2020-2021学年湖北省襄阳市襄州区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省襄阳市襄州区八年级（下）期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x≥2D．x≤2
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．2+＝2
C．3D．
3．（3分）某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示：商场经理要了解哪种型号最畅销，则下述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
4．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16B．14C．26D．24
5．（3分）下列各曲线表示y是x的函数的是（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣1，y随着x的增大而增大，将它向上平移2个单位长度后得到直线y＝k1x+b，则下列关于直线y＝k1x+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、三象限B．与x轴交于点（1，0）
C．与y轴交于点（0，﹣1）D．y随x的增大而减小
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE度数为（ ）
A．18°B．20°C．30°D．45°
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点D是AC上一点，以AD，BD为邻边作平行四边形ADBE，则对角线DE的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG＝FG；④EA平分∠GEF．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将每小题正确答案写在题中的横线上
11．（3分）若函数y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数，则k＝ ．
12．（3分）如图，函数y＝bx和y＝ax+4的图象相交于点A（1，3），则不等式bx＜ax+4的解集为 ．
13．（3分）已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，则其面积为 cm2．
14．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 ．
15．（6分）若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则样本x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数是 ，方差是 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
三、解答题：（本大题共有9个小题，共72分）解答应写出演算步骤或文字说明，并将答案写在对应的答题区域内
17．（3分）计算下列各题：
（1）÷﹣×+；
（2）（2﹣）（2+）﹣（1﹣）2．
18．（6分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9；
乙：5，9，7，10，9．
（1）填写表格：
（2）根据这5次成绩，你认为推荐谁参加射击比赛更合适，请说明理由．
19．（6分）某快递公司为了给客户提供“安全、快速”的优质服务，购置了一台无人机往返A，B，C三地运输货物，如图所示，幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向，沁苑小区A位于快递站点B的南偏东55°方向，无人机以1千米/分钟的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到A需飞行15分钟．请求出无人机从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间．
20．（7分）某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|的图象性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整．
（1）列表：
其中，a＝ ；
（2）描点并连线，画出该函数的图象；
（3）探索函数的性质：
①根据函数图象可得，当 时，y随着x的增大而增大，当 时，y随着x的增大而减小；
②根据函数图象可得，该函数的最小值为 ．
③请你再写一条函数图象的性质： ．
21．（6分）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形PAOC的面积．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）请你过点D作DF⊥BC于点F（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形AEFD是矩形；
（2）连接AF，DE，若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
23．（10分）2021年“五一”黄金周期间，某草莓基地的甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，为了吸引顾客，两家采摘园相继推出不同的优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为y甲（元），在乙园所需总费用为y乙（元），y甲、y乙与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示y乙与x之间的函数关系．
（1）甲采摘园的门票是 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 元；
（2）当x＞10时，求y乙与x的函数表达式；
（3）某游客在“五一期间”去采摘草莓，如何选择这两家草莓园去采摘更省钱？
24．（11分）已知矩形ABCD中，点E为AD上一点连接BE、CE，∠BCE的平分线与AD交于点H，HG垂直平分BE，连接BH．
（1）如图1，
①求证：△ABH≌△DCE；
②若AE＝8，BE＝10，求△EHC的面积；
（2）如图2，若∠ECD＝30°，F是CE的中点，连接GF，判断四边形GFEH的形状，并证明．
25．（12分）如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（a，b），且a，b满足于+|b﹣8|＝0，点D在CO上，连接BD，矩形OABC沿直线BD折叠，点C的对应点为点E，连接BE，DE．过点C作CF∥DE交BD于点F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形CDEF为菱形；
（2）如图2，当点C的对应点E正好落在对角线OB上时，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，将线段CF沿着CB的方向向右平移n个单位，且满足线段CF与矩形OABC的边有两个公共点时，直接写出点F的坐标和n的取值范围．
2020-2021学年湖北省襄阳市襄州区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填入题后的括号内
1．（3分）使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≤1C．x≥2D．x≤2
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．
【解答】解：使式子有意义，
则x﹣2≥0，即x≥2时．
使式子有意义的x的值是x≥2．
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．2+＝2
C．3D．
【分析】根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．
B、2与不是同类二次根式，故不能合并，故B不符合题意．
C、
＝，
故C不符合题意．
D、
＝
＝，
故D符合题意．
故选：D．
3．（3分）某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示：商场经理要了解哪种型号最畅销，则下述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是（ ）
A．平均数B．众数C．中位数D．方差
【分析】商场经理要了解哪些型号最畅销，所关心的即为众数．
【解答】解：根据题意知：对商场经理来说，最有意义的是各种型号的衬衫的销售数量，即众数．
故选：B．
4．（3分）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝8，BE＝3，则▱ABCD的周长是（ ）
A．16B．14C．26D．24
【分析】首先由在▱ABCD中，AD＝8，BE＝3，求得CE的长，然后由DE平分∠ADC，证得△CED是等腰三角形，继而求得CD的长，则可求得答案．
【解答】解：∵在▱ABCD中，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，AD∥BC，
∴CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，∠ADE＝∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CD＝CE＝5，
∴▱ABCD的周长是：2（AD+CD）＝26．
故选：C．
5．（3分）下列各曲线表示y是x的函数的是（ ）
A．①B．①②C．①②③D．①②③④
【分析】根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
【解答】解：①、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故①符合题意；
②、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故②符合题意；
③、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，y是x的函数，故③符合题意；
④、对于x的每一个取值，y没有唯一的值，y不是x的函数，故④不符合题意；
故选：C．
6．（3分）已知一次函数y＝kx﹣1，y随着x的增大而增大，将它向上平移2个单位长度后得到直线y＝k1x+b，则下列关于直线y＝k1x+b的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、三象限B．与x轴交于点（1，0）
C．与y轴交于点（0，﹣1）D．y随x的增大而减小
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1，y随着x的增大而增大，
∴k＞0，
将直线y＝kx﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y＝kx﹣1+2＝kx+1，
∴k1＝k＞0，b＝1，
∴直线y＝k1x+b经过第一、二、三象限，y随x的增大而增大，故A正确，D错误；
当x＝0时，y＝1，
直线y＝k1x+b与y轴的交点为（0，1），故C错误；
当y＝0时，x＝﹣，
∴直线y＝k1x+b与x轴的交点为（﹣，0），故B错误；
故选：A．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC交BC于E，∠ADB：∠CDB＝2：3，则∠BDE度数为（ ）
A．18°B．20°C．30°D．45°
【分析】根据矩形的性质得到∠ADC＝90°，由∠ADB：∠CDB＝2：3，得到∠ADB＝36°根据等腰三角形的性质得到∠OAD＝∠ADB＝36°，求得∠DOC＝72°．根据三角形的内角和定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形；
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADB：∠CDB＝2：3，
∴∠ADB＝36°
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADB＝36°，
∴∠DOC＝72°．
∵DE⊥AC，
∴∠BDE＝90°﹣∠DOC＝18°，
故选：A．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，点D是AC上一点，以AD，BD为邻边作平行四边形ADBE，则对角线DE的最小值是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥AC时，线段DE取最小值．
【解答】解：如图，AB与DE相交于点O，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AC．
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD＝OE，OA＝OB．
∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥AC．
∴OD∥CB．
又点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝CB，
∵∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝＝6（cm），
∴OD＝3cm，
∴ED＝2OD＝6．
故选：B．
9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象．
【解答】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y＝×2x＝x，
当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y＝×2×2＝2，
符合题意的函数关系的图象是A；
故选：A．
10．（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE⊥AC；③EG＝FG；④EA平分∠GEF．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OB＝BC，再由等腰三角形的性质可判断②正确；然后由直角三角形的斜边上的中线性质和三角形中位线定理判断③错误，可证四边形BGFE是平行四边形，判断①正确，最后由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO＝BD，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，
又∵BD＝2AD，
∴OB＝BC＝OD＝DA，
∵点E是OC中点，
∴BE⊥AC，故②正确；
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF是△OCD的中位线，
∴EF∥CD，EF＝CD＝AB，
∴EF∥AB，
∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，
∴EG＝AB＝AG＝BG，
∴EG＝EF＝AG＝BG，
∴四边形BEFG是平行四边形，故①正确；
无法证明GE＝GF，故③错误；
∵EF∥CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACD＝∠AEF，
∵AG＝GE，
∴∠GAE＝∠AEG，
∴∠AEG＝∠AEF，
∴AE平分∠GEF，故④正确；
故选：C．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）请将每小题正确答案写在题中的横线上
11．（3分）若函数y＝（k﹣1）x|k|是正比例函数，则k＝ ﹣1 ．
【分析】根据正比例函数的定义，可得k﹣1≠0，|k|＝1，从而求出k值．
【解答】解：∵根据正比例函数的定义，
可得：k﹣1≠0，|k|＝1，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．（3分）如图，函数y＝bx和y＝ax+4的图象相交于点A（1，3），则不等式bx＜ax+4的解集为 x＜1 ．
【分析】由图象可以知道，当x＝1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式bx＜ax+4的解集．
【解答】解：两个条直线的交点坐标为（1，3），
当x＜1时，
直线y＝ax+4在直线y＝bx的上方，
当x＞1时，
直线y＝ax+4在直线y＝bx的下方，
故不等式bx＜ax+4的解集为x＜1．
故答案为：x＜1．
13．（3分）已知菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，则其面积为 24 cm2．
【分析】根据菱形的性质结合勾股定理得出BD的长，进而利用菱形面积公式求出答案．
【解答】解：如图所示：
∵菱形ABCD的边长为5cm，对角线AC＝6cm，
∴AO＝CO＝3cm，则BO＝＝4（cm），
则BD＝8cm，
则其面积为：×6×8＝24（cm2）．
故答案为：24．
14．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是 30°或150° ．
【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．
【解答】解：如图1，
∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE，
∴∠AEB＝∠CED＝15°，
则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°．
如图2，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，
∴DE＝DC，
∴∠CED＝∠ECD，
∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠CED＝∠ECD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°．
故答案为：30°或150°．
15．（6分）若样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，则样本x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数是 13 ，方差是 2 ．
【分析】利用平均数与方差的性质分别分析得出即可．
【解答】解：∵样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为10，方差为2，
∴样本x1+3，x2+3，x3+3，…，xn+3的平均数为10+3＝13，方差不变为2．
故答案为：13，2．
16．（3分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是 ．
【分析】根据正方形的性质求出AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出AM＝4，FM＝2，∠AMF＝90°，根据正方形性质求出∠ACF＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CH＝AF，根据勾股定理求出AF即可．
【解答】解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，
∴AB＝BC＝1，CE＝EF＝3，∠E＝90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，
则AM＝BC+CE＝1+3＝4，FM＝EF﹣AB＝3﹣1＝2，∠AMF＝90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD＝∠GCF＝45°，
∴∠ACF＝90°，
∵H为AF的中点，
∴CH＝AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴CH＝，
故答案为：．
三、解答题：（本大题共有9个小题，共72分）解答应写出演算步骤或文字说明，并将答案写在对应的答题区域内
17．（3分）计算下列各题：
（1）÷﹣×+；
（2）（2﹣）（2+）﹣（1﹣）2．
【分析】（1）根据二次根式的加减运算以及乘除运算即可求出答案．
（2）根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣+2
＝4+．
（2）原式＝4﹣3﹣（1﹣2+2）
＝1﹣（3﹣2）
＝1﹣3+2
＝2﹣2．
18．（6分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：
甲：8，8，7，8，9；
乙：5，9，7，10，9．
（1）填写表格：
（2）根据这5次成绩，你认为推荐谁参加射击比赛更合适，请说明理由．
【分析】（1）根据众数、平均数和中位数的定义分别进行解答即可；
（2）根据根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．
【解答】解：（1）甲的众数：8；
乙平均数是：＝8；
乙的众数是9；
乙的中位数是9；
故答案为：8，8，9，9，；
（2）因为甲、乙射击成绩的平均数一样，但甲的方差较小，说明甲的成绩比较稳定，因此推荐甲更合适．
19．（6分）某快递公司为了给客户提供“安全、快速”的优质服务，购置了一台无人机往返A，B，C三地运输货物，如图所示，幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向，沁苑小区A位于快递站点B的南偏东55°方向，无人机以1千米/分钟的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到A需飞行15分钟．请求出无人机从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间．
【分析】首先得到∠CBD是直角，然后利用勾股定理求得斜边CD的长，从而求得CA段路程行驶时间．
【解答】解：∵幸福小区C位于快递站点B的北偏东35°方向，沁苑小区D位于B的南偏东55°方向，
∴∠CBA＝90°，
∵无人机以1千米/分钟的速度配送快递时，从B到C需飞行8分钟，从B到A需飞行15分钟，
∴BC＝8km，BA＝15km，
∴由勾股定理得：CA＝＝17（km），
∵无人机以1千米/分钟的速度配送快递，
∴17÷1＝17（分钟），
答：从幸福小区C飞到沁苑小区A所需要的时间为17分钟．
20．（7分）某数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝|x﹣1|的图象性质进行了探究，下面是该小组的探究过程，请补充完整．
（1）列表：
其中，a＝ 2 ；
（2）描点并连线，画出该函数的图象；
（3）探索函数的性质：
①根据函数图象可得，当 x≥1 时，y随着x的增大而增大，当 x≤1 时，y随着x的增大而减小；
②根据函数图象可得，该函数的最小值为 0 ．
③请你再写一条函数图象的性质： 函数y＝|x﹣1|的图象关于直线x＝1对称（答案不唯一） ．
【分析】（1）把x＝﹣1代入即可得答案；
（2）按要求描点、连线，画出图象即可；
（3）①观察函数图象即可得答案；
②观察函数图象即可得到答案；
③根据函数图象可得：函数y＝|x﹣1|的图象关于直线x＝1对称，函数y＝|x﹣1|的图象与y轴交点为（0，1）等，即可得答案．
【解答】解：（1）把x＝﹣1代入得：a＝|﹣1﹣1|＝2，
故答案为：2；
（2）根据列表，描点、连线，画出图象如下：
（3）①当x≥1时，y随x增大而增大，当x≤1时，y随x增大而减小，
故答案为：x≥1，x≤1；
②由图象可知，（1，0）是图象的最低点，即x＝1时，y最小为0，
故答案为：0；
③答案不唯一，如：函数y＝|x﹣1|的图象关于直线x＝1对称，函数y＝|x﹣1|的图象与y轴交点为（0，1）等，
故答案为：函数y＝|x﹣1|的图象关于直线x＝1对称（答案不唯一）．
21．（6分）如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y＝2x+4相交于点P（﹣1，a）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）求四边形PAOC的面积．
【分析】（1）由点P（﹣1，a）在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式；
（2）根据面积差可得结论．
【解答】解：（1）∵点P（﹣1，a）在直线l2：y＝2x+4上，
∴2×（﹣1）+4＝a，即a＝2，
则P的坐标为（﹣1，2），
设直线l1的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
那么，
解得：．
∴l1的解析式为：y＝﹣x+1．
（2）∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，1），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（﹣2，0），则AB＝3，
而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，
∴S四边形PAOC＝．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）请你过点D作DF⊥BC于点F（保留作图痕迹，不写作法），并证明四边形AEFD是矩形；
（2）连接AF，DE，若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．
【分析】（1）利用基本作图求解；
（2）如图2，连接AF，DE，根据矩形的性质得到AF＝DE＝8，根据勾股定理的逆定理得到∠BAF＝90°，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，连接AF，DE，
∵四边形AEFD是矩形，
∴AF＝DE＝8，
∵AB＝6，BF＝10，
∴AB2+AF2＝62+82＝102＝BF2，
∴∠BAF＝90°，
∵AE⊥BC，
∴S△ABF＝AB•AF＝AE•BF，
∴AE＝＝＝．
23．（10分）2021年“五一”黄金周期间，某草莓基地的甲、乙两家草莓采摘园的草莓销售价格相同，为了吸引顾客，两家采摘园相继推出不同的优惠方案，甲园的优惠方案是：游客进园需购买门票，采摘的草莓六折优惠；乙园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲园所需总费用为y甲（元），在乙园所需总费用为y乙（元），y甲、y乙与x之间的函数关系如图所示，其中折线OAB表示y乙与x之间的函数关系．
（1）甲采摘园的门票是 60 元，两个采摘园优惠前的草莓单价是每千克 30 元；
（2）当x＞10时，求y乙与x的函数表达式；
（3）某游客在“五一期间”去采摘草莓，如何选择这两家草莓园去采摘更省钱？
【分析】（1）根据函数图象和图象中的数据可以解答本题；
（2）根据函数图象中的数据可以求得当x＞10时，y乙与x的函数表达式；
（3）根据函数图象，利用分类讨论的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲采摘园的门票是60元，两个采摘园优惠前的草莓单价是：300÷10＝30（元/千克），
故答案为：60，30；
（2）当x＞10时，设y乙与x的函数表达式是y乙＝kx+b，
，
解得，
即当x＞10时，y乙与x的函数表达式是y乙＝12x+180；
（3）由题意可得，
y甲＝60+30×0.6x＝18x+60，
当0＜x＜10时，令18x+60＝30x，得x＝5，
当x＞10时，令12x+180＝18x+60，得x＝20，
答：采摘5千克或20千克草莓时，甲、乙两家采摘园的总费用相同．
24．（11分）已知矩形ABCD中，点E为AD上一点连接BE、CE，∠BCE的平分线与AD交于点H，HG垂直平分BE，连接BH．
（1）如图1，
①求证：△ABH≌△DCE；
②若AE＝8，BE＝10，求△EHC的面积；
（2）如图2，若∠ECD＝30°，F是CE的中点，连接GF，判断四边形GFEH的形状，并证明．
【分析】（1）①根据线段垂直平分线的性质得到HB＝HE，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到EC＝EH，进而证明HB＝EC，根据直角三角形全等的判定定理证明结论；
②根据勾股定理列方程求出EH，根据三角形的面积公式计算，得到答案；
（2）根据三角形中位线定理得到GF∥BC，GF＝BC，根据含30°角的直角三角形的性质得到DE＝EC，进而证明EH＝GF，根据平行四边形的判定定理证明结论．
【解答】（1）①证明：∵HG垂直平分BE，
∴HB＝HE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，
∴∠EHC＝∠BCH，
∵CH平分∠BCE，
∴∠ECH＝∠BCH，
∴∠EHC＝∠ECH，
∴EC＝EH，
∴HB＝EC，
在Rt△ABH和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABH≌Rt△DCE（HL）；
②解：设HE＝x，则AH＝8﹣x，HB＝x，
在Rt△ABE中，AE＝8，BE＝10，
由勾股定理得：AB＝＝＝6，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：HB2＝AH2+AB2，即x2＝（8﹣x）2+62，
解得：x＝，即HE＝，
∴△EHC的面积＝×HE×AB＝××6＝；
（2）解：四边形GFEH为平行四边形，
理由如下：∵EG＝GB，EF＝FC，
∴GF是△EBC的中位线，
∴GF∥BC，GF＝BC，
∴GF∥AD，
在Rt△ECD中，∠ECD＝30°，
∴DE＝EC，
∵EC＝EH，
∴DE＝EH，
∵△ABH≌Rt△DCE，
∴AH＝DE，
∴HE＝AH+DE，即EH＝AD，
∴EH＝GF，
∴四边形GFEH为平行四边形．
25．（12分）如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（a，b），且a，b满足于+|b﹣8|＝0，点D在CO上，连接BD，矩形OABC沿直线BD折叠，点C的对应点为点E，连接BE，DE．过点C作CF∥DE交BD于点F，连接EF．
（1）如图1，求证：四边形CDEF为菱形；
（2）如图2，当点C的对应点E正好落在对角线OB上时，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，将线段CF沿着CB的方向向右平移n个单位，且满足线段CF与矩形OABC的边有两个公共点时，直接写出点F的坐标和n的取值范围．
【分析】（1）由CF∥DE，得∠CFD＝∠EDF，由折叠得∠EDF＝∠CDF，从而∠CFD＝∠CDF，故可知CF＝CD＝ED＝EF，得证菱形；
（2）先求a、b的值，得到对应的线段，设OD＝x，由△ODE是直角三角形，通过勾股定理求出x，结合点B、D的坐标用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）当点F落在AB上时，线段CF开始与矩形OABC有两个交点，当点C落在点B时，线段CF与矩形OABC不再有两个交点，得到n的取值范围．
【解答】（1）证明：∵CF∥DE，
∴∠CFD＝∠EDF，
由折叠得：∠EDF＝∠CDF，CF＝EF，CD＝DE，
∴∠CFD＝∠CDF，
∴CF＝EF＝CD＝DE，
∴四边形CDEF是菱形．
（2）解：∵+|b﹣8|＝0，
∴a＝6，b＝8，
∴B（6，8），
∴OC＝AB＝8，OA＝BC＝6，
∴OB＝10，
设OD＝x，则：CD＝8﹣x，
由折叠得：DE＝CD＝8﹣x，BE＝CB＝6，∠DEO＝∠DEB＝∠DCB＝90°，
∴OE＝10﹣6＝4，OE2+DE2＝OD2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴D（0，5），
设直线BD的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
把点B（6，8），D（0，5）代入，得：，
解得：，
∴直线BD的解析式为：y＝x+5．
（3）解：由（1）、（2）知，CF＝CD＝3，
过点F作FM⊥CD于点M，
设F（a，a+5），则：M（0，a+5），
∴CM＝8﹣（a+5）＝3﹣a，MF＝a，
∵CM2+MF2＝CF2，
∴（3﹣a）2+a2＝32，
解得：a1＝0（舍），a2＝，
∴F（，），
当点F移动到线段AB上时，线段CF与矩形OABC有两个交点，
∴n＝6﹣MF＝6﹣＝，
当点C移动到点B时，线段CF与矩形OABC只有一个交点，
∴n＝6，
∴≤n＜6．
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8

平均数
众数
中位数
方差
甲
8

8
0.4
乙



3.2
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
a
1
0
1
2
…
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8

平均数
众数
中位数
方差
甲
8
8
8
0.4
乙
8
9
9
3.2
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
a
1
0
1
2
…