2022年高考数学二轮复习近十年真题汇编专题13 排列组合原卷+解析卷

专题13 排列组合与二项式定理

【2021年】

1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

【答案】C

【分析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，

故选：C.

2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为.

故选：C.

【2012年——2020年】

1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））的展开式中x3y3的系数为（    ）

A．5 B．10

C．15 D．20

【答案】C

【分析】展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C

2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A．

3．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12 B．16 C．20 D．24

【答案】A

【分析】由题意得x3的系数为，故选A．

4．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.

5．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）的展开式中的系数为

A．10 B．20 C．40 D．80

【答案】C

【详解】：：由题可得

令,则

所以

故选C.

6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）展开式中的系数为

A．15 B．20

C．30 D．35

【答案】C

【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.

7．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有　　

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】D

【详解】4项工作分成3组,可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：种．故选D.

8．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））的展开式中，的系数为

A．10 B．20

C．30 D．60

【答案】C

【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.

9．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B

【详解】：由题意可知,,,即,

,解得．故B正确．

10．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝

A．－4 B．－3

C．－2 D．－1

【答案】D

【详解】

由题意知：，解得，故选D.

11．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，

每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【详解】：第一步，为甲地选一名老师，有种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选名教师和名学生，有种选法，故不同的安排方案共有种，故选A．

12．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（大纲卷））将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】A

【解析】:先排第一列,由于每列的字母互不相同,因此共有3×2×1种不同的方法;再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,因此共有3×2×1×2=12(种)不同的方法.

二、填空题

13．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.

【答案】

【分析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种

故答案为：.

14．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

【答案】

【分析】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

15．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））从位女生，位男生中选人参加科技比赛，且至少有位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）

【答案】

【分析】根据题意，没有女生入选有种选法，从名学生中任意选人有种选法，

故至少有位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是.

16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）的展开式中，x3的系数是_________.（用数字填写答案）

【答案】10

【详解】：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.

17．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国2卷））有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

【答案】1和3.

【详解】

根据丙的说法知，丙的卡片上写着和，或和；

 （1）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；

 所以甲的说法知，甲的卡片上写着和；

 （2）若丙的卡片上写着和，根据乙的说法知，乙的卡片上写着和；

 又加说：“我与乙的卡片上相同的数字不是”；

 所以甲的卡片上写的数字不是和，这与已知矛盾；

 所以甲的卡片上的数字是和.

18．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．

【答案】

【解析】：由已知得，故的展开式中x的奇数次幂项分别为，，，，，其系数之和为，解得．

19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））的展开式中的系数为________.（用数字填写答案）

【答案】

【详解】：由题意，展开式通项为，．当时，；当时，，故的展开式中项为，系数为．

20．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)

【答案】

【详解】因为，所以令，解得，所以=15，解得.