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2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷，共30页。
2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答卷卡上将对应题目正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．4cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，7cm D．3cm，5cm，10cm
3．（3分）（2020秋•江汉区期末）点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
4．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2021春•岱岳区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
6．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
7．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2020秋•江汉区期末）2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合；
②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上．
正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）（2011•东阳市模拟）分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）（2019•婺城区模拟）某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为 米．
13．（3分）（2020秋•江汉区期末）如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正 边形．
14．（3分）（2020秋•江汉区期末）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是 ．
15．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ ．
16．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为 （用含a，b的式子表示）．
三、解答题（共5小题，第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17．（10分）（2020秋•江汉区期末）计算：
（1）[3a2•a4﹣（a3）2]÷a3；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2．
18．（10分）（2020秋•江汉区期末）因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）；
（2）x4﹣x2．
19．（10分）（2021春•浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 个等腰三角形．
20．（10分）（2020秋•江汉区期末）（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
21．（12分）（2020秋•江汉区期末）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等；
②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有 个．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定位置.
22．（4分）（2020秋•江汉区期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ．
23．（4分）（2020秋•江汉区期末）若a2﹣＝3，则a2+＝ ；＝ ．
24．（4分）（2020秋•江汉区期末）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为 ．
25．（4分）（2020秋•江汉区期末）如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．
若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为 ；
若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为 ．
五、解答题（共3小题，第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．（10分）（2021•哈尔滨模拟）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
27．（12分）（2020秋•江汉区期末）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为 （直接写出结果）．
28．（12分）（2020秋•江汉区期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．
2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答卷卡上将对应题目正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．4cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，7cm D．3cm，5cm，10cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、5+6＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5＝8＜10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．（3分）（2020秋•江汉区期末）点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点可得答案．
【解答】解：点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣4），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
4．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【解答】解：A.＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.＝＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D．是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
5．（3分）（2021春•岱岳区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴底角是×（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100°的角只能是顶角．
6．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、（﹣）0＝1，故此选项错误；
B、（﹣）﹣1＝﹣2，故此选项错误；
C、（﹣）﹣2＝4，故此选项正确；
D、（﹣）﹣3＝﹣8，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂，正确化简各数是解题关键．
8．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、≠，故A的值有变化．
B、＝≠，故B的值有变化．
C、＝，故C的值不变．
D、＝≠，故D的值有变化．
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
9．（3分）（2020秋•江汉区期末）2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可．
【解答】解：2019年的增长率是：，
2020年的增长率是：，
则2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了：﹣＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出增长率是解题关键．
10．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合；
②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上．
正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据等腰三角形、角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：①等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题；
②在角的内部，到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原命题是假命题；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）（2011•东阳市模拟）分式有意义，则x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0．
【解答】解：分式有意义，则x+2≠0，所以x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得x的值即可．
12．（3分）（2019•婺城区模拟）某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为 1.6×10﹣5 米．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000016米＝1.6×10﹣5．
故答案为：1.6×10﹣5．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（3分）（2020秋•江汉区期末）如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正 二十 边形．
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是162°，
∴它的外角是：180°﹣162°＝18°，
边数n＝360°÷18°＝20．
故答案为：二十．
【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
14．（3分）（2020秋•江汉区期末）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是 64 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵x2+16x+k是一个完全平方式，
∴16＝2，
解得k＝64．
故答案是：64．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
15．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ 115° ．
【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，由三角形的内角和定理可求出x+y＝65°，则可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．
16．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为 2b﹣a （用含a，b的式子表示）．
【分析】过D点作DE⊥AB于E，作DF∥AB交BC于F，过F点作FG⊥AB于G，分别求出AE，DF，BG，可得EG＝DF，进一步求得AB的长．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，作DF∥AB交BC于F，过F点作FG⊥AB于G，
∴BF＝AD＝a，∠AFD＝∠B＝60°，
∴CF＝BC﹣BF＝b﹣a，
∵∠C＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∴DF＝2CF＝2（b﹣a），
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝a，
∵∠B＝60°，
∴∠BFG＝30°，
∴BG＝BF＝a，
∴EG＝DF＝2（b﹣a），
∴AB＝AE+EG+BG＝a+2（b﹣a）+a＝2b﹣a．
解法二：延长AD交BC的延长线于E，则△DEC是等边三角形．
设AB＝AE＝BE＝x，则DE＝x﹣a，EC＝x﹣b，
∵∠E＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∴DE＝2EC，
∴x﹣a＝2（x﹣b）＜
∴x＝2b﹣a，
∴AB＝2b﹣a．
故答案为：2b﹣a．
【点评】考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性质，关键是作出辅助线，求出AE，DF，BG．
三、解答题（共5小题，第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17．（10分）（2020秋•江汉区期末）计算：
（1）[3a2•a4﹣（a3）2]÷a3；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2．
【分析】（1）先算括号内的乘方，再合并同类项，最后算除法即可；
（2）先根据乘法公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）[3a2⋅a4﹣（a3）2]÷a3
＝（3a6﹣a6）÷a3
＝2a6÷a3
＝2a3；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2
＝x2﹣1﹣x2+2x﹣1
＝2x﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．（10分）（2020秋•江汉区期末）因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）；
（2）x4﹣x2．
【分析】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）
＝2（m+n）（3m﹣2n）；
（2）x4﹣x2
＝x2（x2﹣1）
＝x2（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（10分）（2021春•浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 5 个等腰三角形．
【分析】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论．
（2）根据等腰三角形的定义，判断即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠D．
（2）图中共有5个等腰三角形．
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，
∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．
故答案为：5．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（10分）（2020秋•江汉区期末）（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；
（2）先方程两边同时乘以（x﹣2）得出2x＝x﹣2+1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝，
当a＝2020时，原式＝；
（2）两边同时乘以（x﹣2）得：
2x＝x﹣2+1，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，解分式方程等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
21．（12分）（2020秋•江汉区期末）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等；
②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有 5 个．
【分析】（1）①根据全等三角形的判定画出图形即可．
②根据平移的性质画出图形即可．
③根据轴对称的性质画出图形即可．
（2）根据轴对称的性质画出图形即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，△MNP即为所求作．
②如图2中，△MDE即为所求作．
③如图3中，△NFG即为所求作．
～
（2）如图4中，有5个三角形．
故答案为：5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，全等三角形的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定位置.
22．（4分）（2020秋•江汉区期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 m＜2且m≠1 ．
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：，
方程两边同时乘（x﹣1）得x﹣2（x﹣1）＝m，
解得x＝﹣m+2．
∵x为正数，
∴﹣m+2＞0，
解得m＜2．
∵x≠1，
∴﹣m+2≠1，即m≠1．
∴m的取值范围为m＜2且m≠1．
故答案为：m＜2且m≠1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
23．（4分）（2020秋•江汉区期末）若a2﹣＝3，则a2+＝ ；＝ 1 ．
【分析】将已知等式两边平方得出a4+＝11，将其代入（a2+）2＝a4+2+，继而可得其值；将已知等式代入＝可得答案．
【解答】解：∵a2﹣＝3，
∴（a2﹣）2＝9，即a4﹣2+＝9，
则a4+＝11，
∴（a2+）2＝a4+2+＝13，
则a2+＝（负值舍去），
＝＝＝1，
故答案为：，1．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值、完全平方公式，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
24．（4分）（2020秋•江汉区期末）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为 62.5°或70°或80°或150° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵∠BDE＝15°，
∴∠AED＝55°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝55°，
∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝55°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠EDP2＝150°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝（180°﹣55°）＝62.5°．
故答案为：62.5°或70°或80°或150°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（4分）（2020秋•江汉区期末）如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．
若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为 （0，1） ；
若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为 （3.5，0） ．
【分析】（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时AD′+D′E′+BE′的值最小，
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．因为AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，同侧AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，由AD+CF＝+，同侧欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N（5，﹣1）的距离和最小（如图1中）．
【解答】解：（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时AD′+D′E′+BE′的值最小，
观察图像可知E′（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．
∵AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，
∴AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，
∵AD+CF＝+，
∴欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N（5，﹣1）的距离和最小（如图1中），
连接MN交x轴于P，此时PM+PN的值最小，观察图像可知P（3.5，0），
∴E（3.5，0）．
故答案为：（3.5，0）．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标与图形变化﹣平移等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
五、解答题（共3小题，第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．（10分）（2021•哈尔滨模拟）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
【分析】（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为（150﹣2t）天，由题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．
依题意，得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解，
则2x＝80
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为＝（150﹣2t）天，
依题意：1.5t+0.9（150﹣2t）≤120，
解得：t≥50，
∴甲至少要筑路50天．
【点评】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系列出方程或不等式是解决问题的关键．
27．（12分）（2020秋•江汉区期末）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为 1或5 （直接写出结果）．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：△BPE为等边三角形，则∠CBE＝60°，故∠ABE＝90°；
（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，构造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形（Rt△PGB≌Rt△PHE），根据含30度的直角三角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；
（3）分两种情形，分别求解即可．
【解答】（1）解：如图1，∵点P与点C重合，CD是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∴∠BPE＝∠PAB+∠PBA＝60°，
∵PB＝PE，
∴△BPE为等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∴∠ABE＝90°；
（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，
∵CD垂直平分AB，
∴CA＝CB．
∵∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°．
∴∠GCP＝∠HCP＝∠BCE＝∠ACD＝∠BCD＝60°．
∴PG＝PH，CG＝CH＝CP，CD＝AC．
在Rt△PGB和Rt△PHE中，
．
∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．
∴BG＝EH，即CB+CG＝CE﹣CH．
∴CB+CP＝CE﹣CP，即CB+CP＝CE．
又∵CB＝AC，
∴CP＝PD﹣CD＝PD﹣AC．
∴PD+AC＝CE；
（3）如图3，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC于G，
此时Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．
∴BG＝EH，即CB﹣CG＝CE+CH．
∴CB﹣CP＝CE+CP，即CP＝CB﹣CE＝6﹣2＝4．
又∵CB＝AC，
∴PD＝CP﹣CD＝4﹣3＝1．
如图4，
同理，PC＝EC+BC＝8，
PD＝PC﹣CD＝8﹣3＝5．
故答案是：1或5．
【点评】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨论．
28．（12分）（2020秋•江汉区期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可．
（2）①想办法证明∠PBF＝∠F，可得结论．
②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，证明△FQH≌△QBO（AAS），再证明FQ＝FP即可解决问题．
【解答】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，
∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，
∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，
∴a+2b＝0，a+1＝0，
∴a＝﹣1，b＝，
∴A（﹣1，0）B（0，）．
（2）①证明：如图1中，
∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵D与P关于y轴对称，
∴BD＝BP，
∴∠BDP＝∠BPD，
设∠BDP＝∠BPD＝α，
则∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，
∵PE⊥DB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠F＝90o﹣∠EBF，
又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，
∴∠F＝45o+α，
∴∠PBF＝∠F，
∴PB＝PF．
②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，
∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，
∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，
∴∠BQO＝∠QFH，
∵QB＝QF，
∴△FQH≌△QBO（AAS），
∴HQ＝OB＝OA，
∴HO＝AQ＝PC，
∴PH＝OC＝OB＝QH，
∴FQ＝FP，
又∠BFQ＝45°
∴∠APB＝22.5°．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答卷卡上将对应题目正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．4cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，7cm D．3cm，5cm，10cm
3．（3分）（2020秋•江汉区期末）点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
4．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2021春•岱岳区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
6．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
7．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2020秋•江汉区期末）2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合；
②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上．
正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）（2011•东阳市模拟）分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）（2019•婺城区模拟）某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为 米．
13．（3分）（2020秋•江汉区期末）如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正 边形．
14．（3分）（2020秋•江汉区期末）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是 ．
15．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ ．
16．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为 （用含a，b的式子表示）．
三、解答题（共5小题，第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17．（10分）（2020秋•江汉区期末）计算：
（1）[3a2•a4﹣（a3）2]÷a3；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2．
18．（10分）（2020秋•江汉区期末）因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）；
（2）x4﹣x2．
19．（10分）（2021春•浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 个等腰三角形．
20．（10分）（2020秋•江汉区期末）（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
21．（12分）（2020秋•江汉区期末）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等；
②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有 个．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定位置.
22．（4分）（2020秋•江汉区期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 ．
23．（4分）（2020秋•江汉区期末）若a2﹣＝3，则a2+＝ ；＝ ．
24．（4分）（2020秋•江汉区期末）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为 ．
25．（4分）（2020秋•江汉区期末）如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．
若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为 ；
若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为 ．
五、解答题（共3小题，第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．（10分）（2021•哈尔滨模拟）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
27．（12分）（2020秋•江汉区期末）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为 （直接写出结果）．
28．（12分）（2020秋•江汉区期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．
2020-2021学年湖北省武汉市江汉区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请用2B铅笔在答卷卡上将对应题目正确答案的代号涂黑．
1．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列各组长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm B．4cm，4cm，8cm
C．5cm，6cm，7cm D．3cm，5cm，10cm
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、4+5＝9，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4＝8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、5+6＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5＝8＜10，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．（3分）（2020秋•江汉区期末）点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4）
【分析】利用关于x轴对称的点的坐标特点可得答案．
【解答】解：点M（﹣3，4）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣4），
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，关键是掌握关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
4．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【解答】解：A.＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.＝＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.＝，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D．是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
5．（3分）（2021春•岱岳区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为（ ）
A．50° B．40° C．40°或100° D．50°或100°
【分析】先判断出100°的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答．
【解答】解：∵等腰三角形的一个角100°，
∴100°的角是顶角，
∴底角是×（180°﹣100°）＝40°，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，需要注意100°的角只能是顶角．
6．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（ ）
A．HL B．SAS C．SSS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL，做题时注意选择．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、（﹣）0＝1，故此选项错误；
B、（﹣）﹣1＝﹣2，故此选项错误；
C、（﹣）﹣2＝4，故此选项正确；
D、（﹣）﹣3＝﹣8，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂、零指数幂，正确化简各数是解题关键．
8．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、≠，故A的值有变化．
B、＝≠，故B的值有变化．
C、＝，故C的值不变．
D、＝≠，故D的值有变化．
故选：C．
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
9．（3分）（2020秋•江汉区期末）2018年、2019年、2020年某地的森林面积（单位：km2）分别是S1，S2，S3，2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别表示出两年的增长率，然后求差，进行分式的减法运算即可．
【解答】解：2019年的增长率是：，
2020年的增长率是：，
则2020年与2019年相比，森林面积的增长率提高了：﹣＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了列代数式，正确表示出增长率是解题关键．
10．（3分）（2020秋•江汉区期末）下列命题：
①等腰三角形的高、中线和角平分线重合；
②到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上．
正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据等腰三角形、角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可．
【解答】解：①等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线互相重合，原命题是假命题；
②在角的内部，到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，原命题是假命题；
③到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上，是真命题；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定的位置．
11．（3分）（2011•东阳市模拟）分式有意义，则x的取值范围是 x≠﹣2 ．
【分析】要使分式有意义，分式的分母不能为0．
【解答】解：分式有意义，则x+2≠0，所以x≠﹣2．
故答案为：x≠﹣2．
【点评】解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得x的值即可．
12．（3分）（2019•婺城区模拟）某桑蚕丝的直径约为0.000016，将“0.000016米”用科学记数法可表示为 1.6×10﹣5 米．
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000016米＝1.6×10﹣5．
故答案为：1.6×10﹣5．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（3分）（2020秋•江汉区期末）如果一个正多边形的一个内角是162°，则这个正多边形是正 二十 边形．
【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是162°，
∴它的外角是：180°﹣162°＝18°，
边数n＝360°÷18°＝20．
故答案为：二十．
【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．
14．（3分）（2020秋•江汉区期末）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是 64 ．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵x2+16x+k是一个完全平方式，
∴16＝2，
解得k＝64．
故答案是：64．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
15．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，在△ABC中，D，E分别在边CB和BC的延长线上，BD＝BA，CE＝CA，若∠BAC＝50°，则∠DAE＝ 115° ．
【分析】由AB＝BD，AC＝CE，可得∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，由三角形的内角和定理可求出x+y＝65°，则可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BD，AC＝CE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠E＝∠CAE，
设∠BAD＝∠BDA＝x，∠E＝∠CAE＝y，
∴∠ABC＝∠BAD+∠BDA＝2x，∠ACB＝∠E+∠CAE＝2y，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴2x+2y+50°＝180°，
∴x+y＝65°，
∴∠DAE＝∠DAB+∠CAE+∠BAC＝65°+50°＝115°．
故答案为：115°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式正确解答本题的关键．
16．（3分）（2020秋•江汉区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠A＝∠B＝60°，若AD＝a，BC＝b，则AB的长为 2b﹣a （用含a，b的式子表示）．
【分析】过D点作DE⊥AB于E，作DF∥AB交BC于F，过F点作FG⊥AB于G，分别求出AE，DF，BG，可得EG＝DF，进一步求得AB的长．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，作DF∥AB交BC于F，过F点作FG⊥AB于G，
∴BF＝AD＝a，∠AFD＝∠B＝60°，
∴CF＝BC﹣BF＝b﹣a，
∵∠C＝90°，
∴∠CDF＝30°，
∴DF＝2CF＝2（b﹣a），
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝a，
∵∠B＝60°，
∴∠BFG＝30°，
∴BG＝BF＝a，
∴EG＝DF＝2（b﹣a），
∴AB＝AE+EG+BG＝a+2（b﹣a）+a＝2b﹣a．
解法二：延长AD交BC的延长线于E，则△DEC是等边三角形．
设AB＝AE＝BE＝x，则DE＝x﹣a，EC＝x﹣b，
∵∠E＝60°，∠DCE＝90°，
∴∠EDC＝30°，
∴DE＝2EC，
∴x﹣a＝2（x﹣b）＜
∴x＝2b﹣a，
∴AB＝2b﹣a．
故答案为：2b﹣a．
【点评】考查了勾股定理，含30°的直角三角形的性质，关键是作出辅助线，求出AE，DF，BG．
三、解答题（共5小题，第17至20题，每小题10分，第21题12分，共52分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
17．（10分）（2020秋•江汉区期末）计算：
（1）[3a2•a4﹣（a3）2]÷a3；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2．
【分析】（1）先算括号内的乘方，再合并同类项，最后算除法即可；
（2）先根据乘法公式进行计算，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）[3a2⋅a4﹣（a3）2]÷a3
＝（3a6﹣a6）÷a3
＝2a6÷a3
＝2a3；
（2）（x+1）（x﹣1）﹣（x﹣1）2
＝x2﹣1﹣x2+2x﹣1
＝2x﹣2．
【点评】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18．（10分）（2020秋•江汉区期末）因式分解：
（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）；
（2）x4﹣x2．
【分析】（1）原式提取公因式即可；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）6m（m+n）﹣4n（m+n）
＝2（m+n）（3m﹣2n）；
（2）x4﹣x2
＝x2（x2﹣1）
＝x2（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19．（10分）（2021春•浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有 5 个等腰三角形．
【分析】（1）证明△EBC≌△DCB（SAS），可得结论．
（2）根据等腰三角形的定义，判断即可．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠D．
（2）图中共有5个等腰三角形．
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，
∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．
故答案为：5．
【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（10分）（2020秋•江汉区期末）（1）先化简，再求值：，其中a＝2020；
（2）解方程：．
【分析】（1）先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可；
（2）先方程两边同时乘以（x﹣2）得出2x＝x﹣2+1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝，
当a＝2020时，原式＝；
（2）两边同时乘以（x﹣2）得：
2x＝x﹣2+1，
解得：x＝﹣1，
检验：把x＝﹣1代入x﹣2≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程解为x＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值，解分式方程等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
21．（12分）（2020秋•江汉区期末）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，△ABC为格点三角形．
（1）如图，图1，图2，图3都是6×6的正方形网格，点M，点N都是格点，请分别按要求在网格中作图：
①在图1中作△MNP，使它与△ABC全等；
②在图2中作△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图3中作△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称；
（2）如图4，是一个4×4的正方形网格，图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有 5 个．
【分析】（1）①根据全等三角形的判定画出图形即可．
②根据平移的性质画出图形即可．
③根据轴对称的性质画出图形即可．
（2）根据轴对称的性质画出图形即可解决问题．
【解答】解：（1）①如图1中，△MNP即为所求作．
②如图2中，△MDE即为所求作．
③如图3中，△NFG即为所求作．
～
（2）如图4中，有5个三角形．
故答案为：5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，全等三角形的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填在答卷指定位置.
22．（4分）（2020秋•江汉区期末）已知关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为 m＜2且m≠1 ．
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：，
方程两边同时乘（x﹣1）得x﹣2（x﹣1）＝m，
解得x＝﹣m+2．
∵x为正数，
∴﹣m+2＞0，
解得m＜2．
∵x≠1，
∴﹣m+2≠1，即m≠1．
∴m的取值范围为m＜2且m≠1．
故答案为：m＜2且m≠1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．
23．（4分）（2020秋•江汉区期末）若a2﹣＝3，则a2+＝ ；＝ 1 ．
【分析】将已知等式两边平方得出a4+＝11，将其代入（a2+）2＝a4+2+，继而可得其值；将已知等式代入＝可得答案．
【解答】解：∵a2﹣＝3，
∴（a2﹣）2＝9，即a4﹣2+＝9，
则a4+＝11，
∴（a2+）2＝a4+2+＝13，
则a2+＝（负值舍去），
＝＝＝1，
故答案为：，1．
【点评】本题考查了分式的混合运算和求值、完全平方公式，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
24．（4分）（2020秋•江汉区期末）如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为 62.5°或70°或80°或150° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理解答即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠B＝（180°﹣∠A）＝40°，
∵∠BDE＝15°，
∴∠AED＝55°，
∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，
①当点P在AB上，
∵DE＝DP1，
∴∠DP1E＝∠AED＝55°，
∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°，
②当点P在AC上，
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，
∴DG＝DH，
在Rt△DEG与Rt△DP2H中，
，
∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），
∴∠AP2D＝∠AED＝55°，
∵∠BAC＝100°，
∴∠EDP2＝150°，
③当点P在AC上，
同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），
∴∠EDG＝∠P3DH，
∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，
④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝（180°﹣55°）＝62.5°．
故答案为：62.5°或70°或80°或150°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（4分）（2020秋•江汉区期末）如图，在平面直角坐标系中，点E在原点，点D（0，2），点F（1，0），线段DE和EF构成一个“L”形，另有点A（﹣1，5），点B（﹣1，﹣1），点C（6，﹣1），连AD，BE，CF．
若将这个“L”形沿y轴上下平移，当AD+DE+BE的值最小时，E点坐标为 （0，1） ；
若将这个“L”形沿x轴左右平移，当AD+DE+EF+CF的值最小时，E点坐标为 （3.5，0） ．
【分析】（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时AD′+D′E′+BE′的值最小，
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．因为AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，同侧AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，由AD+CF＝+，同侧欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N（5，﹣1）的距离和最小（如图1中）．
【解答】解：（1）如图，作AA′∥DE，且AA′＝2，作点A′关于y轴的对称点A″，连接BA″交y轴于E′，此时AD′+D′E′+BE′的值最小，
观察图像可知E′（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（2）设E（m，0），则D（m，2），F（m+1，0）．
∵AD+DE+EF+CF＝AD+3+CF，
∴AD+CF的值最小时，AD+DE+EF+CF的值最小，
∵AD+CF＝+，
∴欲求AD+CF的最小值，可以把问题转化为，在x轴上找一点P（m，0），使得点P到M（﹣1，3），N（5，﹣1）的距离和最小（如图1中），
连接MN交x轴于P，此时PM+PN的值最小，观察图像可知P（3.5，0），
∴E（3.5，0）．
故答案为：（3.5，0）．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，坐标与图形变化﹣平移等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
五、解答题（共3小题，第26题10分，第27题12分，第28题12分，共34分）下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形．
26．（10分）（2021•哈尔滨模拟）某县要修筑一条长为6000米的乡村旅游公路，准备承包给甲、乙两个工程队来合作完成，已知甲队每天筑路的长度是乙队的2倍，前期两队各完成了400米时，甲比乙少用了5天．
（1）求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米？
（2）若甲队每天的工程费用为1.5万元，乙队每天的工程费用为0.9万元，要使完成全部工程的总费用不超过120万元，则至少要安排甲队筑路多少天？
【分析】（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为（150﹣2t）天，由题意列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）设乙队每天筑路x米，则甲每天筑路2x米．
依题意，得：，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解，
则2x＝80
答：甲每天筑路80米，乙每天筑路40米；
（2）设甲筑路t天，则乙筑路天数为＝（150﹣2t）天，
依题意：1.5t+0.9（150﹣2t）≤120，
解得：t≥50，
∴甲至少要筑路50天．
【点评】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的数量关系列出方程或不等式是解决问题的关键．
27．（12分）（2020秋•江汉区期末）如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：PD+AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为 1或5 （直接写出结果）．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：△BPE为等边三角形，则∠CBE＝60°，故∠ABE＝90°；
（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，构造含30度角的直角△PCG、直角△CPH以及全等三角形（Rt△PGB≌Rt△PHE），根据含30度的直角三角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；
（3）分两种情形，分别求解即可．
【解答】（1）解：如图1，∵点P与点C重合，CD是线段AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∴∠BPE＝∠PAB+∠PBA＝60°，
∵PB＝PE，
∴△BPE为等边三角形，
∴∠CBE＝60°，
∴∠ABE＝90°；
（2）如图2，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC的延长线于G，
∵CD垂直平分AB，
∴CA＝CB．
∵∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝∠BCD＝60°．
∴∠GCP＝∠HCP＝∠BCE＝∠ACD＝∠BCD＝60°．
∴PG＝PH，CG＝CH＝CP，CD＝AC．
在Rt△PGB和Rt△PHE中，
．
∴Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．
∴BG＝EH，即CB+CG＝CE﹣CH．
∴CB+CP＝CE﹣CP，即CB+CP＝CE．
又∵CB＝AC，
∴CP＝PD﹣CD＝PD﹣AC．
∴PD+AC＝CE；
（3）如图3，过P作PH⊥AE于H，连BC，作PG⊥BC交BC于G，
此时Rt△PGB≌Rt△PHE（HL）．
∴BG＝EH，即CB﹣CG＝CE+CH．
∴CB﹣CP＝CE+CP，即CP＝CB﹣CE＝6﹣2＝4．
又∵CB＝AC，
∴PD＝CP﹣CD＝4﹣3＝1．
如图4，
同理，PC＝EC+BC＝8，
PD＝PC﹣CD＝8﹣3＝5．
故答案是：1或5．
【点评】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨论．
28．（12分）（2020秋•江汉区期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可．
（2）①想办法证明∠PBF＝∠F，可得结论．
②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，证明△FQH≌△QBO（AAS），再证明FQ＝FP即可解决问题．
【解答】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，
∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，
∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，
∴a+2b＝0，a+1＝0，
∴a＝﹣1，b＝，
∴A（﹣1，0）B（0，）．
（2）①证明：如图1中，
∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴OA＝OB，
又∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵D与P关于y轴对称，
∴BD＝BP，
∴∠BDP＝∠BPD，
设∠BDP＝∠BPD＝α，
则∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，
∵PE⊥DB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠F＝90o﹣∠EBF，
又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，
∴∠F＝45o+α，
∴∠PBF＝∠F，
∴PB＝PF．
②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，
∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，
∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，
∴∠BQO＝∠QFH，
∵QB＝QF，
∴△FQH≌△QBO（AAS），
∴HQ＝OB＝OA，
∴HO＝AQ＝PC，
∴PH＝OC＝OB＝QH，
∴FQ＝FP，
又∠BFQ＝45°
∴∠APB＝22.5°．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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日期：2021/8/24 10:00:01；用户：刘富良；邮箱：287520833@qq.com；学号：13137786
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