2020年云南大学附中中考数学一模试卷

这是一份2020年云南大学附中中考数学一模试卷，共33页。试卷主要包含了2020的绝对值是　 　，的两点，则y1　 　y2等内容，欢迎下载使用。
2020年云南大学附中中考数学一模试卷
一.填空题（每小题3分，满分18分）
1．（3分）（2020•五华区校级一模）2020的绝对值是　 　．
2．（3分）（2020•五华区校级一模）已知∠AOB＝25°42′，则∠AOB的补角为　 　．
3．（3分）（2020•五华区校级一模）在函数y＝中，自变量的取值范围是　 　．
4．（3分）（2020•五华区校级一模）已知A（2，y1），（3，y2）是反比例函数y＝（k＜0）的两点，则y1　 　y2．
5．（3分）（2019•苏州一模）如图，一张扇形纸片OAB中，半径OA为2，点C是的中点，现将这张扇形纸片沿着弦AB折叠，点C恰好与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为　 　．

6．（3分）（2017•玄武区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为　 　．

二.选择题（每小题4分，满分32分）
7．（4分）（2020•旌阳区模拟）如图是由六个棱长为1的小正方体搭成的几何体，其俯视图的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．（4分）（2020•五华区校级一模）近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎．多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施，表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款．截止2月5日中午12点，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000元.14亿中国人民众志成城、行动起来、战斗起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战，将3230000000用科学记数法表示应为（　　）
A．323×107 B．32.3×108 C．3.23×109 D．3.23×1010
9．（4分）（2020•五华区校级一模）估算的值是在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
10．（4分）（2016•青岛）A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝1 D．﹣＝1
11．（4分）（2016•辽阳）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
12．（4分）（2020•五华区校级一模）下列运算正确的是（　　）
A．（xm）2＝xm+2 B．（﹣2x2y）3＝﹣8x5y3
C．x6÷x3＝x2 D．x3•x2＝x5
13．（4分）（2015•乳山市一模）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形．

A．6 B．7 C．8 D．9
14．（4分）（2020•五华区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2＝EF•BF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AF•EC＝EF•EB．其中正确的结论有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
三、解答题（共9小题，满分73分）
15．（8分）（2020•五华区校级一模）（1）计算：（﹣）2﹣|﹣2|+2cos45°﹣（3﹣π）0；
（2）先化简，再求值：，其中x＝+1．
16．（4分）（2020•陕西模拟）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF．

17．（5分）（2020•五华区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）△A2B2C2是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标；
（3）连接OA、OA2，在△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2的过程中，计算A变换到A2过程中的路径是多少？（直接写出答案）

18．（8分）（2020•五华区校级一模）为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？
19．（11分）（2020•五华区校级一模）某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图（如图）的信息回答下列问题：

（1）本次调查的学生总数为　 　人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是　 　小时，众数是　 　小时；
（2）请你补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是　 　；
（3）若全校九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？
（4）若学校需要，从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，恰好是一男一女的概率？（列表或树状图）
20．（8分）（2020•冷水江市一模）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75）

21．（8分）（2020•汇川区模拟）某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（万元/件）
25
30
35
销售量y（件）
50
40
30
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少？
22．（9分）（2019•周村区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC＝AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．
（1）求证：AC是⊙E的切线．
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝　 　．

23．（12分）（2015•日照）如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？


2020年云南大学附中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（每小题3分，满分18分）
1．（3分）（2020•五华区校级一模）2020的绝对值是　2020　．
【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．
【解答】解：根据绝对值的概念可知：|2020|＝2020，
故答案为：2020．
【点评】本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（3分）（2020•五华区校级一模）已知∠AOB＝25°42′，则∠AOB的补角为　154°18′　．
【分析】根据补角的定义求解即可．
【解答】解：∠AOB的补角为：180°﹣25°42′＝154°18′．
故答案为：154°18′．
【点评】本题考查了补角的定义，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．
3．（3分）（2020•五华区校级一模）在函数y＝中，自变量的取值范围是　x≤　．
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：要使函数y＝有意义，则2﹣5x≥0，
解得x≤，
故答案为：x≤．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数是解题关键．
4．（3分）（2020•五华区校级一模）已知A（2，y1），（3，y2）是反比例函数y＝（k＜0）的两点，则y1　＜　y2．
【分析】根据反比例函数的性质和反比例函数增减性，结合函数的横坐标，即可得到答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝的k＜0，
∴x＞0时，y随着x的增大而增大，
∵2＜3，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和反比例函数增减性是解题的关键．
5．（3分）（2019•苏州一模）如图，一张扇形纸片OAB中，半径OA为2，点C是的中点，现将这张扇形纸片沿着弦AB折叠，点C恰好与圆心O重合，则图中阴影部分的面积为　π﹣2　．

【分析】连接OC交AB于点P，根据折叠的性质求出OP＝PC＝1，根据勾股定理求出AP，根据垂径定理求出AB，根据扇形的面积公式和三角形的面积求出即可．
【解答】解：连接OC交AB于点P，
由题意知，OC⊥AB，且OP＝PC＝2＝1，
在Rt△AOP中，∵OA＝2，OP＝1，
∴cos∠POA＝＝，
∴∠POA＝60°，
同理∠BOP＝60°，
∴∠AOB＝120°，
AP＝＝＝，
由垂径定理得：AB＝2AP＝2，
∴阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣2S△AOB＝﹣2××21＝π﹣2，
故答案为：π﹣2．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用、勾股定理的运用、三角函数值的运用、扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．
6．（3分）（2017•玄武区一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为　﹣1　．

【分析】首先求得∠APB＝135°，点P在以AB为弦的⊙O上，然后可求得OC＝，OP＝1，当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值．
【解答】解：如图所示：

∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°．
又∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠PAB+∠PBA＝45°．
∴∠APB＝135°．
∴点P在以AB为弦的⊙O上．
∵∠APB＝135°，
∴∠AOB＝90°．
∴∠OAB＝∠OBA＝45°．
∴∠CAO＝90°．
∴四边形ACBO为矩形．
∵OA＝OB，
∴四边形AOBC为正方形．
∴OA＝OB＝1．
∴OP＝1，OC＝．
当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值，
∴PC的最小值＝OC﹣OP＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、正方形的判定，证得点P在以AB为弦的圆弧上是解题的关键．
二.选择题（每小题4分，满分32分）
7．（4分）（2020•旌阳区模拟）如图是由六个棱长为1的小正方体搭成的几何体，其俯视图的面积为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，据此解答即可．
【解答】解：从上面看，可以看到4个正方形，面积为4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了几何体的三种视图面积的求法及比较，关键是掌握三视图的画法．
8．（4分）（2020•五华区校级一模）近期，新型冠状病毒感染肺炎的疫情在全国蔓延，全国人民团结一致，全力抗击新型冠状病毒感染肺炎．多国政府官员及机构高度赞赏并支持中国政府抗击疫情的有力措施，表示对中国早日战胜疫情充满信心，社会各界人士积极捐款．截止2月5日中午12点，武汉市慈善总会接收捐赠款约3230000000元.14亿中国人民众志成城、行动起来、战斗起来，一定能打赢这场疫情防控阻击战，将3230000000用科学记数法表示应为（　　）
A．323×107 B．32.3×108 C．3.23×109 D．3.23×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3 230 000 000＝3.23×109，
故选：C．
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（4分）（2020•五华区校级一模）估算的值是在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【分析】首先得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴5＜＜6，
∴的值是在：7和8之间．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键．
10．（4分）（2016•青岛）A，B两地相距180km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为（　　）
A．﹣＝1 B．﹣＝1
C．﹣＝1 D．﹣＝1
【分析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
【解答】解：设原来的平均车速为xkm/h，则根据题意可列方程为：
﹣＝1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
11．（4分）（2016•辽阳）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a＜1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△＝（﹣2）2﹣4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得a≠0且△＝（﹣2）2﹣4a＞0，
解得a＜1且a≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
12．（4分）（2020•五华区校级一模）下列运算正确的是（　　）
A．（xm）2＝xm+2 B．（﹣2x2y）3＝﹣8x5y3
C．x6÷x3＝x2 D．x3•x2＝x5
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、（xm）2＝x2m，故此选项错误；
B、（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，故此选项错误；
C、x6÷x3＝x3，故此选项错误；
D、x3•x2＝x5，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
13．（4分）（2015•乳山市一模）如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（　　）个五边形．

A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．
【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，
所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，
如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，
360°÷36°＝10，
∵已经有3个五边形，
∴10﹣3＝7，
即完成这一圆环还需7个五边形．
故选：B．

【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形．
14．（4分）（2020•五华区校级一模）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DF＝CD，BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：①CF2＝EF•BF；②AG＝2DC；③AE＝EF；④AF•EC＝EF•EB．其中正确的结论有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根据等边对等角的性质求出∠DCF＝∠DFC，然后求出DF＝DB，根据等边对等角求出∠DBF＝∠DFB，然后求出∠BFC是直角，根据直角三角形的性质求出△BCF和△CEF相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到①正确；根据互余关系求出∠G＝∠ACG，再根据等角对等边的性质求出AG＝AC，然后求出AG＝BC，从而判断②正确；根据角的互余关系可以求出∠EAF+∠ADC＝90°，∠AFE+∠DFC＝90°再根据∠ADC的正切值为2可知∠ADC≠60°，然后求出∠FDC≠∠DFC，然后求出∠EAF≠∠EFA，从而得到AE≠EF，判断出③错误；根据根据直角三角形的性质求出△CEF和△BCE相似，根据相似三角形的对应边成比例列式求出EC2＝EF•EB，再根据全等三角形对应边相等可得AF＝CE，从而判断出④正确．
【解答】解：∵DF＝CD，
∴∠DCF＝∠DFC，
∵AC＝BC，点D是BC的中点，
∴DF＝DB＝DC，
∴∠DBF＝∠DFB，
又∵∠DBF+∠DFB+∠DFC+∠DCF＝180°，
∴∠BFC＝×180°＝90°，
∴CF⊥BE，
∴Rt△BCF∽Rt△CEF，
∴＝，
∴CF2＝EF•BF，故①正确；
∵AG⊥AD，
∴∠G+∠AFG＝90°，
又∵∠ACG+∠DCF＝90°，∠DCF＝∠DFC＝∠AFG，
∴∠G＝∠ACG，
∴AG＝AC，
∵AC＝BC，
∴AG＝BC，
∵点D是BC的中点，
∴BC＝2DC，
∴AG＝2DC，故②正确；
根据角的互余关系，∠EAF+∠ADC＝90°，∠AFE+∠DFC＝90°，
∵tan∠ADC＝2，
∴∠ADC≠60°，
∵∠DCF＝∠DFC，
∴∠FDC≠∠DFC，
∴∠EAF≠∠EFA，
∴AE≠EF，故③错误；
∵∠ACB＝90°，CF⊥BE，
∴△CEF∽△BCE，
∴＝，
∴EC2＝EF•EB，
∵△BCE≌△AGF（已证），
∴AF＝EC，
∴AF•EC＝EF•EB，故④正确；
所以，正确的结论有①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据等角对等边以及等边对等角的性质求出AG＝AC，然后证明△BCE和△AGF全等是证明的关键，也是本题的难点．
三、解答题（共9小题，满分73分）
15．（8分）（2020•五华区校级一模）（1）计算：（﹣）2﹣|﹣2|+2cos45°﹣（3﹣π）0；
（2）先化简，再求值：，其中x＝+1．
【分析】（1）根据有理数的乘方法则、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则计算即可；
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据二次根式的分母有理化法则计算，得到答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣2++2×﹣1
＝﹣2++﹣1
＝﹣+2；
（2）原式＝÷[﹣]
＝÷
＝×
＝，
当x＝+1时，原式＝＝＝．
【点评】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握实数的混合运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键．
16．（4分）（2020•陕西模拟）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连AE并与DC的延长线交于点F，求证：DC＝CF．

【分析】欲证明DC＝CF，只要证明△ABE≌△FCE即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠CFE；
∵E为BC中点，
∴EB＝EC，
在△ABE与△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF，
∴DC＝CF．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17．（5分）（2020•五华区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，4），B（﹣4，0），C（﹣1，0）．
（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O对称，画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）△A2B2C2是△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的，画出△A2B2C2并写出点A2的坐标；
（3）连接OA、OA2，在△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2的过程中，计算A变换到A2过程中的路径是多少？（直接写出答案）

【分析】（1）根据网格即可画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；
（2）根据网格即可画出△A2B2C2并写出点A2的坐标；
（3）根据弧长公式即可计算A变换到A2过程中的路径．
【解答】解：如图，

（1）△A1B1C1即为所求，
点A1的坐标为（1，﹣4）；
（2）△A2B2C2即为所求，
点A2的坐标为（4，1）；
（3）A变换到A2过程中的路径为：＝．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
18．（8分）（2020•五华区校级一模）为迎接暑假旅游高峰的到来，某旅游纪念品商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品7件，B种纪念品4件，需要760元；若购进A种纪念品5件．B种纪念品8件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件．考虑市场需求和资金周转，这100件纪念品的资金不少于7000元，但不超过7200元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售A种纪念品每件可获利润30元，B种纪念品每件可获利润20元，用（2）中的进货方案，哪一种方案可获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，根据购买商品的数量及价格之间的关系建立方程组求出其解即可；
（2）设该商店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品（100﹣a）套，根据条件中的不相等关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润＝A种纪念品的利润+B种纪念品的利润就可以表示出W与a的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．
【解答】解：（1）设购进A种纪念品每件需要x元，购进B种纪念品每件需要y元，由题意，得
，
解得：．
答：进A种纪念品每件需要80元，购进B种纪念品每件需要50元；

（2）设该商店购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品（100﹣a）套，由题意，得
，
解得：66≤a≤73．
∵a为整数，
∴a＝67，68，69，70，71，72，73．
∴该商店共有7种进货方案；

（3）设总利润为W元，由题意，得
W＝30a+20（100﹣a）＝10a+2000．
∴k＝10＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴该商店购进A种纪念品73件，购进B种纪念品27套，W最大＝10×73+2000＝2730元．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式组解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程或不等式是关键．
19．（11分）（2020•五华区校级一模）某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图（如图）的信息回答下列问题：

（1）本次调查的学生总数为　50　人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是　4　小时，众数是　5　小时；
（2）请你补全条形统计图，在扇形统计图中，课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数是　144°　；
（3）若全校九年级共有学生700人，估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有多少人？
（4）若学校需要，从二男二女四名同学中随机选取两人分享读后感，恰好是一男一女的概率？（列表或树状图）
【分析】（1）用阅读时间为3小数的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算出阅读时间为6小时的男生人数，然后根据中位数、众数的定义求解；
（2）先利用阅读时间为6小时的男生人数补全条形统计图，然后用360°乘以阅读时间为5小时的人数所占的百分比得到课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数；
（3）用700乘以样本中阅读时间为6小数的人数的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）（6+4）÷20%＝50，
所以本次调查的学生总数为50人，
课外阅读时间为6小时的男生人数为50﹣10﹣16﹣20﹣3＝1，
所以被调查学生的课外阅读时间的中位数是4小时，众数是5小时；
（2）课外阅读时间为5小时的扇形的圆心角度数＝360°×＝144°，
补全条形统计图为：

故答案为50；4；5；144°；
（3）700×＝56，
所以估计九年级一周课外阅读时间为6小时的学生有56人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好是一男一女的结果数为8，
所以恰好是一男一女的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
20．（8分）（2020•冷水江市一模）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干AB垂直于水平地面）被刮倾斜7°（即∠BAB′＝7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠CDA＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高度．（结果保留根号）（参考数据：sin37≈0.6，cos37＝0.8，tan37≈0.75）

【分析】过点A作AE⊥CD于点E，解Rt△AED，求出DE及AE的长度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC＝∠AED＝90°．
∵在Rt△AED中，∠ADC＝37°，
∴cos37°＝＝＝0.8，
∴DE＝4，
∵sin37°＝＝＝0.6，
∴AE＝3．
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
∴CE＝AE＝，
∴AC＝2CE＝2，
∴AB＝AC+CE+ED＝2++4＝3+4（米）．
答：这棵大树AB原来的高度是（3+4）米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．（8分）（2020•汇川区模拟）某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价x（万元/件）
25
30
35
销售量y（件）
50
40
30
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；
（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；
（2）根据题意可以写出W与x之间的函数表达式；
（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元，即可得到利润W随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少万元时获得最大利润，最大利润是多少．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
，
解得，
即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+100；
（2）由题意可得，
W＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000，
即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+140x﹣2000；
（3）∵W＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，20≤x≤40，
∴当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，
当x＝35时，W取得最大值，此时W＝450，
答：当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，售价为35万元时获得最大利润，最大利润是450万元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答．
22．（9分）（2019•周村区一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC＝AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．
（1）求证：AC是⊙E的切线．
（2）若AF＝4，CG＝5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝　　．

【分析】（1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC＝∠A＝90°，所以AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，
列比例式代入r可得结论；
②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．
【解答】证明：（1）∵CD•BC＝AC•CE，
∴，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠EDC＝∠A＝90°，
∴ED⊥AC，
∵点D在⊙E上，
∴AC是⊙E的切线；

（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，
∴BH＝FH，
∵∠A＝∠AHE＝∠ADE＝90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴ED＝AH，ED∥AB，
∴∠B＝∠DEC，
设⊙E的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r，
∴BH＝FH＝AH﹣AF＝DE﹣AF＝r﹣4，
EC＝EG+CG＝r+5，
在△BHE和△EDC中，
∵∠B＝∠DEC，∠BHE＝∠EDC＝90°，
∴△BHE∽△EDC，
∴，即，
∴r＝20，
∴⊙E的半径为20；

②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，
由①得：FH＝BH＝r﹣4＝20﹣4＝16，AB＝AF+2BH＝4+2×16＝36，
BC＝2r+5＝2×20+5＝45，
∴AC＝＝27，
∵I是Rt△ABC的内心，
∴IM＝＝＝9，
∴AH＝IM＝9，
∴BH＝BM＝36﹣9＝27，
∴EM＝27﹣20＝7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE＝＝＝，
故答案为：．


【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、圆的切线的性质和判定、直角三角形内切圆的半径、切线长定理等知识，最后一问有难度，作辅助线，构建直角△IEM是关键，掌握直角三角形内切圆半径r＝（a、b是直角三角形的两直角边，c为斜边）．
23．（12分）（2015•日照）如图，抛物线y＝x2+mx+n与直线y＝﹣x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？

【分析】（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y＝x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形ABC是直角三角形，从而得到∠ACB＝90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；
（Ⅱ）（1）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x，易得∠APQ＝∠ACB＝90°．若点G在点A的下方，①当∠PAQ＝∠CAB时，△PAQ∽△CAB．此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG＝3PG＝3x．则有P（x，3﹣3x），然后把P（x，3﹣3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ＝∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE＝EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+＝DE+EN．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，从而可得∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y＝x2+mx+n，得
，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3
联立，
解得：或，
∴点B的坐标为（4，1）．
如图1．
∵C（3，0），B（4，1），A（0，3），
∴AB2＝20，BC2＝2，AC2＝18，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
∴tan∠BAC＝＝＝；

（Ⅱ）方法一：
（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．
过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA＝90°．
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG＝x．
∵PQ⊥PA，∠ACB＝90°，
∴∠APQ＝∠ACB＝90°．
若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB．
∵∠PGA＝∠ACB＝90°，∠PAQ＝∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴＝＝．
∴AG＝3PG＝3x．
则P（x，3﹣3x）．
把P（x，3﹣3x）代入y＝x2﹣x+3，得
x2﹣x+3＝3﹣3x，
整理得：x2+x＝0
解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣1（舍去）．
②如图2②，当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：AG＝PG＝x，则P（x，3﹣x），
把P（x，3﹣x）代入y＝x2﹣x+3，得
x2﹣x+3＝3﹣x，
整理得：x2﹣x＝0
解得：x1＝0（舍去），x2＝，
∴P（，）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ＝∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，
同理可得：点P的坐标为（11，36）．
②当∠PAQ＝∠CBA时，则△PAQ∽△CBA．
同理可得：点P的坐标为P（，）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；

方法二：
作△APQ的“外接矩形”AQGH，易证△AHP∽△QGP，
∴，
∵以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似，
∴或，
设P（2t，2t2﹣5t+3），A（0，3），H（2t，3），
①，∴||＝，
∴2t1＝，2t2＝，
②，∴||＝3
∴2t1＝11，2t2＝﹣1，（舍），
∴满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；

（2）方法一：
过点E作EN⊥y轴于N，如图3．
在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为+＝DE+EN．
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，
∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN．
根据两点之间线段最短可得：
当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小．
此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，
∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．
对于y＝x2﹣x+3，
当y＝0时，有x2﹣x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
∴D（2，0），OD＝2，
∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，
∴NE＝AN＝AO﹣ON＝3﹣1＝2，
∴点E的坐标为（2，1）．

方法二：
作点D关于AC的对称点D′，DD′交AC于点M，显然DE＝D′E，
作D′N⊥y轴，垂足为N，交直线AC于点E，如图4，
在Rt△ANE中，EN＝AE•sin45°＝AE，即AE＝EN，
∴当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，
∵A（0，3），C（3，0），
∴lAC：y＝﹣x+3，
∴M（m，﹣m+3），D（2，0），
∵DM⊥AC，∴KDM×KAC＝﹣1，
∴﹣1×，
∴m＝，∴M（，），
∵M为DD′的中点，
∴D′（3，1），
∵EY＝D′Y＝1，
∴E（2，1）．

方法三：如图，5，过A作射线AF∥x轴，过D作射线DF∥y轴，DF与AC交于点E．
∵A（0，3），C（3，0），
∴lAC：y＝﹣x+3．
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠ACO＝45°，
∵AF∥OC，
∴∠FAE＝45°．
∴EF＝AE•sin45°＝．
∴当且仅当AF⊥DF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t＝+＝DE+EF，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，且C（3，0），
∴可求得D点坐标为（2，0）
则E点横坐标为2，将x＝2代入lAC：y＝﹣x+3，得y＝1．
所以E（2，1）．






【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（Ⅱ）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（Ⅱ）（2）小题的关键．
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日期：2021/3/28 13:21:30；用户：昆明星火初中数学；邮箱：xhjykmczsx02@xyh.com；学号：36044286