2020-2021学年第二章 匀变速直线运动的研究4 匀变速直线运动的位移与速度的关系学案设计

4　匀变速直线运动的速度与位移的关系

[学习目标]　1.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系．(重点)2.会应用速度与位移的关系式分析有关问题．(难点)  3．掌握匀变速直线运动中，位移、速度、加速度和时间之间的相互关系．(重点)4.能用匀变速直线运动的规律解决追及相遇等问题．(重点、难点)

1．公式：v2－v＝2ax.

2．推导

速度公式v＝v0＋at.

位移公式x＝v0t＋at2.

可得到速度和位移的关系式：v2－v＝2ax.

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)匀变速直线运动中位移增大时速度一定增大． (×)

(2)匀加速直线运动中速度的二次方v2一定与位移x成正比．(×)

(3)公式v2－v＝2ax只适用于匀变速直线运动． (√)

(4)初速度越大，匀变速直线运动物体的位移一定越大． (×)

(5)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、末速度三个因素有关．  (√)

2．关于公式x＝，下列说法正确的是(　　)

A．此公式只适用于匀加速直线运动

B．此公式适用于匀变速直线运动

C．此公式只适用于位移为正的情况

D．此公式不可能出现a、x同时为负值的情况

B　[公式x＝适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误；当物体做反方向上的匀加速直线运动时，a、x同时为负值，选项D错误．]

3．如图所示，一辆正以8 m/s的速度沿直线行驶的汽车，突然以1 m/s2的加速度匀加速行驶，则汽车行驶了18 m时的速度为(　　)

A．8 m/s　　　　　　　　 B．12 m/s

C．10 m/s   D．14 m/s

C　[由v2－v＝2ax和v0＝8 m/s，

a＝1 m/s2，x＝18 m可求出：

v＝10 m/s，故C正确．]

1．适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动．

2．公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向．

(1)物体做加速运动时，a取正值；做减速运动时，a取负值．

(2)x>0，说明物体位移的方向与初速度的方向相同；x<0，说明物体位移的方向与初速度的方向相反．

3．两种特殊形式

(1)当v0＝0时，v2＝2ax.(初速度为零的匀加速直线运动)

(2)当v＝0时，－v＝2ax.(末速度为零的匀减速直线运动)

【例1】　一隧道限速108 km/h.一列火车长100 m，以144 km/h的速度行驶，驶至距隧道200 m处开始做匀减速运动，以不高于限速的速度匀速通过隧道．若隧道长500 m．求：

(1)火车做匀减速运动的最小加速度的大小；

(2)火车全部通过隧道的最短时间．

思路点拨：①火车匀减速运动的位移为200 m，而匀速通过隧道的位移为100 m＋500 m＝600 m.

②火车到达隧道口的速度为108 km/h时匀减速运动的加速度为最小．

[解析]　(1)火车减速过程中

v0＝144 km/h＝40 m/s，x＝200 m，

v＝108 km/h＝30 m/s

当车头到达隧道口速度恰为108 km/h时加速度最小，设为a

由v2－v＝2ax

得a＝＝ m/s2＝－1.75 m/s2.

(2)火车以108 km/h的速度通过隧道，所需时间最短，火车通过隧道的位移为

100 m＋500 m＝600 m

由x＝vt得t＝＝ s＝20 s.

[答案]　(1)1.75 m/s2　(2)20 s

1．一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s，滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间？

[解析]　利用速度与位移的关系公式和速度公式求解．

由v2－v＝2ax得

a＝＝0.128 m/s2.

由v＝v0＋at得t＝＝25 s.

[答案]　25 s

1.中间位置的速度与初末速度的关系

在匀变速直线运动中，某段位移x的初末速度分别是v0和v，加速度为a，中间位置的速度为v，则根据速度与位移关系式，对前一半位移v2－v＝2a，对后一半位移v2－v2＝2a，即v2－v＝v2－v2，所以v＝.由数学知识知：v＞v＝.

2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例

(1)1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比

v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.

(2)1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比

x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.

(3)第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比

xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．

(4)通过前x、前2x、前3x…位移时的速度之比

v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.

(5)通过前x、前2x、前3x…的位移所用时间之比

t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.

(6)通过连续相等的位移所用时间之比

tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．

【例2】　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4 s末的速度为4 m/s.求：

(1)第6 s末的速度；

(2)前6 s内的位移；

(3)第6 s内的位移．

思路点拨：①小球做初速度为零的匀加速直线运动．

②注意区别前6 s和第6 s的确切含义．

[解析]　(1)由于第4 s末与第6 s末的速度之比

v1∶v2＝4∶6＝2∶3

故第6 s末的速度v2＝v1＝6 m/s.

(2)由v1＝at1得

a＝＝＝1 m/s2.

所以第1 s内的位移

x1＝a×(1 s)2＝0.5 m

第1 s内与前6 s内的位移之比

x1∶x6＝12∶62

故前6 s内小球的位移x6＝36x1＝18 m.

(3)第1 s内与第6 s内的位移之比

xⅠ∶xⅥ＝1∶(2×6－1)＝1∶11

故第6 s内的位移xⅥ＝11xⅠ＝5.5 m.

[答案]　(1)6 m/s　(2)18 m　(3)5.5 m

有关匀变速直线运动推论的选取技巧

(1)对于初速度为零，且运动过程可分为等时间段或等位移段的匀加速直线运动，可优先考虑应用初速度为零的匀变速直线运动的常用推论．

(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，然后用比例关系，可使问题简化．

2．(多选)如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个矩形区域做匀减速运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是(设冰壶可看成质点)(　　)

A．v1∶v2＝2∶1　　　　 B．v1∶v2＝∶1    

C．t1∶t2＝1∶   D．t1∶t2＝(－1)∶1

BD　[初速度为零的匀加速直线运动中连续两段相等位移的时间之比为1∶(－1)，故所求时间之比为(－1)∶1，所以C错误，D正确；由v＝at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为1∶，则所求的速度之比为∶1，故A错误，B正确．]

1．追及问题

(1)追及的特点：两个物体在同一时刻到达同一位置．

(2)追及问题满足的两个关系：

①时间关系：从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等．

②位移关系：x2＝x0＋x1，其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．

(3)临界条件：当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2.

2．相遇问题

(1)特点：在同一时刻两物体处于同一位置．

(2)条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇．

(3)临界状态：避免相互碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零．

【例3】　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．

(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

(2)什么时候汽车追上自行车？此时汽车的速度是多少？

[解析]　(1)解法一：物理分析法　

汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度恒定．当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者间的距离将越来越大，而一旦汽车的速度增加到超过自行车的速度，两车间的距离就将缩小，因此两者速度相等时两车相距最远．由v汽＝at＝v自得t＝＝2 s，Δxmax＝v自t－at2＝6 m.

解法二：用数学求极值方法求解

设汽车在追上自行车之前经时间t两车相距最远．

有Δx＝v自t－at2＝6t－＝－(t－2)2＋6

上式所有物理量均采用国际单位制单位

由二次函数求极值的条件知，t＝2 s时，Δx最大，Δxmax＝6 m.

解法三：用图象法求解

自行车和汽车的v­t图象如图所示，由图可以看出：在相遇之前，在t0时刻两车速度相等时，自行车的位移(矩形面积)与汽车的位移(三角形面积)之差(即横线阴影部分面积)最大，所以，t0＝＝2 s，Δxmax＝×2×6 m＝6 m.

(2)由图可以看出：在t0时刻以后，由汽车的v­t图线与自行车的v­t图线组成的三角形面积(竖线阴影部分面积)与横线阴影部分的面积相等时，两车的位移相等，所以数学关系可得相遇时t′＝2t0＝4 s，v′汽＝2v自＝12 m/s.

[答案]　(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s

解决追及与相遇问题的三种方法

(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系．

(2)图象法：将两者的速度—时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解．

(3)数学分析法：设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇．

3．甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速行驶，甲车在前，乙车在后，它们行驶的速度分别为16 m/s和18 m/s.已知甲车紧急刹车时的加速度a1大小为3 m/s2，乙车紧急刹车时的加速度a2大小为4 m/s2，乙车司机的反应时间为0.5 s，求为保证两车在紧急刹车过程中不相撞，甲、乙两车行驶过程中至少应保持多大距离？

[解析]　设甲车刹车后经时间t甲、乙两车速度相等，则

16－a1t＝18－a2(t－0.5)，所以t＝4 s，

x甲＝16t－a1t2＝40 m，

x乙＝[18×0.5＋18×(t－0.5)－a2(t－0.5)2] m＝47.5 m，

Δx＝x乙－x甲＝7.5 m.

即甲、乙两车行驶过程中至少应保持7.5 m距离．

[答案]　7.5 m

1．美国“华盛顿号”航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知“F－18大黄蜂”型战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5 m/s2，起飞速度为50 m/s，若该飞机滑行100 m时起飞，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为(　　)

A．30 m/s 　B．40 m/s 　C．20 m/s   D．10 m/s

B　[由v－v＝2ax，代入数据解得v0＝40 m/s，B正确．]

2．(多选)甲与乙两个质点向同一方向运动，甲做初速度为零的匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．开始计时时甲、乙位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时，下列判断正确的是(　　)

A．两质点速度相等

B．甲与乙在这段时间内的平均速度相等

C．乙的瞬时速度是甲的2倍

D．甲与乙的位移相同

BD　[由题意可知，二者位移相同，所用的时间也相同，则平均速度相同，再由＝＝v乙，所以甲的瞬时速度是乙的2倍，故选B、D.]

3．物体从长为L的光滑斜面顶端由静止开始下滑，滑到底端时的速率为v，如果物体以v0＝的初速度从斜面底端沿斜面上滑，上滑时的加速度与下滑时的加速度大小相同，则可以达到的最大距离为(　　)

A.       B.      C.   D．L

C　[设加速度大小为a，下滑时v2＝2aL，上滑时0－＝－2aL′，则由以上两式得：L′＝，故C正确．]

4．某一长直的赛道上，有一辆F1赛车，前方200 m处有一安全车正以10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以2 m/s2的加速度追赶．求：

(1)赛车出发3 s末的瞬时速度大小；

(2)赛车经多长时间追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少米？

[解析]　(1)赛车3 s末的速度v1＝a1t1＝2×3 m/s＝6 m/s.

(2)设经t2时间追上安全车，由位移关系得v0t2＋200 m＝a1t，解得t2＝20 s，此时赛车的速度v＝a1t2＝2×20 m/s＝40 m/s.

当两车速度相等时，两车相距最远．

由v0＝a1t3得两车速度相等时，需要的时间t3＝＝ s＝5 s.

两车最远相距

Δx＝v0t3＋200 m－a1t＝ m＝225 m.

[答案]　(1)6 m/s　(2)20 s　225 m