第3章 3.3 第1课时　二项式定理-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义

这是一份第3章 3.3 第1课时　二项式定理-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第二册讲义，

三个箱子均装着标有a，b字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情形？
问题：类比上述结果你能联想出(a＋b)3展开式的形式吗？
二项式定理及相关的概念
思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？
[提示] 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．
二项式系数是指Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(n,n)，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式的第k＋1项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Ceq \\al(k,n)an－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Ceq \\al(k,n)bn－kak.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )
(3)Ceq \\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于( )
A．9 B．10
C．11D．12
B [由n＋1＝11，可知n＝10.]
3．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是( )
A．Ceq \\al(6,8)B．Ceq \\al(5,8)(－2)5
C．Ceq \\al(5,8)D．Ceq \\al(6,8)(－2)6
C [由题意可知第6项的二项式系数为Ceq \\al(5,8).]
4．(x＋2)6的展开式中x3的系数是________．
160 [法一：设含x3的项为第r＋1项，则Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)x6－r2r，令6－r＝3，则r＝3.
故x3的系数为Ceq \\al(3,6)·23＝160.
法二：(x＋2)6表示6个括号相乘，要得到含x3的项，只需选出3个括号出x，另三个括号出2即可，即Ceq \\al(3,6)·x3·23＝160x3.]
【例1】 (1)用二项式定理展开eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2)))eq \s\up12(5)；
(2)化简：Ceq \\al(0,n)(x＋1)n－Ceq \\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq \\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)rCeq \\al(r,n)(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCeq \\al(n,n).
[思路点拨] (1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
[解] (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,2x2)))eq \s\up12(5)＝Ceq \\al(0,5)(2x)5＋Ceq \\al(1,5)(2x)4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2)))＋…＋Ceq \\al(5,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2x2)))eq \s\up12(5)
＝32x5－120x2＋eq \f(180,x)－eq \f(135,x4)＋eq \f(405,8x7)－eq \f(243,32x10).
(2)原式＝Ceq \\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq \\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq \\al(2,n)(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Ceq \\al(r,n)(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Ceq \\al(n,n)(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．
2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数．
eq \([跟进训练])
1．(1)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq \s\up12(4)的展开式；
(2)化简：1＋2Ceq \\al(1,n)＋4Ceq \\al(2,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n).
[解] (1)法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq \s\up12(4)＝Ceq \\al(0,4)(3eq \r(x))4＋Ceq \\al(1,4)(3eq \r(x))3
·eq \f(1,\r(x))＋Ceq \\al(2,4)(3eq \r(x))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))eq \s\up12(2)＋Ceq \\al(3,4)(3eq \r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))eq \s\up12(3)＋Ceq \\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))eq \s\up12(4)
＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2).
法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq \s\up12(4)＝eq \f(3x＋14,x2)
＝eq \f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)
＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2).
(2)原式＝1＋2Ceq \\al(1,n)＋22Ceq \\al(2,n)＋…＋2nCeq \\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n.
【例2】 (1)求二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(x)－\f(1,x)))eq \s\up12(6)的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2)(教材P33习题3­3AT2改编)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(9)的展开式中x3的系数．
[思路点拨] 利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．
[解] (1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1
＝Ceq \\al(r,6)(2eq \r(x))6－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(r)
＝(－1)rCeq \\al(r,6)·26－r·xeq \s\up12(3－eq \(\f(3,2))eq \(r))，
∴T6＝－12xeq \s\up12(－eq \f(9,2)).
∴第6项的二项式系数为Ceq \\al(5,6)＝6，
第6项的系数为Ceq \\al(5,6)·(－1)·2＝－12.
(2)Tr＋1＝Ceq \\al(r,9)x9－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x)))eq \s\up12(r)＝(－1)r·Ceq \\al(r,9)·x9－2r，
令9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x3，其系数为(－1)3·Ceq \\al(3,9)＝－84.
1．二项式系数都是组合数Ceq \\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ceq \\al(r,n).例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝Ceq \\al(3,7)17－3(2x)3，其二项式系数是Ceq \\al(3,7)＝35，而第四项的系数是Ceq \\al(3,7)23＝280.
eq \([跟进训练])
2．求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(2,3x2)))eq \s\up12(5)的展开式的第三项的系数和常数项．
[解] T3＝Ceq \\al(2,5)(x3)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3x2)))eq \s\up12(2)＝Ceq \\al(2,5)·eq \f(4,9)x5，所以第三项的系数为Ceq \\al(2,5)·eq \f(4,9)＝eq \f(40,9).
通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(x3)5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3x2)))eq \s\up12(r)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(r)·Ceq \\al(r,5)x15－5r，令15－5r＝0，得r＝3，所以常数项为T4＝Ceq \\al(3,5)(x3)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3x2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(80,27).
[探究问题]
1．如何求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(4)展开式中的常数项？
[提示] 利用二项展开式的通项Ceq \\al(r,4)x4－r·eq \f(1,xr)＝Ceq \\al(r,4)x4－2r求解，令4－2r＝0，则r＝2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(4)展开式中的常数项为Ceq \\al(2,4)＝eq \f(4×3,2)＝6.
2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？
[提示] (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项再把积相加而得到．
3．如何求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项？
[提示] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋eq \f(1,x)中的x与eq \f(1,x)分别与(2x＋1)3展开式中常数项Ceq \\al(3,3)＝1及x2项Ceq \\al(1,3)22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·Ceq \\al(3,3)＋eq \f(1,x)·Ceq \\al(1,3)(2x)2＝x＋12x＝13x.即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.
【例3】 已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[思路点拨] eq \x(写出通项Tr＋1)→eq \x(令r＝5，x的指数为零)
→eq \x(1求出n值)→eq \x(修正通项公式)→eq \x(2求x2项的系数)
→eq \x(考查x指数为整数)→eq \x(分析求出k值)
→eq \x(3写出有理项)
[解] 通项公式为：
Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)xeq \s\up12(eq \f(n－r,3))(－3)rxeq \s\up12(－eq \f(r,3))＝Ceq \\al(r,n)(－3)rxeq \s\up12(eq \f(n－2r,3)).
(1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有eq \f(n－2r,3)＝0，即n＝10.
(2)令eq \f(10－2r,3)＝2，得r＝eq \f(1,2)(10－6)＝2，
∴所求的系数为Ceq \\al(2,10)(－3)2＝405.
(3)由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(10－2r,3)∈Z，,0≤r≤10，,r∈Z.))
令eq \f(10－2r,3)＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，即r＝5－eq \f(3,2)k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，
它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2.
1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tr＝Ceq \\al(r－1,n)an－r＋1br－1；
(2)求含xr的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
eq \([跟进训练])
3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
(2)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(a),x2)))eq \s\up12(6)展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
(1)207 (2)4 [(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、
含x2项分别与1，－x3相乘的结果，
∴其系数为Ceq \\al(5,10)＋Ceq \\al(2,10)(－1)＝207.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(a),x2)))eq \s\up12(6)的展开式的通项是
Tr＋1＝Ceq \\al(r,6)x6－r·(－eq \r(a))rx－2r＝Ceq \\al(r,6)x6－3r(－eq \r(a))r，
令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，
Tr＋1为常数项，即常数项是Ceq \\al(2,6)a，
根据已知得Ceq \\al(2,6)a＝60，解得a＝4.]
1．二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅指Ceq \\al(0,n)，Ceq \\al(1,n)，…，Ceq \\al(k,n)，…，而后者指的是除字母以外的所有系数(包括符号)．
2．要牢记Ceq \\al(k,n)an－kbk是展开式的第k＋1项，而非第k项．
3．对于非二项式展开式的求解可借助二项式定理的原理求解．
1．在(x－eq \r(3))10的展开式中，含x6的项的系数是( )
A．－27Ceq \\al(6,10) B．27Ceq \\al(4,10)
C．－9Ceq \\al(6,10)D．9Ceq \\al(4,10)
D [含x6的项是T5＝Ceq \\al(4,10)x6(－eq \r(3))4＝9Ceq \\al(4,10)x6.]
2．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up16(8)的展开式中常数项是( )
A．－28B．－7
C．7D．28
C [Tr＋1＝Ceq \\al(r,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(8－r)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(r)＝(－1)r·Ceq \\al(r,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(8－r)·xeq \s\up12(8－eq \f(4,3)r)，当8－eq \f(4,3)r＝0，即r＝6时，T7＝(－1)6·Ceq \\al(6,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝7.]
3．(1－x)10的展开式中第7项为________．
210x6 [T7＝Ceq \\al(6,10)(－x)6＝210x6.]
4．化简：Ceq \\al(0,n)2n＋Ceq \\al(1,n)2n－1＋…＋Ceq \\al(k,n)2n－k＋…＋Ceq \\al(n,n)＝________.
3n [原式＝(1＋2)n＝3n.]
5．设(x－eq \r(2))n的展开式中第二项和第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．
[解] (x－eq \r(2))n的展开式中第二项和第四项分别为：
T2＝Ceq \\al(1,n)·xn－1(－eq \r(2))＝－eq \r(2)nxn－1，
T4＝Ceq \\al(3,n)·xn－3·(－eq \r(2))3＝－2eq \r(2)Ceq \\al(3,n)xn－3.
由题意可知eq \f(－\r(2)n,－2\r(2)C\\al(3,n))＝eq \f(1,2)，即n2－3n－4＝0，
又n∈N＋，解得n＝4.
设(x－eq \r(2))4的展开式中含x2的项为第k＋1项，
则Tk＋1＝Ceq \\al(k,4)·x4－k·(－eq \r(2))k(k＝0,1,2,3,4)
根据题意可知4－k＝2，解得k＝2.
所以(x－eq \r(2))4的展开式中含x2的项为T3＝Ceq \\al(2,4)·x2·(－eq \r(2))2＝12x2.学 习 目 标
核 心 素 养
1.能用计数原理证明二项式定理.
2.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式．(重点)
3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)
1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养.
2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养.
二项式定理
概念
公式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N＋)称为二项式定理
二项式系数
各项系数Ceq \\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数
二项式通项
Ceq \\al(r,n)an－rbr是展开式中的第r＋1项，可记做Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)
二项展开式
Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N＋)
二项式定理的正用、逆用
二项式系数与项的系数问题
求展开式中的特定项