第13讲 新定义材料理解问题-2021年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》

这是一份第13讲 新定义材料理解问题-2021年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》，共39页。教案主要包含了变式1-1，变式1-2，变式2-1，变式3-1，变式3-2，变式4-1，变式5-1，变式5-2等内容，欢迎下载使用。


新定义材料理解问题，其特点是：
(1) 创设新情境，赋予新内涵；
(2) 试题呈现形式活泼新颖；
(3) 一般取材于学生熟悉的生活实际，具有时代气息和教育价值．
这种问题一般都是先提供一种情景，或者一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题．
对于这类题求解步骤是“阅读→分析→理解→创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材．因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力．
1. 涉及到定义知识的新情景问题
它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．解此类型题的步骤有三：(1)认真阅读，正确理解新定义的含义；(2)运用新定义解决问题；(3)得出结论．
2. 涉及到数学理论应用探究问题
学习此类型题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．
3. 涉及到日常生活中的实际问题
处理此类问题需要结合生活实际将图形转化为数学图形，利用数学知识进行解答。








【例题1】（2019•遂宁）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　7﹣i　．
【解析】（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i﹣i2
＝6﹣i+1
＝7﹣i．
故答案为：7﹣i．

【变式1-1】（2019•湘西州）阅读材料：设＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果∥，则x1•y2＝x2•y1，根据该材料填空，已知＝（4，3），＝（8，m），且∥，则m＝　6　．
【解析】∵＝（4，3），＝（8，m），且∥，
∴4m＝3×8，
∴m＝6；
故答案为6；

【变式1-2】（2019•娄底）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为　2　．
【解析】当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，
因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，
因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，
所以这两条平行线之间的距离为2．
故答案为2．

【例题2】（2019•重庆）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等．现在我们来研究一种特殊的自然数﹣“纯数”．
定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+（n+1）+（n+2）的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位．
（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由．
【解析】（1）显然1949至1999都不是“纯数”，因为在通过列竖式进行n+（n+1）+（n+2）的运算时要产生进位．
在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义．
所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012；
（2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：
因为个位不超过2，十位不超过3时，才符合“纯数”的定义，
所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100．共13个．


【变式2-1】对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m.
【解析】（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，
任意一个“极数”都是99的倍数，
理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴百位数字为（9-x），千位数字为（9-y），
∴四位数n为：1000（9-y）+100（9-x）+10y+x=9900-990y-99x=99（100-10y-x），
∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，
∴100-10y-x是整数，
∴99（100-10y-x）是99的倍数，
即：任意一个“极数”都是99的倍数；
（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）
∴m=99（100-10y-x），
∵m是四位数，
∴m=99（100-10y-x）是四位数，即1000≤99（100-10y-x）＜10000，
∵D（m）==3（100-10y-x），∴30≤3（100-10y-x）≤303
∵D（m）完全平方数，
∴3（100-10y-x）既是3的倍数也是完全平方数，
∴3（100-10y-x）只有36，81，144，225这四种可能，
∴D（m）是完全平方数的所有m值为1188或2673或4752或7425.

【例题3】（2019•安顺）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525，可以转化为指数式52＝25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M•N）＝logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：
设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴M•N＝am•an＝am+n，由对数的定义得m+n＝loga（M•N）
又∵m+n＝logaM+logaN
∴loga（M•N）＝logaM+logaN
根据阅读材料，解决以下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式　4＝log381　；
（2）求证：loga＝logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：计算log69+log68﹣log62＝　2　．
【解析】（1）4＝log381（或log381＝4），
故答案为：4＝log381；
（2）证明：设logaM＝m，logaN＝n，则M＝am，N＝an，
∴＝＝am﹣n，由对数的定义得m﹣n＝loga，
又∵m﹣n＝logaM﹣logaN，
∴loga＝logaM﹣logaN；
（3）log69+log68﹣log62＝log6（9×8÷2）＝log636＝2．
故答案为：2．

【变式3-1】阅读下面的材料：
如果函数y＝f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；
（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是减函数．
例题：证明函数f（x）＝（x＞0）是减函数．
证明：设0＜x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝．
∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0．
∴＞0．即f（x1）﹣f（x2）＞0．
∴f（x1）＞f（x2）．∴函数f（x）═（x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数f（x）＝+x（x＜0），
f（﹣1）＝+（﹣1）＝0，f（﹣2）＝+（﹣2）＝﹣
（1）计算：f（﹣3）＝　　，f（﹣4）＝　　；
（2）猜想：函数f（x）＝+x（x＜0）是　　函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．
【解析】（1）∵f（x）＝+x（x＜0），
∴f（﹣3）＝﹣3＝﹣，f（﹣4）＝﹣4＝﹣
故答案为：﹣，﹣
（2）∵﹣4＜﹣3，f（﹣4）＜f（﹣3）
∴函数f（x）＝+x（x＜0）是增函数
故答案为：增
（3）设x1＜x2＜0，
∵f（x1）﹣f（x2）＝+x1﹣﹣x2＝（x1﹣x2）（1﹣）
∵x1＜x2＜0，
∴x1﹣x2＜0，x1+x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）＝+x（x＜0）是增函数

【变式3-2】（2019•张家界）阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，依此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an．所以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）等差数列5，10，15，…的公差d为　　，第5项是　　．
（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…．
所以
a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，
……
由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+（　 　）d．
（3）﹣4041是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？
【解析】（1）根据题意得，d＝10﹣5＝5；
∵a3＝15，
a4＝a3+d＝15+5＝20，
a5＝a4+d＝20+5＝25，
故答案为：5；25．
（2）∵a2＝a1+d
a3＝a2+d＝（a1+d）+d＝a1+2d，
a4＝a3+d＝（a1+2d）+d＝a1+3d，
……
∴an＝a1+（n﹣1）d
故答案为：n﹣1．
（3）根据题意得，
等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项的通项公式为：an＝﹣5﹣2（n﹣1），
则﹣5﹣2（n﹣1）＝﹣4041，
解之得：n＝2019
∴﹣4041是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项，它是此数列的第2019项．

【例题4】（2019•郴州）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝图象与性质．列表：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0

1

2

3
…
y
…


1

2

1

0

1

2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
（2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（﹣5，y1），B（﹣，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1　　y2，x1　　x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝2时，求自变量x的值；
③在直线x＝﹣1的右侧函数图象上有两个不同的点P（x3，y3），Q（x4，y4），且y3＝y4，求x3+x4的值；
④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
【解析】（1）如图所示：
（2）①A（﹣5，y1），B（﹣，y2），
A与B在y＝﹣上，y随x的增大而增大，∴y1＜y2；
C（x1，），D（x2，6），
C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得x1＜x2；
故答案为＜，＜；
②当y＝2时，x≤﹣1时，有2＝﹣，∴x＝﹣1；
当y＝2时，x＞﹣1时，有2＝|x﹣1|，∴x＝3或x＝﹣1（舍去），
故x＝﹣1或x＝3；
③∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在x＝﹣1的右侧，
∴﹣1≤x≤3时，点P，Q关于x＝1对称，
则有y3＝y4，
∴x3+x4＝2；
④由图象可知，0＜a＜2；

【变式4-1】（2019•江西）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：
如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A固定在桌面上，图2是示意图．
活动一
如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时，铅笔AB的中点C与点O重合．

数学思考
（1）设CD＝xcm，点B到OF的距离GB＝ycm．
①用含x的代数式表示：AD的长是　　cm，BD的长是　　cm；
②y与x的函数关系式是　　，自变量x的取值范围是　　．
活动二
（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格
x（cm）
6
5
4
3.5
3
2.5
2
1
0.5
0
y（cm）
0
0.55
1.2
1.58
_____
2.47
3
4.29
5.08
_____
②描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的两个点（x，y）．
③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．
数学思考
（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．

【解析】（1）①如图3中，由题意AC＝OA＝AB＝6（cm），
∵CD＝xcm，
∴AD＝（6+x）（cm），BD＝12﹣（6+x）＝（6﹣x）（cm），
故答案为：（6+x），（6﹣x）．

②作BG⊥OF于G．
∵OA⊥OF，BG⊥OF，
∴BG∥OA，∴＝，∴＝，∴y＝（0≤x≤6），故答案为：y＝，0≤x≤6．
（2）①当x＝3时，y＝2，当x＝0时，y＝6，
故答案为2，6．
②点（0，6），点（3，2）如图所示．
③函数图象如图所示．

（3）性质1：函数值y的取值范围为0≤y≤6．
性质2：函数图象在第一象限，y随x的增大而减小．

【例题5】（2019•宁波）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝2BE，QB＝3，求邻余线AB的长．

【解析】（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），
四边形AFEB为所求；

（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝2BE，
∴BD＝CD＝3BE，
∴CE＝CD+DE＝5BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴，
∵QB＝3，∴NC＝5，
∵AN＝CN，∴AC＝2CN＝10，
∴AB＝AC＝10．

【变式5-1】（2019•扬州）如图，平面内的两条直线l1、l2，点A，B在直线l1上，点C、D在直线l2上，过A、B两点分别作直线l2的垂线，垂足分別为A1，B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，），特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C．
请依据上述定义解决如下问题：
（1）如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，则T（BC，AB）＝　　；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）＝9，求△ABC的面积；
（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A＝60°，点D在AB边上，∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD），

【解析】（1）如图1中，作CH⊥AB．
∵T（AC，AB）＝3，
∴AH＝3，
∵AB＝5，
∴BH＝5﹣3＝2，
∴T（BC，AB）＝BH＝2，
故答案为2．
（2）如图2中，作CH⊥AB于H．
∵T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，
∴AH＝4，BH＝9，
∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90°，
∴∠A+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠A＝∠BCH，
∴△ACH∽△CBH，
∴＝，∴＝，
∴CH＝6，∴S△ABC＝•AB•CH＝×13×6＝39．
（3）如图3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．
∵∠ACD＝90°，T（AD，AC）＝2，∴AC＝2，
∵∠A＝60°，∴∠ADC＝∠BDK＝30°，
∴CD＝AC＝2，AD＝2AC＝4，AH＝AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3，
∵T（BC，AB）＝6，CH⊥AB，∴BH＝6，
∴DB＝BH﹣DH＝3，
在Rt△BDK中，∵∠K＝90°，BD＝3，∠BDK＝30°，
∴DK＝BD•cos30°＝，
∴CK＝CD+DK＝2+＝，
∴T（BC，CD）＝CK＝．

【变式5-2】（2019•常州）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：　　；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　　；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

【解析】（1）①半径为1的圆的宽距离为2，
故答案为2．
②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．
在Rt△ODC中，OC＝＝＝
∴OP+OC≥PC，∴PC≤1+，
∴这个“窗户形“的宽距为1+．
故答案为1+．
（2）①如图2﹣1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所形成的阴影部分即为点C所在的区域）．

∴点C所在的区域的面积为S1+S2＝π﹣2．
②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．
∵对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，
∴当d＝5时，AM＝6，
∴AT＝＝4，此时M（4﹣1，2），
当d＝8时，AM＝7，
∴AT＝＝3，此时M（3﹣1，2），
∴满足条件的点M的横坐标的范围为4﹣1≤x≤3﹣1．
当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣3+1≤x≤﹣4+1．











1．（2019•宜昌）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（　　）

A．6 B．6 C．18 D．
【解析】∵a＝7，b＝5，c＝6．
∴p＝＝9，
∴△ABC的面积S＝＝6；
故选：A．
2．（2019•深圳）定义一种新运算n•xn﹣1dx＝an﹣bn，例如2xdx＝k2﹣n2，若﹣x﹣2dx＝﹣2，则m＝（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．2 D．
【解析】由题意得：m﹣1﹣（5m）﹣1＝﹣2，
﹣＝﹣2，5﹣1＝﹣10m，m＝﹣，
故选：B．
3．（2019•柳州）定义：形如a+bi的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝﹣1），a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如（1+3i）2＝12+2×1×3i+（3i）2＝1+6i+9i2＝1+6i﹣9＝﹣8+6i，因此，（1+3i）2的实部是﹣8，虚部是6．已知复数（3﹣mi）2的虚部是12，则实部是（　　）
A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5
【解析】∵（3﹣mi）2＝32﹣2×3×mi+（mi）2＝9﹣6mi+m2i2＝9+m2i2﹣6mi＝9﹣m2﹣6mi，
∴复数（3﹣mi）2的实部是9﹣m2，虚部是﹣6m，
∴﹣6m＝12，
∴m＝﹣2，
∴9﹣m2＝9﹣（﹣2）2＝9﹣4＝5．
故选：C．
4．（2019•株洲）从﹣1，1，2，4四个数中任取两个不同的数（记作ak，bk）构成一个数组MK＝{ak，bk}（其中k＝1，2…S，且将{ak，bk}与{bk，ak}视为同一个数组），若满足：对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，则S的最大值（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
【解析】∵﹣1+1＝0，﹣1+2＝1，﹣1+4＝3，1+2＝3，1+4＝5，2+4＝6，
∴ai+bi共有5个不同的值．
又∵对于任意的Mi＝{ai，bi}和Mj＝{aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，
∴S的最大值为5．
故选：C．
5．（2019•杭州）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）
A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2
C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1
【解析】∵y＝（x+a）（x+b），a≠b，
∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，
∴M＝2，
∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，
∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；
当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；
综上可知，M＝N或M＝N+1．
故选：C．
6．（2019•常州）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（　　）

A．B．C．D．
【解析】当t＝0时，极差y2＝85﹣85＝0，
当0＜t≤10时，极差y2随t的增大而增大，最大值为43；
当10＜t≤20时，极差y2随t的增大保持43不变；
当20＜t≤24时，极差y2随t的增大而增大，最大值为98；
故选：B．
7．（2019•百色）阅读理解：
已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：x＝，y＝．
如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．
设B（m，n），则m，n满足的等式是（　　）

A．m2+n2＝9 B．（）2+（）2＝9
C．（2m+3）2+（2n）2＝3 D．（2m+3）2+4n2＝9
【解析】∵点A（﹣3，0），点P（a，b），点B（m，n）为弦PA的中点，
∴m＝，n＝．
∴a＝2m+3，b＝2n．
又a，b满足等式：a2+b2＝9，
∴（2m+3）2+4n2＝9．
故选：D．
8．（2019•温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM＝BC，作MN∥BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连结EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2．若点A，L，G在同一直线上，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解析】如图，连接ALGL，PF．
由题意：S矩形AMLD＝S阴＝a2﹣b2，PH＝，
∵点A，L，G在同一直线上，AM∥GN，
∴△AML∽△GNL，
∴＝，
∴＝，整理得a＝3b，
∴＝＝＝，
故选：C．
9．（2019•湖州）在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（　　）

A．2 B． C． D．
【解析】如图，经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，
由图形可知△AMC≌△FPE≌△BPD，
∴AM＝PB，
∴PM＝AB，
∵PM＝＝，
∴AB＝，
故选：D．
10．（2019•宁夏）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程x2+5x﹣14＝0即x（x+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（x+x+5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得x＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程x2﹣4x﹣12＝0的正确构图是　②　．（只填序号）

【解析】∵x2﹣4x﹣12＝0即x（x﹣4）＝12，
∴构造如图②中大正方形的面积是（x+x﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，
据此易得x＝6．
故答案为：②．






11．（2019•孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝　π﹣3　．

【解析】∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积S＝π，
∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
∴过A作AC⊥OB，
∴AC＝OA＝，
∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×＝3，
∴则S﹣S1＝π﹣3，
故答案为：π﹣3．

12．（2019•常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　①④　．（填序号）
【解析】①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），
∴MP＝＝，PQ＝+1，
∵点P在第一象限，
∴m＞0，
∴MP＝+1，
∴MP＝PQ，
又∵MN∥PQ，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确；
故答案为①④；


13．（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a+b）n的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s+x）15的展开式按x的升幂排列得：（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．
依上述规律，解决下列问题：
（1）若s＝1，则a2＝　105　；
（2）若s＝2，则a0+a1+a2+…+a15＝　315　．

【解析】（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，
（a+b）2的第三项的系数为：1，
（a+b）3的第三项的系数为：3＝1+2，
（a+b）4的第三项的系数为：6＝1+2+3，
…
∴发现（1+x）3的第三项系数为：3＝1+2；
（1+x）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（1+x）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴s＝1，则a2＝1+2+3+…+14＝105．
故答案为：105；
（2）∵（s+x）15＝a0+a1x+a2x2+…+a15x15．
当x＝1时，a0+a1+a2+…+a15＝（2+1）15＝315，
故答案为：315．
14．（2019•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是　4　．

【解析】如图2中，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M．
在Rt△EMG中，∵GM＝4，EM＝2+2+4+4＝12，
∴EG＝＝＝4，
∴EH＝＝4，
故答案为4．

15．（2019•赤峰）阅读下面材料：
我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式d＝计算．
例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离．
解：∵y＝﹣2x+5
∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5
∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离为：
d＝＝＝＝
根据以上材料解答下列问题：
（1）求点Q（﹣2，2）到直线3x﹣y+7＝0的距离；
（2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．

【解析】（1）∵3x﹣y+7＝0，
∴A＝3，B＝﹣1，C＝7．
∵点Q（﹣2，2），∴d＝＝＝．
∴点Q（﹣2，2）到到直线3x﹣y+7＝0的距离为；
（2）直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线为y＝﹣x+2，
在直线y＝﹣x上任意取一点P，
当x＝0时，y＝0．∴P（0，0）．
∵直线y＝﹣x+2，∴A＝1，B＝1，C＝﹣2
∴d＝＝，∴两平行线之间的距离为．
16．（2019•青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝①
这是中国古代数学的瑰宝之一．
而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝（周长的一半），则S＝②
（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；
（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；
（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝，S为三角形面积，则S＝pr．

【解析】（1）由①得：S＝＝10，
由②得：p＝＝10，S＝＝10；
（2）公式①和②等价；推导过程如下：
∵p＝，∴2p＝a+b+c，
①中根号内的式子可化为：
（ab+）（ab﹣）
＝（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）＝[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]
＝（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）
＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），
∴＝；
（3）连接OA、OB、OC，如图所示：
S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝rc+rb+ra＝（）r＝pr．
17．（2019•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|＝．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函y＝x﹣3的图象如图所示，结合函数图象，直接写出不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集．

【解析】（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，
∴，得，∴这个函数的表达式是y＝|x﹣3|﹣4；
（2）∵y＝|x﹣3|﹣4，∴y＝，
∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2）；
该函数的图象如右图所示，性质是当x＞2时，y随x的增大而增大；
（3）由函数图象可得，
不等式|kx﹣3|+b≤x﹣3的解集是1≤x≤4．










18．（2019•重庆）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数﹣“纯数”．
定义；对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，
例如：32是”纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；
23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【解析】（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，
理由：当n＝2019时，n+1＝2020，n+2＝2021，
∵个位是9+0+1＝10，需要进位，
∴2019不是“纯数”；
当n＝2020时，n+1＝2021，n+2＝2022，
∵个位是0+1+2＝3，不需要进位，十位是2+2+2＝6，不需要进位，百位为0+0+0＝0，不需要进位，千位为2+2+2＝6，不需要进位，
∴2020是“纯数”；
（2）由题意可得，
连续的三个自然数个位数字是0，1，2，其他位的数字为0，1，2，3时，不会产生进位，
当这个数是一位自然数时，只能是0，1，2，共三个，
当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1，2，3，个位数是0，1，2，共九个，
当这个数是三位自然数时，只能是100，
由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3+9+1＝13，
即不大于100的“纯数”的有13个．
19．（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．

【解析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，
故点C是点A、B的融合点；

（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），
则t＝3x﹣3，
则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；
②当∠DHT＝90°时，如图1所示，
点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），
由点T是点D，E的融合点得：
t＝，2t﹣2＝，
解得：t＝，即点E（，6）；
当∠TDH＝90°时，如图2所示，
则点T（3，5），
由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；
当∠HTD＝90°时，
由于EH与x轴不平行，故∠HTD不可能为90°．
故点E（，6）或（6，15）．
20. （2019•毕节市）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：
（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝　　； ②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝　　；
（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（3）若min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，求x的取值范围．
【解析】（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝；
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；
故答案为：；；

（2））∵M{﹣2x，x2，3}＝2，
∴，解得x＝﹣1或3；

（3）∵min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，
∴，解得﹣2≤x≤4．
21．（2019•常州）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝　1+3+5+7+…+2n﹣1．　；
【运用】
（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝　6　；当n＝5，m＝　3　时，y＝9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝　n+2（m﹣1）　（用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

【解析】（1）有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．
直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．
由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．
（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，

如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．
②算法Ⅰ．y个三角形，共3y条边，其中n边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以n边形内部共有 （3y﹣n）÷2条线段；算法Ⅱ．n边形内部有1个点时，其内部共有n条线段，共分成n个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，所以n边形内部有m个点时，其内部共有n+3（m﹣1）条线段，由 （3y﹣n）÷2＝n+3（m﹣1）化简得：y＝n+2（m﹣1）．
故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．
22．（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知＝10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如＝100a+10b+c．
【基础训练】
（1）解方程填空：
①若+＝45，则x＝　2　；
②若﹣＝26，则y＝　4　；
③若+＝，则t＝　7　；
【能力提升】
（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被　11　整除，﹣一定能被　9　整除，•﹣mn一定能被　10　整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）
【探索发现】
（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532﹣235＝297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．
①该“卡普雷卡尔黑洞数”为　495　；
②设任选的三位数为（不妨设a＞b＞c），试说明其均可产生该黑洞数．
【解析】（1）①∵＝10m+n
∴若+＝45，则10×2+x+10x+3＝45
∴x＝2
故答案为：2．
②若﹣＝26，则10×7+y﹣（10y+8）＝26
解得y＝4
故答案为：4．
③由＝100a+10b+c．及四位数的类似公式得
若+＝，则100t+10×9+3+100×5+10t+8＝1000×1+100×3+10t+1
∴100t＝700
∴t＝7
故答案为：7．
（2）∵+＝10m+n+10n+m＝11m+11n＝11（m+n）
∴则+一定能被 11整除
∵﹣＝10m+n﹣（10n+m）＝9m﹣9n＝9（m﹣n）
∴﹣一定能被9整除．
∵•﹣mn＝（10m+n）（10n+m）﹣mn＝100mn+10m2+10n2+mn﹣mn＝10（10mn+m2+n2）
∴•﹣mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．
（3）①若选的数为325，则用532﹣235＝297，以下按照上述规则继续计算
972﹣279＝693
963﹣369＝594
954﹣459＝495
954﹣459＝495…
故答案为：495．
②当任选的三位数为时，第一次运算后得：100a+10b+c﹣（100c+10b+a）＝99（a﹣c），
结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2
∴a﹣c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a﹣c≤9
∴a﹣c＝2，3，4，5，6，7，8，9
∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，
再让这些数字经过运算，分别可以得到：
981﹣189＝792，972﹣279＝693，963﹣369＝594，954﹣459＝495，954﹣459＝495…故都可以得到该黑洞数495．
23．（2019•威海）（1）阅读理解
如图，点A，B在反比例函数y＝的图象上，连接AB，取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y＝的图象于点D．点E，F，G的横坐标分别为n﹣1，n，n+1（n＞1）．小红通过观察反比例函数y＝的图象，并运用几何知识得出结论：
AE+BG＝2CF，CF＞DF
由此得出一个关于，，，之间数量关系的命题：若n＞1，则　 　．
（2）证明命题
小东认为：可以通过“若a﹣b≥0，则a≥b”的思路证明上述命题．
小晴认为：可以通过“若a＞0，b＞0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．
请你选择一种方法证明（1）中的命题．

【解析】（1）∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，AE＝，BG＝，DF＝，
∴+＞．故答案为：+＞．
（2）方法一：∵+﹣＝＝，
∵n＞1，∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴+﹣＞0，∴+＞．

方法二：∵＝＞1，∴+＞．
24．（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．

【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝　3　．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是　（1，2）　．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【解析】（1）①由题意得：d（O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；
②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，
∵0≤x≤2，
∴x+y＝3，
∴，解得：，∴B（1，2），
故答案为：3，（1，2）；
（2）假设函数的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，
根据题意，得，
∵x＞0，∴，，
∴，
∴x2+4＝3x，
∴x2﹣3x+4＝0，
∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．
（3）设D（x，y），
根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，
∵，又x≥0，
∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．
（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．
理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．
在景观湖边界所在曲线上任取一点P，
过点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴上述方案修建的道路最短．
25．（2019•遵义）将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A旋转，连接BC，DE．探究S△ABC与S△ADE的比是否为定值．

（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图①）
（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图②）
（3）两块三角板中，∠BAE+∠CAD＝180°，AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n（a，b，m，n为常数），S△ABC：S△ADE是否为定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图③）
【解析】（1）结论：S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∵AB＝AE＝AD＝AC，
∴＝＝1．
（2）如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
不妨设∠ADC＝30°，则AD＝AC，AE＝AB，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∴＝＝．
（3）如图3中，如图2中，S△ABC：S△ADE＝定值．
理由：如图1中，作DH⊥AE于H，CG⊥BA交BA的延长线于G．
∵∠BAE+∠CAD＝180°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠CAG＝180°，
∴∠DAE＝∠CAG，
∵AB＝a，AE＝b，AC＝m，AD＝n
∴＝＝．
26．（2019•台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形ABCDE的各条边都相等．
①如图1，若AC＝AD＝BE＝BD＝CE，求证：五边形ABCDE是正五边形；
②如图2，若AC＝BE＝CE，请判断五边形ABCDE是不是正五边形，并说明理由：
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）
如图3，已知凸六边形ABCDEF的各条边都相等．
①若AC＝CE＝EA，则六边形ABCDEF是正六边形；（　假　）
②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形． （　假　）

【解析】（1）①证明：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、EAB中，，
∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，
∴五边形ABCDE是正五边形；
②解：若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：
在△ABE、△BCA和△DEC中，，∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），
∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，
在△ACE和△BEC中，，∴△ACE≌△BEC（SSS），
∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，
∵四边形ABCE内角和为360°，
∴∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，∴∠BAE＝3∠ABE，
同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（2）解：①若AC＝CE＝EA，如图3所示：
则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
∵凸六边形ABCDEF的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，
在△AEF、△CAB和△ECD中，，∴△AEF≌△CAB≌△ECD（SSS），
如果△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，
而正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假；
②若AD＝BE＝CF，则六边形ABCDEF是正六边形；假命题；理由如下：
如图4所示：连接AE、AC、CE、BF，
在△BFE和△FBC中，，∴△BFE≌△FBC（SSS），
∴∠BFE＝∠FBC，
∵AB＝AF，∴∠AFB＝∠ABF，∴∠AFE＝∠ABC，
在△FAE和△BCA中，，∴△FAE≌△BCA（SAS），
∴AE＝CA，
同理：AE＝CE，∴AE＝CA＝CE，
由①得：△AEF、△CAB、△ECD都为相同的等腰直角三角形，则∠F＝∠D＝∠B＝90°，
而正六边形的各个内角都为120°，
∴六边形ABCDEF不是正六边形；
故答案为：假．
27．（2019•北京）如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．
小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
PC/cm
3.44
3.30
3.07
2.70
2.25
2.25
2.64
2.83
PD/cm
3.44
2.69
2.00
1.36
0.96
1.13
2.00
2.83
AD/cm
0.00
0.78
1.54
2.30
3.01
4.00
5.11
6.00
在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定　AD　的长度是自变量，　PD　的长度和　PC　的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当PC＝2PD时，AD的长度约为　2.3和4　cm．

【解析】（1）根据函数的定义，PC、PD不可能为自变量，只能是AD为自变量
故答案为：AD、PC、PD；
（2）描点画出如图图象；

（3）PC＝2PD，
从图和表格可以看出位置4和位置6符合要求，
即AD的长度为2.3和4.0．
28．（2019•南通）定义：若实数x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t，且x≠y，t为常数，则称点M（x，y）为“线点”．例如，点（0，﹣2）和（﹣2，0）是“线点”．已知：在直角坐标系xOy中，点P（m，n）．
（1）P1（3，1）和P2（﹣3，1）两点中，点　P2　是“线点”；
（2）若点P是“线点”，用含t的代数式表示mn，并求t的取值范围；
（3）若点Q（n，m）是“线点”，直线PQ分别交x轴、y轴于点A，B，当|∠POQ﹣∠AOB|＝30°时，直接写出t的值．
【解析】（1）∵当M点（x，y），若x，y满足x2﹣2y＝t，y2﹣2x＝t且x≠y，t为常数，则称点M为“线点”，
又∵P1（3，1），则32﹣2×1＝7，（1）2﹣2×3＝﹣5，7≠﹣5，
∴点P1不是线点；
∵P2（﹣3，1），则（﹣3）2﹣2×1＝7，12﹣2×（﹣3）＝7，7＝7，
∴点P2是线点，
故答案为：P2；
（2）∵点P（m，n）为“线点”，
则m2﹣2n＝t，n2﹣2m＝t，
∴m2﹣2n﹣n2+2m＝0，m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，
∴（m﹣n）（m+n+2）＝0，
∵m≠n，∴m+n+2＝0，∴m+n＝﹣2，
∵m2﹣2n+n2﹣2m＝2t，
∴（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）＝2t，
即：（﹣2）2﹣2mn+2×2＝2t，
∴mn＝4﹣t，
∵m≠n，
∴（m﹣n）2＞0，
∴m2﹣2mn+n2＞0，
∴（m+n）2﹣4mn＞0，
∴（﹣2）2﹣4mn＞0，
∴mn＜1，
∵mn＝4﹣t，
∴t＞3；
（3）设PQ直线的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：k＝﹣1，
∵直线PQ分别交x轴，y轴于点A、B，
∴∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵|∠AOB﹣∠POQ|＝30°，
∴∠POQ＝120°或60°，
∵P（m，n），Q（n，m），
∴P、Q两点关于y＝x对称，
①若∠POQ＝120°时，如图1所示：
作PC⊥x轴于C，QD⊥y轴于D，作直线MN⊥AB．

∵P、Q两点关于y＝x对称，∴∠PON＝∠QON＝∠POQ＝60°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON＝BON＝45°，
∴∠POC＝∠QOD＝15°，
在OC上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，
∴∠CTP＝30°，
∴PT＝2PC＝2n，TC＝n，
∴﹣m＝n+2n，
由（2）知，m+n＝﹣2，
解得：m＝﹣1﹣，n＝﹣1，
由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，
∴（﹣1﹣）（﹣1+）＝4﹣t，
解得：t＝6，
②若∠POQ＝60°时，如图2所示，
作PD⊥x轴于D，QC⊥y轴于C，作直线MN⊥AB．
∵P、Q两点关于y＝x对称，
∴∠PON＝∠QON＝∠POQ＝30°，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴∠AON＝BON＝45°，
∴∠POD＝∠QOC＝15°，
在OD上截取OT＝PT，则∠TPO＝∠TOP＝15°，
∴∠DTP＝30°，
∴PT＝2PD＝﹣2n，TD＝﹣n，
∴﹣m＝﹣n﹣2n，
由（2）知，m+n＝﹣2，
解得m＝﹣1﹣，n＝﹣1+，
由（2）知：mn＝4﹣t，t＞3，
∴（﹣1﹣）（﹣1+）＝4﹣t，
解得：t＝，
综上所述，t的值为：6或．
29. （2020•雨花区校级模拟）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；
（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．
（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；
（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；
（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．
①求出m的取值范围；
②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．
【解析】（1）∵y＝x+2m是经过第一、第三象限的直线，y＝是经过第一、第三象限的双曲线，
∴两函数有公共点，
∴存在x取同一个值，使得y1＝y2，
∴函数y＝x+2m与y＝是“合作函数”；
当m＝1时，y＝x+2，
∴x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，
∴“合作点”为x＝2或x＝﹣4；
（2）假设函数y＝x+2m与y＝3x﹣1是“合作函数”，
∴x+2m＝3x﹣1，∴x＝m+，
∵|x|≤2，∴﹣2≤m+≤2，∴﹣≤m≤，
∴当﹣≤m≤时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函数”；
（3）①∵函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，
∴x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），
∴x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，
∴x＝m+3或x＝m﹣1，
∵0≤x≤5时有唯一合作点，
当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，
当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，
∴﹣3≤m＜1或2＜m≤6时，满足题意；
②y＝x+2m在0≤x≤5的最大值为5+2m，
y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）的对称轴为x＝m+，
当﹣3≤m＜1时，则﹣≤m+＜，
当x＝5时有最大值，最大值为m2﹣6m+16，
∴5+2m+m2﹣6m+17＝24，解得m＝2+或m＝2﹣，
∴m＝2﹣；
当2＜m≤6时，则＜m+≤，
当x＝0时有最大值，最大值为m2+4m﹣3，
∴5+2m+m2+4m﹣3＝24，解得m＝﹣3+或m＝﹣3﹣，
∴m＝﹣3+；
综上所述：m＝2﹣或m＝﹣3+．
30．（2020•历下区一模）图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．
（1）求该抛物线的表达式和对称轴；
（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；
（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，得，
∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，
即该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；
（2）分两种情况：
设点D的坐标为（1，y）
第一种情况是：∠BCD＝90°时，
则CD2+BC2＝BD2，
∵点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣2x2+4x+6交y轴于点C，
∴点C的坐标为（0，6），
∴[12+（y﹣6）2]+（32+62）＝（3﹣1）2+y2，解得，y＝6.5，
∴点D的坐标为（1，6.5）；
第二种情况：当∠DBC＝90°时，
BD2+BC2＝CD2，
即[（3﹣1）2+y2]+（32+62）＝12+（6﹣y）2，解得，y＝﹣1，
∴点D的坐标为（1，﹣1），
综上所述，符合条件的点D的坐标为（1，6.5），（1，﹣1）；
（3）因为点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+6，
则3k+6＝0，得k＝﹣2，
即直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，
如右图所示，作点E关于直线BC的对称点E′交BC于点F，过点F作FN⊥y轴于点N，
设E（0，m），E′（x，y），
则EE′⊥BC，
∴∠CFE＝∠COB＝90°，
∴BC＝＝3，
∵∠ECF＝∠BCO，
∴△ECF∽△BCO，
∴，即，解得，CF＝，
又∵∠CNF＝∠COB，∠NCF＝∠OCB，
∴△NCF∽△OCB，
∴，即，解得，FN＝，
∴点F的横坐标为，
把x＝代入直线BC的解析式，得
y＝，
∴点F的坐标为（，），
∵EE′关于直线BC对称，
∴点F为EE′的中点，
∴，解得，∴E′（，），
∵点E′在抛物线y＝﹣2x2+4x+6上，
∴＝﹣2×[]2+4×+6，解得，m1＝6，m2＝，
∵点C（0，6），点E在点C下方，
∴点E的坐标为（0，）．
31．（2020•曲江区校级一模）已知二次函数L与y轴交于点C（0，3），且过点（1，0），（3，0）．
（1）求二次函数L的解析式及顶点H的坐标
（2）已知x轴上的某点M（t，0）；若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；试说明四边形CHC′H′为平行四边形．
（3）若平行四边形的边与某一条对角线互相垂直时，称这种平行四边形为“和谐四边形”；在（2）的条件下，当平行四边形CHC′H′为“和谐四边形”时，求t的值．
【解析】（1）设二次函数L的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
由题意可得：，解得：
∴二次函数L的解析式为：y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点H的坐标（2，﹣1）
（2）∵若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；
∴CM＝C'M，HM＝H'M，
∴四边形CHC′H′为平行四边形；
（3）∵点C（0，3），点H（2，﹣1）∴直线CH解析式为：y＝﹣2x+3；
若CC'⊥CH时，则CC'解析式为：y＝x+3，当y＝0时，0＝t+3，∴t＝﹣6；
若HH'⊥CH时，则HH'解析式为：y＝x﹣2，当y＝0时，0＝t﹣2，∴t＝4
∵若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；
∴点C'（2t，﹣3），点H'（2t﹣2，1）
若CH'⊥HH'，则H'C2+H'H2＝CH2，
∴（2t﹣2﹣0）2+（3﹣1）2+（2t﹣2﹣2）2+（1+1）2＝（0﹣2）2+（3+1）2，
∴t＝
若CC'⊥CH'，则H'C2+C'C2＝C'H'2，
∴（2t﹣2﹣0）2+（3﹣1）2+（2t﹣0）2+（3+3）2＝（0﹣2）2+（3+1）2，
∴△＜0，方程无解；
综上所述：t＝或4或﹣6．

32．对于两个已知图形G1、G2，在G1上任取一点P，在G2上任取一点Q，当线段PQ的长度最小时，我们称这个最小的长度为G1、G2的“密距”，当线段PQ的长度取最大值时，我们称这个最大的长度为图形G1，G2的“疏距”．请你在学习、理解上述定义的基础上，解决下面的问题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），正方形ABCD的对称中心点O．
（1）线段AB和CD的“密距”是　8　，“疏距”是　8　．
（2）设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点E、F，若线段EF与正方形ABCD的“密距”是1，求它们的“疏距”；
（3）在同一平面直角坐标系xOy中有一个四边形KLMN，将正方形ABCD绕点O旋转一周，在旋转过程中，它与四边形KLMN的“疏距”的最大值为4+2，在旋转过程中，求它与四边形KLMN的“密距”的取值范围．

【解析】（1）如图1所示：
由垂线的性质可知：线段AB与CD的“密距”是AD或BC的长度，故“密距”是8．
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC＝＝8，“疏距”是8；
故答案为：8；8；
（2）如图2所示：
设直线OD的解析式为y＝kx，
将x＝4，y＝4代入函数的解析式得4＝4k，解得：k＝1，
∵直线EF的解析式为y＝﹣x+b，
∴直线OB和EF不垂直，
过点D作DN⊥EF于N，过点B作BH⊥EF于H，过点D作DM⊥BH于M，则四边形DNHM为矩形，BH、DN的斜率为，DM∥EF，
∵EF与正方形ABCD的“密距”是1，
∴DN＝MH＝1，
∵四边形ABCD是正方形，A（﹣4，4），
∴D（4，4），B（﹣4，﹣4），BD＝8，
设DN的解析式为：y＝x+a，代入D（4，4），解得：a＝﹣，
∴设DN的解析式为：y＝x﹣，
同理，BH的解析式为：y＝x+，
设DM的解析式为y＝﹣x+c，把D（4，4）代入得：c＝7，
∴DM的解析式为y＝﹣x+7，
解方程组得：，∴M（，），
∴BM＝＝，∴BH＝+1；
∴线段EF与正方形ABCD的“疏距”为+1；
（3）①当K在BD上时，
如图3所示：
正方形ABCD与四边形KLMN的“疏距”为KB＝4+2，
∴KD＝BD﹣BK＝8﹣（4+2）＝4﹣2，
故最大密距＝4﹣2；
②当OK⊥AD时，
如图4所示：
正方形ABCD与四边形KLMN的“密距”有最小值，
∵正方形的边长为8，
∴O到AD的距离为4，
又由①可知OK＝OD﹣KD＝4﹣（4﹣2）＝2，
所以密距的最小值＝4﹣OK＝4﹣2＝2，
故密距的范围为：2≤密距≤4﹣2．
33．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以F（123）＝6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s＝100x+32，t＝150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k＝，当F（s）+F（t）＝18时，求k的最大值．
【解析】（1）F（243）＝（423+342+234）÷111＝9；
F（617）＝（167+716+671）÷111＝14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s＝100x+32，t＝150+y，
∴F（s）＝（302+10x+230+x+100x+23）÷111＝x+5，F（t）＝（510+y+100y+51+105+10y）÷111＝y+6．
∵F（t）+F（s）＝18，
∴x+5+y+6＝x+y+11＝18，
∴x+y＝7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴或或或或或．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴或或，
∴或或，
∴或或，
∴k的最大值为．
34．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）＝．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝1；
（2）如果一个两位正整数t，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．
【解析】（1）对任意一个完全平方数m，设m＝n2（n为正整数），
∵|n﹣n|＝0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）＝＝1；

（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′＝10y+x，
∵t为“吉祥数”，
∴t′﹣t＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x）＝18，
∴y＝x+2，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，
∴F（13）＝，F（24）＝＝，F（35）＝，F（46）＝，F（57）＝，F（68）＝，F（79）＝，
∵＞＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．