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2021年安徽省淮南市西部地区中考数学一模试题
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这是一份2021年安徽省淮南市西部地区中考数学一模试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年安徽省淮南市西部地区中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．比﹣2大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣|﹣2| C．﹣1 D．﹣
2．计算：（﹣a）6÷（﹣a）3的结果是（ ）
A．a3 B．﹣a2 C．﹣a3 D．a2
3．如图所示的零件，其俯视图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．“天问一号”是中国行星探测任务中的首次火星探测任务，引起广泛关注．已知火星半径约为3395000米，是地球的53%，用科学记数法可将3395000表示为（ ）
A．3.395×103 B．3.395×106 C．33.95×105 D．0.3395×107
5．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（ ）
A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260
C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝260
6．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
7．已知在平面直角坐标系中，P（1，a）是一次函数y＝﹣2x+1的图象与反比例函数y＝图象的交点，则实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．4
9．对x，y定义一种新运算，规定：T（x，y）＝（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b．已知T（0，1）＝3，T（1，0）＝，若m满足不等式组，则整数m的值为（ ）
A．﹣2和﹣1 B．﹣1和0 C．0和1 D．1和2
10．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．8﹣4 D．4﹣4
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：﹣＝ ．
12．（5分）分解因式：m﹣mn2＝ ．
13．（5分）如图，已知一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于点A（3，m），B（﹣4，n），与x轴交于点C，连接OA，点D为x轴上一点，OD＝OA，连接AD、BD，则△ABD的面积为 ．
14．（5分）已知在菱形ABCD中，∠A＝60°，DE∥BF，sinE＝，DE＝6，EF＝BF＝5，解答下列问题：
（1）cosF的值为 ；
（2）菱形ABCD的边长为 ．
三、（本题每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：1﹣＞0．
16．（8分）平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（3，﹣4），C（6，﹣3）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位后得到的△A1B1C1；
（2）以点M（1，2）为位似中心，在网格中画出与△A1B1C1位似的图形△A2B2C2，且使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
四、（每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：﹣+＝1，
第2个等式：﹣+＝1，
第3个等式：+＝1，
第4个等式：﹣+＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：；
（2）写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明．
18．（8分）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？
五、（本题每小题10，满分20分）
19．（10分）芜湖市某医院计划选购A，B两种防护服．已知A防护服每件价格是B防护服每件价格的2倍，用80000元单独购买A防护服比用80000元单独购买B防护服要少50件．如果该医院计划购买B防护服的件数比购买A防护服件数的2倍多8件，且用于购买A，B两种防护服的总经费不超过320000元，那么该医院最多可以购买多少件B防护服？
20．（10分）如图，ʘO为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CBD；
（2）若BC＝5，BD＝8，求⊙O的半径．
六、（本题满分12分）
21．（12分）受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查．调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生，估计全校用手机上网课的学生共有 名；
（3）在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题，求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）华盛公司有甲、乙两个销售团队，同时销售同种产品，12个月后统计得出如下信息：甲销售团队第x个月销售量y1（万件）与x之间的函数关系为y1＝a（x﹣4）2+；乙销售团队第x个月销售量y2（万件）与x之间的函数关系为y2＝kx+1（1≤x≤12，x为整数）．甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件）
（1）分别求y1、y2的函数解析式；
（2）探求有几个月乙销售团队比甲销售团队的销量高，并求当月最多高出多少万件？
（3）直接写出共有多少个月甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，那么点P与点A的最短距离是 ；
（2）若点P在BC上时，求证：△ABP∽△PCQ；
（3）在点P处设计并安装一个扫描器，按固定角（∠APQ）扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请求出点K被扫描到的总时长．
2021年安徽省淮南市西部地区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．比﹣2大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣|﹣2| C．﹣1 D．﹣
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2，﹣|﹣2|＝﹣2，﹣1＞﹣2，﹣＜﹣2，
∴所给的各数中，比﹣2大的数是﹣1．
故选：C．
2．计算：（﹣a）6÷（﹣a）3的结果是（ ）
A．a3 B．﹣a2 C．﹣a3 D．a2
【分析】本题需先根据同底数幂的除法进行计算，再根据乘方的性质即可求出结果．
【解答】解：（﹣a）6÷（﹣a）3
＝（﹣a）3
＝﹣a3．
故选：C．
3．如图所示的零件，其俯视图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的内部有两个同心圆，外圆与矩形的两边相切．
故选：B．
4．“天问一号”是中国行星探测任务中的首次火星探测任务，引起广泛关注．已知火星半径约为3395000米，是地球的53%，用科学记数法可将3395000表示为（ ）
A．3.395×103 B．3.395×106 C．33.95×105 D．0.3395×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：3395000＝3.395×106．
故选：B．
5．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（ ）
A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260
C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝260
【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：300（1﹣x）2＝260．
故选：D．
6．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断．
【解答】解：由平均数的公式得平均数＝（5+8+8+9+10）÷5＝8，
方差＝[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2.8，
将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，
5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，
故选：D．
7．已知在平面直角坐标系中，P（1，a）是一次函数y＝﹣2x+1的图象与反比例函数y＝图象的交点，则实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】将点P的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式即可求解．
【解答】解：将点P的坐标代入一次函数表达式得：a＝﹣2+1＝﹣1，
故点P（1，﹣1），
将点P的坐标代入反比例函数表达式得：﹣1＝，解得：k＝﹣1，
故选：A．
8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．4
【分析】连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB＝2AC，因为tan∠OAB＝，易得＝，代入得结果．
【解答】解：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∴AB＝2AC，
∵OD＝2，
∴OC＝2，
∵tan∠OAB＝，
∴AC＝4，
∴AB＝8，
故选：C．
9．对x，y定义一种新运算，规定：T（x，y）＝（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b．已知T（0，1）＝3，T（1，0）＝，若m满足不等式组，则整数m的值为（ ）
A．﹣2和﹣1 B．﹣1和0 C．0和1 D．1和2
【分析】先根据新定义，由T（0，1）＝3，T（1，0）＝，求出b＝3，a＝1，则T（x，y）＝，然后解不等式组，求出m的解集，即可确定整数m的值．
【解答】解：∵T（x，y）＝（其中a，b均为非零常数），T（0，1）＝3，T（1，0）＝，
∴＝3，＝，
∴b＝3，a＝1，
∴T（x，y）＝，
∴T（2m，5﹣4m）＝＝﹣2m+3≤4，解得m≥﹣，
T（m，3﹣2m）＝＝≥1，解得m≤，
∴不等式组的解集为﹣≤m≤，
∴整数m的值为0，1．
故选：C．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．8﹣4 D．4﹣4
【分析】根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∵∠ABE＝∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE＝4，
∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝8，
∴OG＝12，
∴OF＝＝4，
∴EF＝4﹣4，
∴PD+PE的长度最小值为4﹣4，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：﹣＝ 1 ．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣3
＝1．
故答案为：1．
12．（5分）分解因式：m﹣mn2＝ m（1+n）（1﹣n） ．
【分析】首先提取公因式m，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：m﹣mn2＝m（1﹣n2）＝m（1﹣n）（1+n），
故答案为：m（1﹣n）（1+n）．
13．（5分）如图，已知一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于点A（3，m），B（﹣4，n），与x轴交于点C，连接OA，点D为x轴上一点，OD＝OA，连接AD、BD，则△ABD的面积为 14 ．
【分析】先求得OA的长，再确定C点坐标为（﹣1，0），即可求得CD＝4，再根据S△ABD＝S△ACD+S△BCD计算即可．
【解答】解：把A、B的坐标代入代入y2＝得：k＝3m＝﹣4n①，
把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：②，
联立①②并解得，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
∴一次函数y1的解析式为y1＝x+1；
把y＝0代入y1＝x+1得x+1＝0，解得x＝﹣1，
∴C点坐标为（﹣1，0），
∴OC＝1
∵A（3，4），
∴OA＝＝5，
∵OD＝OA，
∴OD＝5，
∴CD＝5﹣1＝4，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝×4×4+×4×3＝14．
故答案为：14．
14．（5分）已知在菱形ABCD中，∠A＝60°，DE∥BF，sinE＝，DE＝6，EF＝BF＝5，解答下列问题：
（1）cosF的值为 ；
（2）菱形ABCD的边长为 4 ．
【分析】①由平行线性质可得∠E＝∠F，利用锐角三角函数可求解；
②连接BD，过B作BG∥EF交DE的延长线于G，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD，判断△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD的长．
【解答】解：①∵DE∥BF，
∴∠E＝∠F，
∴sinE＝sinF＝，
∴cosF＝，
故答案为；
②连接BD，过B作BG∥EF交DE的延长线于G，
∵∠DEF＝∠F，
∴EG∥BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∵EF＝BF，
∴四边形BFEG是菱形，
∴EG＝BG＝EF＝BF＝5，
∴DG＝6+5＝11，
∵EF∥BG，
∴∠G＝∠DEF，
过D作DH⊥GB交GB的延长线于H，
∴∠DHG＝90°，
∵sin∠DEF＝sinG＝＝，
∴DH＝，
∴GH＝，
∴BH＝GH﹣BG＝，
∴BD＝＝＝4，
∵在菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝4，
故答案为：4．
三、（本题每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：1﹣＞0．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：两边同乘2得，2﹣（1﹣x）＞0，
去括号得：2﹣1+x＞0，
解得：x＞﹣1．
16．（8分）平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（3，﹣4），C（6，﹣3）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位后得到的△A1B1C1；
（2）以点M（1，2）为位似中心，在网格中画出与△A1B1C1位似的图形△A2B2C2，且使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长MA1到A2使MA2＝2MA1，延长MB1到B2使MB2＝2MB1，延长MC1到C2使MC2＝2MC1，从而得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
四、（每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：﹣+＝1，
第2个等式：﹣+＝1，
第3个等式：+＝1，
第4个等式：﹣+＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：；
（2）写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；
（2）根据规律写出通项公式然后证明即可．
【解答】解：（1）第5个等式为：；
（2）第n个等式为：；
∴等式成立；
18．（8分）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？
【分析】过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，在直角三角形ACD中，求出CD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BC的长，进而求出所求时间即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，
由题意得：∠MAB＝∠NBA＝90°，∠MAC＝60°，∠NBC＝45°，AC＝60海里，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝∠MAB﹣∠MAC＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC＝30（海里），
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝∠NBD﹣∠NBC＝90°﹣45°＝45°，
∴BC＝CD＝60（海里），
∴60÷50＝1.2（小时），
∴从B处到达C岛处需要1.2小时．
五、（本题每小题10，满分20分）
19．（10分）芜湖市某医院计划选购A，B两种防护服．已知A防护服每件价格是B防护服每件价格的2倍，用80000元单独购买A防护服比用80000元单独购买B防护服要少50件．如果该医院计划购买B防护服的件数比购买A防护服件数的2倍多8件，且用于购买A，B两种防护服的总经费不超过320000元，那么该医院最多可以购买多少件B防护服？
【分析】设B防护服的单价为x元/件，则A防护服的单价为2x元/件，根据数量＝总价÷单价结合用80000元单独购买A防护服比用80000元单独购买B防护服要少50件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出A，B防护服的单价，设该医院购买m件A防护服，则购买（2m+8）件B防护服，根据总价＝单价×数量结合总价不超过320000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，进而可得出（2m+8）的取值范围，取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：设B防护服的单价为x元/件，则A防护服的单价为2x元/件，
依题意，得：﹣＝50，
解得：x＝800，
经检验，x＝800是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝1600．
设该医院购买m件A防护服，则购买（2m+8）件B防护服，
依题意，得：1600m+800（2m+8）≤320000，
解得：m≤98，
∴2m+8≤204．
答：最多可以购买204件B防护服．
20．（10分）如图，ʘO为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CBD；
（2）若BC＝5，BD＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）由切线的性质可得OC⊥MN，由垂径定理可得＝，可得结论；
（2）由垂径定理可得BH＝4，由勾股定理可求CH，OB的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OC，交BD于H，连接BO，
∵直线MN与⊙O相切于点C，
∴OC⊥MN，
∵BD∥MN，
∴OC⊥BD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠CBD；
（2）∵OC⊥BD，
∴BH＝HD＝BD＝4，
∴CH＝＝＝3，
∵OB2＝OH2+BH2，
∴OB2＝（OB﹣3）2+16，
∴OB＝，
∴⊙O的半径为．
六、（本题满分12分）
21．（12分）受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查．调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生，估计全校用手机上网课的学生共有 450 名；
（3）在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题，求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
【分析】（1）根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，从而补全统计图；
（2）用该校的总人数乘以用手机上网课的学生所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽取的总人数是：40÷40%＝100（人），
手机的人数是：100﹣40﹣20﹣10＝30（人），补全统计图如下：
（2）全校用手机上网课的学生共有：1500×＝450（名）；
故答案为：450；
（3）根据题意画树状图如下：
共有16种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有4种，
则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率是＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）华盛公司有甲、乙两个销售团队，同时销售同种产品，12个月后统计得出如下信息：甲销售团队第x个月销售量y1（万件）与x之间的函数关系为y1＝a（x﹣4）2+；乙销售团队第x个月销售量y2（万件）与x之间的函数关系为y2＝kx+1（1≤x≤12，x为整数）．甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件）
（1）分别求y1、y2的函数解析式；
（2）探求有几个月乙销售团队比甲销售团队的销量高，并求当月最多高出多少万件？
（3）直接写出共有多少个月甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
【分析】（1）根据甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件），代入y1、y2解方程即可；
（2）运用y2﹣y1＝0，利用二次函数和一元二次方程以及一元二次不等式的关系解决问题；
（3）可利用不等式组解决问题．
【解答】解：（1）∵甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件），
∴＝9a+，＝k+1，
解得：a＝，k＝，
∴y1＝（x﹣4）2+，y2＝x+1；
（2）y1﹣y2＝（x﹣4）2+﹣x+1＝﹣（x﹣5）2+2，
令y1﹣y2＝0，解方程得：x1＝1，x2＝9，
结合函数的图象可知，当1＜x＜9时，y1﹣y2＞0，即y1＞y2
又x为整数，∴x＝2，3，4，5，6，7，8，共有7个月乙销售团队比甲销售团队的销量高，当x＝5时，当月最多高出2万件．
（3）∵甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
∴（x﹣4）2+≥①，x+1≥②，
由①得，x≤0或x≥8，由②得，x≥4.5
又∵x为整数，
∴x＝8，9，10，11，12，共5个月甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，那么点P与点A的最短距离是 3 ；
（2）若点P在BC上时，求证：△ABP∽△PCQ；
（3）在点P处设计并安装一个扫描器，按固定角（∠APQ）扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请求出点K被扫描到的总时长．
【分析】（1）在图1中，过点A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH即可．
（2）由∠APQ+∠QPC＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠B得到∠QPC＝∠BAP，即可求解；
（3）①从Q平移到K，耗时：＝1秒，这1秒K没有被扫描到；②P在BC上时，K与Q重合时，由△ABP∽△PCQ，得到，即，求出y＝或，则÷＝10秒，÷＝22秒，故从10秒到22秒，这12秒K也没有被扫描到，进而求解．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，
∴tan∠B＝tan∠C＝，
∴AH＝3，
∴当点P在BC上时，PA⊥BC时，点P到A的最短距离为3，
故答案为：3；
（2）∵∠APQ+∠QPC＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠B，
∴∠QPC＝∠BAP，
又∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCQ；
（3）∵AM＝2＜AK＝，BM＝3，BN＝6，
则BM+BN＝9，
∴P点的移动速度＝＝，
①从Q平移到K，耗时：＝1秒，这1秒K没有被扫描到；
②P在BC上时，K与Q重合时，CQ＝CK＝5﹣＝，
∵△ABP∽△PCQ，
设BP＝y，CP＝8﹣y，，即，
整理得y2﹣8y＝，
解得y＝或，
∵÷＝10秒，÷＝22秒，
∴从10秒到22秒，这12秒K也没有被扫描到，
∴点K被扫描到的总时长36﹣（22﹣10）﹣1＝23秒．
2021年安徽省淮南市西部地区中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．比﹣2大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣|﹣2| C．﹣1 D．﹣
2．计算：（﹣a）6÷（﹣a）3的结果是（ ）
A．a3 B．﹣a2 C．﹣a3 D．a2
3．如图所示的零件，其俯视图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．“天问一号”是中国行星探测任务中的首次火星探测任务，引起广泛关注．已知火星半径约为3395000米，是地球的53%，用科学记数法可将3395000表示为（ ）
A．3.395×103 B．3.395×106 C．33.95×105 D．0.3395×107
5．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（ ）
A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260
C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝260
6．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
7．已知在平面直角坐标系中，P（1，a）是一次函数y＝﹣2x+1的图象与反比例函数y＝图象的交点，则实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．4
9．对x，y定义一种新运算，规定：T（x，y）＝（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b．已知T（0，1）＝3，T（1，0）＝，若m满足不等式组，则整数m的值为（ ）
A．﹣2和﹣1 B．﹣1和0 C．0和1 D．1和2
10．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．8﹣4 D．4﹣4
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：﹣＝ ．
12．（5分）分解因式：m﹣mn2＝ ．
13．（5分）如图，已知一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于点A（3，m），B（﹣4，n），与x轴交于点C，连接OA，点D为x轴上一点，OD＝OA，连接AD、BD，则△ABD的面积为 ．
14．（5分）已知在菱形ABCD中，∠A＝60°，DE∥BF，sinE＝，DE＝6，EF＝BF＝5，解答下列问题：
（1）cosF的值为 ；
（2）菱形ABCD的边长为 ．
三、（本题每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：1﹣＞0．
16．（8分）平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（3，﹣4），C（6，﹣3）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位后得到的△A1B1C1；
（2）以点M（1，2）为位似中心，在网格中画出与△A1B1C1位似的图形△A2B2C2，且使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
四、（每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：﹣+＝1，
第2个等式：﹣+＝1，
第3个等式：+＝1，
第4个等式：﹣+＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：；
（2）写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明．
18．（8分）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？
五、（本题每小题10，满分20分）
19．（10分）芜湖市某医院计划选购A，B两种防护服．已知A防护服每件价格是B防护服每件价格的2倍，用80000元单独购买A防护服比用80000元单独购买B防护服要少50件．如果该医院计划购买B防护服的件数比购买A防护服件数的2倍多8件，且用于购买A，B两种防护服的总经费不超过320000元，那么该医院最多可以购买多少件B防护服？
20．（10分）如图，ʘO为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CBD；
（2）若BC＝5，BD＝8，求⊙O的半径．
六、（本题满分12分）
21．（12分）受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查．调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生，估计全校用手机上网课的学生共有 名；
（3）在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题，求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）华盛公司有甲、乙两个销售团队，同时销售同种产品，12个月后统计得出如下信息：甲销售团队第x个月销售量y1（万件）与x之间的函数关系为y1＝a（x﹣4）2+；乙销售团队第x个月销售量y2（万件）与x之间的函数关系为y2＝kx+1（1≤x≤12，x为整数）．甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件）
（1）分别求y1、y2的函数解析式；
（2）探求有几个月乙销售团队比甲销售团队的销量高，并求当月最多高出多少万件？
（3）直接写出共有多少个月甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，那么点P与点A的最短距离是 ；
（2）若点P在BC上时，求证：△ABP∽△PCQ；
（3）在点P处设计并安装一个扫描器，按固定角（∠APQ）扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请求出点K被扫描到的总时长．
2021年安徽省淮南市西部地区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1．比﹣2大的数是（ ）
A．﹣3 B．﹣|﹣2| C．﹣1 D．﹣
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2，﹣|﹣2|＝﹣2，﹣1＞﹣2，﹣＜﹣2，
∴所给的各数中，比﹣2大的数是﹣1．
故选：C．
2．计算：（﹣a）6÷（﹣a）3的结果是（ ）
A．a3 B．﹣a2 C．﹣a3 D．a2
【分析】本题需先根据同底数幂的除法进行计算，再根据乘方的性质即可求出结果．
【解答】解：（﹣a）6÷（﹣a）3
＝（﹣a）3
＝﹣a3．
故选：C．
3．如图所示的零件，其俯视图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的内部有两个同心圆，外圆与矩形的两边相切．
故选：B．
4．“天问一号”是中国行星探测任务中的首次火星探测任务，引起广泛关注．已知火星半径约为3395000米，是地球的53%，用科学记数法可将3395000表示为（ ）
A．3.395×103 B．3.395×106 C．33.95×105 D．0.3395×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：3395000＝3.395×106．
故选：B．
5．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从元月份的300万元，连续两个月降至260万元，设平均降低率为x，则可列方程（ ）
A．300（1+x）2＝260 B．300（1﹣x2）＝260
C．300（1﹣2x）＝260 D．300（1﹣x）2＝260
【分析】根据该企业元月份及经过两个月降低后的生产总值，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：300（1﹣x）2＝260．
故选：D．
6．已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8
【分析】分别计算平均数，众数，中位数，方差后判断．
【解答】解：由平均数的公式得平均数＝（5+8+8+9+10）÷5＝8，
方差＝[（5﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2.8，
将5个数按从小到大的顺序排列为：5，8，8，9，10，第3个数为8，即中位数为8，
5个数中8出现了两次，次数最多，即众数为8，
故选：D．
7．已知在平面直角坐标系中，P（1，a）是一次函数y＝﹣2x+1的图象与反比例函数y＝图象的交点，则实数k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】将点P的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式即可求解．
【解答】解：将点P的坐标代入一次函数表达式得：a＝﹣2+1＝﹣1，
故点P（1，﹣1），
将点P的坐标代入反比例函数表达式得：﹣1＝，解得：k＝﹣1，
故选：A．
8．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是（ ）
A．4 B．2 C．8 D．4
【分析】连接OC，利用切线的性质知OC⊥AB，由垂径定理得AB＝2AC，因为tan∠OAB＝，易得＝，代入得结果．
【解答】解：连接OC，
∵大圆的弦AB切小圆于点C，
∴OC⊥AB，
∴AB＝2AC，
∵OD＝2，
∴OC＝2，
∵tan∠OAB＝，
∴AC＝4，
∴AB＝8，
故选：C．
9．对x，y定义一种新运算，规定：T（x，y）＝（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝＝b．已知T（0，1）＝3，T（1，0）＝，若m满足不等式组，则整数m的值为（ ）
A．﹣2和﹣1 B．﹣1和0 C．0和1 D．1和2
【分析】先根据新定义，由T（0，1）＝3，T（1，0）＝，求出b＝3，a＝1，则T（x，y）＝，然后解不等式组，求出m的解集，即可确定整数m的值．
【解答】解：∵T（x，y）＝（其中a，b均为非零常数），T（0，1）＝3，T（1，0）＝，
∴＝3，＝，
∴b＝3，a＝1，
∴T（x，y）＝，
∴T（2m，5﹣4m）＝＝﹣2m+3≤4，解得m≥﹣，
T（m，3﹣2m）＝＝≥1，解得m≤，
∴不等式组的解集为﹣≤m≤，
∴整数m的值为0，1．
故选：C．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为8，点E是正方形内部一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是AB边上一动点，连接PD，PE，则PD+PE长度的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．8﹣4 D．4﹣4
【分析】根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，推出∠BEC＝90°，得到点E在以BC为直径的半圆上移动，如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，连接FO交AB于P，交⊙O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∵∠ABE＝∠BCE，
∴∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∴点E在以BC为直径的半圆上移动，
如图，设BC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AB对称的正方形AFGB，则点D的对应点是F，
连接FO交AB于P，交半圆O于E，则线段EF的长即为PD+PE的长度最小值，OE＝4，
∵∠G＝90°，FG＝BG＝AB＝8，
∴OG＝12，
∴OF＝＝4，
∴EF＝4﹣4，
∴PD+PE的长度最小值为4﹣4，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）计算：﹣＝ 1 ．
【分析】根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝4﹣3
＝1．
故答案为：1．
12．（5分）分解因式：m﹣mn2＝ m（1+n）（1﹣n） ．
【分析】首先提取公因式m，再利用平方差公式进行二次分解即可．
【解答】解：m﹣mn2＝m（1﹣n2）＝m（1﹣n）（1+n），
故答案为：m（1﹣n）（1+n）．
13．（5分）如图，已知一次函数y1＝x+b的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于点A（3，m），B（﹣4，n），与x轴交于点C，连接OA，点D为x轴上一点，OD＝OA，连接AD、BD，则△ABD的面积为 14 ．
【分析】先求得OA的长，再确定C点坐标为（﹣1，0），即可求得CD＝4，再根据S△ABD＝S△ACD+S△BCD计算即可．
【解答】解：把A、B的坐标代入代入y2＝得：k＝3m＝﹣4n①，
把点A、B的坐标代入一次函数表达式得：②，
联立①②并解得，
∴反比例函数的解析式为y2＝，
∴一次函数y1的解析式为y1＝x+1；
把y＝0代入y1＝x+1得x+1＝0，解得x＝﹣1，
∴C点坐标为（﹣1，0），
∴OC＝1
∵A（3，4），
∴OA＝＝5，
∵OD＝OA，
∴OD＝5，
∴CD＝5﹣1＝4，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝×4×4+×4×3＝14．
故答案为：14．
14．（5分）已知在菱形ABCD中，∠A＝60°，DE∥BF，sinE＝，DE＝6，EF＝BF＝5，解答下列问题：
（1）cosF的值为 ；
（2）菱形ABCD的边长为 4 ．
【分析】①由平行线性质可得∠E＝∠F，利用锐角三角函数可求解；
②连接BD，过B作BG∥EF交DE的延长线于G，根据菱形的判定和性质以及解直角三角形求得BD，判断△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出菱形ABCD的长．
【解答】解：①∵DE∥BF，
∴∠E＝∠F，
∴sinE＝sinF＝，
∴cosF＝，
故答案为；
②连接BD，过B作BG∥EF交DE的延长线于G，
∵∠DEF＝∠F，
∴EG∥BF，
∴四边形BFEG是平行四边形，
∵EF＝BF，
∴四边形BFEG是菱形，
∴EG＝BG＝EF＝BF＝5，
∴DG＝6+5＝11，
∵EF∥BG，
∴∠G＝∠DEF，
过D作DH⊥GB交GB的延长线于H，
∴∠DHG＝90°，
∵sin∠DEF＝sinG＝＝，
∴DH＝，
∴GH＝，
∴BH＝GH﹣BG＝，
∴BD＝＝＝4，
∵在菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD＝4，
故答案为：4．
三、（本题每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式：1﹣＞0．
【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：两边同乘2得，2﹣（1﹣x）＞0，
去括号得：2﹣1+x＞0，
解得：x＞﹣1．
16．（8分）平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（2，﹣2），B（3，﹣4），C（6，﹣3）．
（1）画出将△ABC向上平移6个单位后得到的△A1B1C1；
（2）以点M（1，2）为位似中心，在网格中画出与△A1B1C1位似的图形△A2B2C2，且使得△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）延长MA1到A2使MA2＝2MA1，延长MB1到B2使MB2＝2MB1，延长MC1到C2使MC2＝2MC1，从而得到△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．
四、（每小题8分，满分16分）
17．（8分）观察以下等式：
第1个等式：﹣+＝1，
第2个等式：﹣+＝1，
第3个等式：+＝1，
第4个等式：﹣+＝1，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：；
（2）写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：（用含n的等式表示），并证明．
【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；
（2）根据规律写出通项公式然后证明即可．
【解答】解：（1）第5个等式为：；
（2）第n个等式为：；
∴等式成立；
18．（8分）如图，C处是一钻井平台，位于东营港口A的北偏东60°方向上，与港口A相距60海里，一艘摩托艇从A出发，自西向东航行至B时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC方向行进，此时C位于B的北偏西45°方向，则从B到达C需要多少小时？
【分析】过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，在直角三角形ACD中，求出CD的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义求出BC的长，进而求出所求时间即可．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在点A的正北方向上取点M，在点B的正北方向上取点N，
由题意得：∠MAB＝∠NBA＝90°，∠MAC＝60°，∠NBC＝45°，AC＝60海里，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝∠MAB﹣∠MAC＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AC＝30（海里），
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝∠NBD﹣∠NBC＝90°﹣45°＝45°，
∴BC＝CD＝60（海里），
∴60÷50＝1.2（小时），
∴从B处到达C岛处需要1.2小时．
五、（本题每小题10，满分20分）
19．（10分）芜湖市某医院计划选购A，B两种防护服．已知A防护服每件价格是B防护服每件价格的2倍，用80000元单独购买A防护服比用80000元单独购买B防护服要少50件．如果该医院计划购买B防护服的件数比购买A防护服件数的2倍多8件，且用于购买A，B两种防护服的总经费不超过320000元，那么该医院最多可以购买多少件B防护服？
【分析】设B防护服的单价为x元/件，则A防护服的单价为2x元/件，根据数量＝总价÷单价结合用80000元单独购买A防护服比用80000元单独购买B防护服要少50件，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出A，B防护服的单价，设该医院购买m件A防护服，则购买（2m+8）件B防护服，根据总价＝单价×数量结合总价不超过320000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，进而可得出（2m+8）的取值范围，取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：设B防护服的单价为x元/件，则A防护服的单价为2x元/件，
依题意，得：﹣＝50，
解得：x＝800，
经检验，x＝800是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝1600．
设该医院购买m件A防护服，则购买（2m+8）件B防护服，
依题意，得：1600m+800（2m+8）≤320000，
解得：m≤98，
∴2m+8≤204．
答：最多可以购买204件B防护服．
20．（10分）如图，ʘO为△ABC的外接圆，直线MN与⊙O相切于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：∠CAB＝∠CBD；
（2）若BC＝5，BD＝8，求⊙O的半径．
【分析】（1）由切线的性质可得OC⊥MN，由垂径定理可得＝，可得结论；
（2）由垂径定理可得BH＝4，由勾股定理可求CH，OB的长，即可求解．
【解答】证明：（1）连接OC，交BD于H，连接BO，
∵直线MN与⊙O相切于点C，
∴OC⊥MN，
∵BD∥MN，
∴OC⊥BD，
∴＝，
∴∠BAC＝∠CBD；
（2）∵OC⊥BD，
∴BH＝HD＝BD＝4，
∴CH＝＝＝3，
∵OB2＝OH2+BH2，
∴OB2＝（OB﹣3）2+16，
∴OB＝，
∴⊙O的半径为．
六、（本题满分12分）
21．（12分）受疫情影响，很多学校都纷纷响应了“停课不停学”的号召，开展线上教学活动．为了解学生上网课使用的设备类型，某校从“电脑、手机、电视、其它”四种类型的设备对学生做了一次抽样调查．调查结果显示，每个学生只选择了以上四种设备类型中的一种，现将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）若该校共有1500名学生，估计全校用手机上网课的学生共有 450 名；
（3）在上网课时，老师在A、B、C、D四位同学中随机抽取一名学生回答问题，求两次都抽取到同一名学生回答问题的概率．
【分析】（1）根据电脑的人数和所占的百分比求出总人数，再用总人数减去其它选项的人数求出手机的人数，从而补全统计图；
（2）用该校的总人数乘以用手机上网课的学生所占的百分比即可；
（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）抽取的总人数是：40÷40%＝100（人），
手机的人数是：100﹣40﹣20﹣10＝30（人），补全统计图如下：
（2）全校用手机上网课的学生共有：1500×＝450（名）；
故答案为：450；
（3）根据题意画树状图如下：
共有16种等情况数，其中两次都抽取到同一名学生回答问题的有4种，
则两次都抽取到同一名学生回答问题的概率是＝．
七、（本题满分12分）
22．（12分）华盛公司有甲、乙两个销售团队，同时销售同种产品，12个月后统计得出如下信息：甲销售团队第x个月销售量y1（万件）与x之间的函数关系为y1＝a（x﹣4）2+；乙销售团队第x个月销售量y2（万件）与x之间的函数关系为y2＝kx+1（1≤x≤12，x为整数）．甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件）
（1）分别求y1、y2的函数解析式；
（2）探求有几个月乙销售团队比甲销售团队的销量高，并求当月最多高出多少万件？
（3）直接写出共有多少个月甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
【分析】（1）根据甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件），代入y1、y2解方程即可；
（2）运用y2﹣y1＝0，利用二次函数和一元二次方程以及一元二次不等式的关系解决问题；
（3）可利用不等式组解决问题．
【解答】解：（1）∵甲、乙两个销售团队在第1个月的销售量相同，均为（万件），
∴＝9a+，＝k+1，
解得：a＝，k＝，
∴y1＝（x﹣4）2+，y2＝x+1；
（2）y1﹣y2＝（x﹣4）2+﹣x+1＝﹣（x﹣5）2+2，
令y1﹣y2＝0，解方程得：x1＝1，x2＝9，
结合函数的图象可知，当1＜x＜9时，y1﹣y2＞0，即y1＞y2
又x为整数，∴x＝2，3，4，5，6，7，8，共有7个月乙销售团队比甲销售团队的销量高，当x＝5时，当月最多高出2万件．
（3）∵甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
∴（x﹣4）2+≥①，x+1≥②，
由①得，x≤0或x≥8，由②得，x≥4.5
又∵x为整数，
∴x＝8，9，10，11，12，共5个月甲、乙两个销售团队的销售量均不低于万件．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．
（1）当点P在BC上时，那么点P与点A的最短距离是 3 ；
（2）若点P在BC上时，求证：△ABP∽△PCQ；
（3）在点P处设计并安装一个扫描器，按固定角（∠APQ）扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请求出点K被扫描到的总时长．
【分析】（1）在图1中，过点A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH即可．
（2）由∠APQ+∠QPC＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠B得到∠QPC＝∠BAP，即可求解；
（3）①从Q平移到K，耗时：＝1秒，这1秒K没有被扫描到；②P在BC上时，K与Q重合时，由△ABP∽△PCQ，得到，即，求出y＝或，则÷＝10秒，÷＝22秒，故从10秒到22秒，这12秒K也没有被扫描到，进而求解．
【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，
∴tan∠B＝tan∠C＝，
∴AH＝3，
∴当点P在BC上时，PA⊥BC时，点P到A的最短距离为3，
故答案为：3；
（2）∵∠APQ+∠QPC＝∠B+∠BAP，∠APQ＝∠B，
∴∠QPC＝∠BAP，
又∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCQ；
（3）∵AM＝2＜AK＝，BM＝3，BN＝6，
则BM+BN＝9，
∴P点的移动速度＝＝，
①从Q平移到K，耗时：＝1秒，这1秒K没有被扫描到；
②P在BC上时，K与Q重合时，CQ＝CK＝5﹣＝，
∵△ABP∽△PCQ，
设BP＝y，CP＝8﹣y，，即，
整理得y2﹣8y＝，
解得y＝或，
∵÷＝10秒，÷＝22秒，
∴从10秒到22秒，这12秒K也没有被扫描到，
∴点K被扫描到的总时长36﹣（22﹣10）﹣1＝23秒．
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