成立，此时；

当时，不等式化为，，此时．

综上所述，不等式的解集为，．

（2），，

则，当且仅当，即，时等号成立，

所以的取值范围是．