2022年高考数学二轮复习近十年真题汇编专题16 选修4-5不等式选讲原卷+解析卷

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专题16   选修4-5不等式选讲【2021年】 1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）.（2）.【分析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）图像见解析；（2）【分析】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.3．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【分析】（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.因为时，，时，，故.先证：，若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.设，则，结合，可得：，即：，故，要证：，即证，即证，即证：，即证：，令，则，先证明一个不等式：.设，则，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立，故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，.  【2012年——2020年】 1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数．（1）画出的图像；（2）求不等式的解集．【答案】（1）详解解析；（2）.【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得．所以不等式的解集为．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），，解得：或，的取值范围为. 3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.【分析】（1），.均不为，则，；（2）不妨设，由可知，，，.当且仅当时，取等号，，即.4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）    当且仅当时取等号，即：（2），当且仅当时取等号又，，（当且仅当时等号同时成立）又     5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【分析】（1）当时，原不等式可化为；当时，原不等式可化为，即，显然成立，此时解集为；当时，原不等式可化为，解得，此时解集为空集；当时，原不等式可化为，即，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为；（2）当时，因为，所以由可得，即，显然恒成立；所以满足题意；当时，，因为时， 显然不能成立，所以不满足题意；综上，的取值范围是. 6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.【答案】(1) ；(2)见详解.【分析】(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立所以的最小值为.(2)因为，所以.根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.所以成立，所以有或.7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I卷））已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【详解】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2) .【详解】：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．9．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．【答案】（1）见解析（2）【详解】：（1）将函数写成分段函数，再画出在各自定义域的图像即可．（2）结合（1）问可得a，b范围，进而得到a+b的最小值详解：（1） 的图像如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【详解】：（1）当时，不等式等价于.①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而.所以的解集为.（2）当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））已知，，，证明：(1)；(2).【答案】(1) 见解析(2) 见解析【分析】证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时取等号；（2）∵a3+b3＝2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2，∴ab，由均值不等式可得：ab≤∴（a+b）3﹣2，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知函数=│x+1│–│x–2│.（1）求不等式≥1的解集；（2）若不等式≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x），当x≤﹣1时，g（x）＝﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x1，∴g（x）≤g（﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）＝﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）1；当x≥2时，g（x）＝﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x2，∴g（x）≤g（2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g（x）max，∴m的取值范围为（﹣∞，]．13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））（2016高考新课标Ⅰ，理24）选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）画出的图象；（Ⅱ）求不等式的解集． 【答案】（1）见解析（2）【解析】：（Ⅰ）的图像如图所示.（Ⅱ）由的表达式及图像，当时，可得或；当时，可得或，故的解集为；的解集为，所以的解集为. 14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））选修4-5：不等式选讲已知函数，M为不等式的解集.（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b时，.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【详解】（I）先去掉绝对值，再分，和三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当，时，．试题解析：（I）当时，由得解得；当时，；当时，由得解得.所以的解集.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，从而，因此15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知函数.（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）设函数.当时，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）．【详解】：（1）当时；（2）由等价于，解之得.试题解析： （1）当时，.解不等式，得.因此，的解集为. （2）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于. ① 当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是. 16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标））已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的图象与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】试题分析：（I）当时，化为，      当时，不等式化为，无解；      当时，不等式化为，解得；      当时，不等式化为，解得．      所以的解集为． （II）由题设可得，       所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为．       由题设得，故．       所以a的取值范围为  17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））选修4-5不等式选讲设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若，则；（Ⅱ）是的充要条件．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．【解析】（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件． 18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））若且（I）求的最小值；（II）是否存在，使得？并说明理由.【答案】（1）最小值为;（2）不存在a，b，使得.【解析】：（1）根据题意由基本不等式可得：，得，且当时等号成立，则可得：，且当时等号成立.所以的最小值为;（2）由（1）知，，而事实上，从而不存在a，b，使得.试题解析：（1）由，得，且当时等号成立.故，且当时等号成立.所以的最小值为.（2）由（1）知，.由于，从而不存在a，b，使得. 19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设函数（1）证明：；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）．【详解】试题分析：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：. 20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—5：不等式选讲已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3．（1）当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（2）设a＞－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【答案】解：（1）当a＝－2时，不等式f（x）＜g（x）化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0．设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈（0,2）时，y＜0．所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．（2）当x∈时，f（x）＝1＋a．不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3．所以x≥a－2对x∈都成立．故≥a－2，即．从而a的取值范围是．【解析】试题分析（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，画出函数y的图象，数形结合可得结论．（2）不等式化即 1+a≤x+3，故 x≥a﹣2对都成立．故﹣≥a﹣2，由此解得a的取值范围． 21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：（Ⅰ）ab+bc+ac；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析.【详解】（Ⅰ）由，，得：，由题设得，即，所以，即.（Ⅱ）因为，，，所以，即，所以. 22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））已知函数=.(Ⅰ)当时，求不等式≥3的解集；(Ⅱ) 若≤的解集包含，求的取值范围.（命题意图）本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.【答案】1．{|≤1或≥4} 2．[－3,0]【详解】(Ⅰ)当时，=，当≤2时，由≥3得，解得≤1；当2＜＜3时，≥3，无解；当≥3时，由≥3得≥3，解得≥4，∴≥3的解集为{|≤1或≥4}；(Ⅱ)≤，当∈[1,2]时，==2，∴，有条件得且，即，故满足条件的的取值范围为[－3,0]