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2020-2021学年度甘肃省兰州市八年级下学期期末考试数学模拟测试卷（word版 含答案）
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这是一份2020-2021学年度甘肃省兰州市八年级下学期期末考试数学模拟测试卷（word版 含答案），共13页。试卷主要包含了我国传统文化中的“福禄寿喜”图等内容，欢迎下载使用。
2020-2021年兰州市八年级期末测试卷数学
满分：120分 考试时间：120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若代数式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（ ）
A．a=4 B．a＞4 C．a＜4 D．a≠4
3．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm
5．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的6倍 D．是原来的9倍
6．如图，在▱ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=5，则AE：EF：FB为（ ）
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
7．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（ ）
A． B． C． D．
8．已知x2﹣x﹣1=0，则x3﹣2x+1的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．一次函数y=ax+3与y=bx﹣1的图象如图所示，其交点B（﹣3，m），则不等式ax﹣bx+3＞﹣1的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．分解因式：m2+2m= ．
12．不等式9﹣3x＞0的非负整数解是 ．
13．正八边形的每个外角的度数为 ．
14．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，
点A的坐标为（2，0）， 将正方形OABC沿着OB方向平移OB个
单位，则点C的对应点坐标为 ．
15． 四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 （横
线只需填一个你认为合适的条件即可）
16．不等式的解集是 ．
17．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 ．
18．如图，边长为4的等边△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点A的坐标为 ．
三．解答题（共10小题，满分66分）
19．（6分）解不等式组．
20．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中x=+1．
21．（6分）解方程： +=1．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．
23．（6分）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：△ABC是等腰三角形
24． （6分）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，
∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
25．（6分）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
26．（6分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
27．（8分）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
（1）求A种、B种设备每台各多少万元？
（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？
28．（10分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
黑龙江省大庆市林甸县2016-2017学年八年级（下）
期末模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选B．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．若代数式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（ ）
A．a=4 B．a＞4 C．a＜4 D．a≠4
【分析】分式有意义时，分母a﹣4≠0．
【解答】解：依题意得：a﹣4≠0，
解得a≠4．
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
3．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案．
【解答】解：∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左，
∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2．
故选D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
4．下列命题为假命题的个数有（ ）
①相等的角是对顶角；
②依次连结四边形四边中点所组成的图形是平行四边形；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
④在同圆中，平分弦的直径垂直于这条弦．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据对顶角的概念，中点四边形的概念，圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理进行判断即可．
【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，而对顶角相等，故说法①错误；
②根据三角形中位线定理，可得依次连结四边形四边中点所组成的图形是平行四边形，故说法②正确；
③在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，故说法③错误；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故说法④错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了对顶角的概念，中点四边形的概念，圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，解题时注意：在同弦对应的圆周角中，在弦的同侧时，两圆周角相等，在两侧时两圆周角互补．
5．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的6倍 D．是原来的9倍
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式===3×；
故选（B）
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
6．如图，在▱ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=5，则AE：EF：FB为（ ）
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
【分析】根据题意可知，∠DCE=∠BEC=∠BCE，所以BE=BC=5，则AE=AB﹣BE=6﹣5=1，EF=AF﹣AE=3﹣1=2，所以FB=AF=3，所以AE：EF：FB=1：2：3．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=2，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=1，
∴AE：EF：FB=1：2：3，
故选A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题
7．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（ ）
A． B． C． D．
【分析】解法一：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．首先证明点F′在线段BC上，再证明CH=HE′即可解决问题．
解法二：首先证明CG′+CE′=AC，作G′M⊥AD于M．解直角三角形求出DM，AM，AD即可；
【解答】解法一：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．
∵∠DG′F′=∠IGR=90°，
∴∠DG′I=∠RG′F′，
在△G′ID和△G′RF中，
，
∴△G′ID≌△G′RF，
∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，
∴点F′在线段BC上，
在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，
∴E′H=E′F′=1，F′H=，
易证△RG′F′≌△HF′E′，
∴RF′=E′H，RG′RC=F′H，
∴CH=RF′=E′H，
∴CE′=，
∵RG′=HF′=，
∴CG′=RG′=，
∴CE′+CG′=+．
故选A．
解法二：作G′M⊥AD于M．
易证△DAG'≌△DCE'，
∴AG'=CE'，
∴CG′+CE′=AC，
在Rt△DMG′中，∵DG′=2，∠MDG′=30°，
∴MG′=1，DM=，
∵∠MAG′=45°，∠AMG′=90°，
∴∠MAG′=∠MG′A=45°，
∴AM=MG′=1，
∴AD=1+，
∵AC=AD，
∴AC=+．
故选A．
【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．已知x2﹣x﹣1=0，则x3﹣2x+1的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对等式变形得x2﹣x=1，可得x3﹣x2=x，即x3﹣x=x2，代入原式中x3﹣x﹣x+1=x2﹣x+1，又x2﹣x﹣1=0，即x2﹣x=1，即可得出原式=2．
【解答】解：根据题意，x2﹣x=1，
∴x3﹣x2=x，
即x3﹣x=x2，
∴x3﹣2x+1=x2﹣x+1=1+1=2，
故选B．
【点评】本题主要考查了整体思想在因式分解中的灵活运用，属于常见题型，要求学生能够熟练掌握和应用．
9．一次函数y=ax+3与y=bx﹣1的图象如图所示，其交点B（﹣3，m），则不等式ax﹣bx+3＞﹣1的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象，可知：当x＞﹣3时，直线y=ax+3在直线y=bx﹣1的上方，
∴不等式ax﹣bx+3＞﹣1的解集为x＞﹣3．
故选D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
10．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
解得：x=，
由题意得：≥0且≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．分解因式：m2+2m= m（m+2） ．
【分析】根据提取公因式法即可求出答案．
【解答】解：原式=m（m+2）
故答案为：m（m+2）
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法，本题属于基础题型．
12．不等式9﹣3x＞0的非负整数解是 0、1、2 ．
【分析】首先移项，然后化系数为1即可求出不等式的解集，最后取非负整数即可求解．
【解答】解：9﹣3x＞0，
∴﹣3x＞﹣9，
∴x＜3，
∴x的非负整数解是0、1、2．
故答案为：0、1、2．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，解题时利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的解即可．
13．正八边形的每个外角的度数为 45° ．
【分析】利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：360°÷8=45°．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
14．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为 （1，3） ．
【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．
【解答】解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC=OA=2，C（0，2），
∵将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．理解将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位是解题的关键．
15．四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 AD=BC（或AD∥BC） （横线只需填一个你认为合适的条件即可）
【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．
【解答】解：根据平行四边形的判定方法，知
需要增加的条件是AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D．
故答案为AD=BC（或AB∥CD）．
【点评】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
16．不等式的解集是 x＞5 ．
【分析】先去分母，然后通过移项、化未知数系数为1来解不等式．
【解答】解：在不等式的两边同时乘以6，得
2x+2＜3x﹣3，
移项，得
﹣x＜﹣5，
化系数为1，得
x＞5．
故答案是：x＞5．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
17．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 30°或150°或90° ．
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
【点评】本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．如图，边长为4的等边△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点A的坐标为 （﹣2，﹣2） ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据等边三角形三线合一定理即可求出AD与OD的长度．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，
由等边三角形的三线合一定理可知：OD=OA=2，
由勾股定理可知：OA=，
∴A（﹣2，﹣2）
故答案为：（﹣2，﹣2）
【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是作出OB边上的高，然后利用三线合一定理求出AD与OD的长度，本题属于基础题型．
三．解答题（共10小题，满分66分）
19．（6分）解不等式组．
【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式①，得x＜1．
解不等式②，得x≥0，
故不等式组的解集为0≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中x=+1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=•
=
当x=+1时，
原式=
=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（6分）（1）计算： +|3﹣|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（）﹣2
（2）解方程： +=1．
【分析】（1）先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算；
（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：（1）+|3﹣|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（）﹣2
=2+3﹣﹣2×+1+
=2+3﹣﹣+1+4
=8；
（2）+=1
整理得﹣=1
1﹣x=x﹣3
解得x=2
经检验：x=2是分式方程的解．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，解题时注意：实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．解分式方程时，一定要检验．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．
【分析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．
【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．
【点评】此题了考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解本题的关键．
23．（6分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．
【分析】证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得．
【解答】证明：如图，∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等常用的方法是证明所在的三角形全等．
24．（6分）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
【解答】（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
25．（6分）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．
26．（6分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=6，GF=CF，
则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．
27．（8分）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
（1）求A种、B种设备每台各多少万元？
（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？
【分析】（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台，根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可．
【解答】解：（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，
根据题意得： =，
解得：x=0.5．
经检验，x=0.5是原方程的解，
∴x+0.7=1.2．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元．
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台，
根据题意得：0.5m+1.2（20﹣m）≤15，
解得：m≥．
∵m为整数，
∴m≥13．
答：A种设备至少要购买13台．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，列出关于m的一元一次不等式．
28．（10分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：如图所示：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
2020-2021年兰州市八年级期末测试卷数学
满分：120分 考试时间：120分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若代数式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（ ）
A．a=4 B．a＞4 C．a＜4 D．a≠4
3．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm，则△DEB的周长为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm
5．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的6倍 D．是原来的9倍
6．如图，在▱ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=5，则AE：EF：FB为（ ）
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
7．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（ ）
A． B． C． D．
8．已知x2﹣x﹣1=0，则x3﹣2x+1的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．一次函数y=ax+3与y=bx﹣1的图象如图所示，其交点B（﹣3，m），则不等式ax﹣bx+3＞﹣1的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．分解因式：m2+2m= ．
12．不等式9﹣3x＞0的非负整数解是 ．
13．正八边形的每个外角的度数为 ．
14．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，
点A的坐标为（2，0）， 将正方形OABC沿着OB方向平移OB个
单位，则点C的对应点坐标为 ．
15． 四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 （横
线只需填一个你认为合适的条件即可）
16．不等式的解集是 ．
17．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 ．
18．如图，边长为4的等边△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点A的坐标为 ．
三．解答题（共10小题，满分66分）
19．（6分）解不等式组．
20．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中x=+1．
21．（6分）解方程： +=1．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．
23．（6分）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．求证：△ABC是等腰三角形
24． （6分）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，
∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
25．（6分）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
26．（6分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
27．（8分）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
（1）求A种、B种设备每台各多少万元？
（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？
28．（10分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
黑龙江省大庆市林甸县2016-2017学年八年级（下）
期末模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选B．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．若代数式在实数范围内有意义，则实数a的取值范围为（ ）
A．a=4 B．a＞4 C．a＜4 D．a≠4
【分析】分式有意义时，分母a﹣4≠0．
【解答】解：依题意得：a﹣4≠0，
解得a≠4．
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
3．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案．
【解答】解：∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左，
∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2．
故选D．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
4．下列命题为假命题的个数有（ ）
①相等的角是对顶角；
②依次连结四边形四边中点所组成的图形是平行四边形；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
④在同圆中，平分弦的直径垂直于这条弦．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据对顶角的概念，中点四边形的概念，圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理进行判断即可．
【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，而对顶角相等，故说法①错误；
②根据三角形中位线定理，可得依次连结四边形四边中点所组成的图形是平行四边形，故说法②正确；
③在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补，故说法③错误；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故说法④错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了对顶角的概念，中点四边形的概念，圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理，解题时注意：在同弦对应的圆周角中，在弦的同侧时，两圆周角相等，在两侧时两圆周角互补．
5．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．是原来的3倍 C．是原来的6倍 D．是原来的9倍
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：原式===3×；
故选（B）
【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
6．如图，在▱ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB=6，BC=5，则AE：EF：FB为（ ）
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
【分析】根据题意可知，∠DCE=∠BEC=∠BCE，所以BE=BC=5，则AE=AB﹣BE=6﹣5=1，EF=AF﹣AE=3﹣1=2，所以FB=AF=3，所以AE：EF：FB=1：2：3．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=5，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=2，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=1，
∴AE：EF：FB=1：2：3，
故选A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题
7．如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在CD上，DE=2，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转60°，得到正方形DE′F′G′，此时点G′在AC上，连接CE′，则CE′+CG′=（ ）
A． B． C． D．
【分析】解法一：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．首先证明点F′在线段BC上，再证明CH=HE′即可解决问题．
解法二：首先证明CG′+CE′=AC，作G′M⊥AD于M．解直角三角形求出DM，AM，AD即可；
【解答】解法一：作G′I⊥CD于I，G′R⊥BC于R，E′H⊥BC交BC的延长线于H．连接RF′．则四边形RCIG′是正方形．
∵∠DG′F′=∠IGR=90°，
∴∠DG′I=∠RG′F′，
在△G′ID和△G′RF中，
，
∴△G′ID≌△G′RF，
∴∠G′ID=∠G′RF′=90°，
∴点F′在线段BC上，
在Rt△E′F′H中，∵E′F′=2，∠E′F′H=30°，
∴E′H=E′F′=1，F′H=，
易证△RG′F′≌△HF′E′，
∴RF′=E′H，RG′RC=F′H，
∴CH=RF′=E′H，
∴CE′=，
∵RG′=HF′=，
∴CG′=RG′=，
∴CE′+CG′=+．
故选A．
解法二：作G′M⊥AD于M．
易证△DAG'≌△DCE'，
∴AG'=CE'，
∴CG′+CE′=AC，
在Rt△DMG′中，∵DG′=2，∠MDG′=30°，
∴MG′=1，DM=，
∵∠MAG′=45°，∠AMG′=90°，
∴∠MAG′=∠MG′A=45°，
∴AM=MG′=1，
∴AD=1+，
∵AC=AD，
∴AC=+．
故选A．
【点评】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
8．已知x2﹣x﹣1=0，则x3﹣2x+1的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】对等式变形得x2﹣x=1，可得x3﹣x2=x，即x3﹣x=x2，代入原式中x3﹣x﹣x+1=x2﹣x+1，又x2﹣x﹣1=0，即x2﹣x=1，即可得出原式=2．
【解答】解：根据题意，x2﹣x=1，
∴x3﹣x2=x，
即x3﹣x=x2，
∴x3﹣2x+1=x2﹣x+1=1+1=2，
故选B．
【点评】本题主要考查了整体思想在因式分解中的灵活运用，属于常见题型，要求学生能够熟练掌握和应用．
9．一次函数y=ax+3与y=bx﹣1的图象如图所示，其交点B（﹣3，m），则不等式ax﹣bx+3＞﹣1的解集表示在数轴上正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集，再对照四个选项即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象，可知：当x＞﹣3时，直线y=ax+3在直线y=bx﹣1的上方，
∴不等式ax﹣bx+3＞﹣1的解集为x＞﹣3．
故选D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
10．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
解得：x=，
由题意得：≥0且≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．分解因式：m2+2m= m（m+2） ．
【分析】根据提取公因式法即可求出答案．
【解答】解：原式=m（m+2）
故答案为：m（m+2）
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用提取公因式法，本题属于基础题型．
12．不等式9﹣3x＞0的非负整数解是 0、1、2 ．
【分析】首先移项，然后化系数为1即可求出不等式的解集，最后取非负整数即可求解．
【解答】解：9﹣3x＞0，
∴﹣3x＞﹣9，
∴x＜3，
∴x的非负整数解是0、1、2．
故答案为：0、1、2．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，解题时利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的解即可．
13．正八边形的每个外角的度数为 45° ．
【分析】利用正八边形的外角和等于360度即可求出答案．
【解答】解：360°÷8=45°．
故答案为：45°．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°．
14．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为 （1，3） ．
【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．
【解答】解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC=OA=2，C（0，2），
∵将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．理解将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位是解题的关键．
15．四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 AD=BC（或AD∥BC） （横线只需填一个你认为合适的条件即可）
【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．
【解答】解：根据平行四边形的判定方法，知
需要增加的条件是AD=BC或AB∥CD或∠A=∠C或∠B=∠D．
故答案为AD=BC（或AB∥CD）．
【点评】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．
16．不等式的解集是 x＞5 ．
【分析】先去分母，然后通过移项、化未知数系数为1来解不等式．
【解答】解：在不等式的两边同时乘以6，得
2x+2＜3x﹣3，
移项，得
﹣x＜﹣5，
化系数为1，得
x＞5．
故答案是：x＞5．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
17．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=BC，则△ABC的顶角的度数为 30°或150°或90° ．
【分析】分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可．
【解答】解：①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
故答案为：30°或150°或90°．
【点评】本题考查了含30°交点直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
18．如图，边长为4的等边△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，则点A的坐标为 （﹣2，﹣2） ．
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，根据等边三角形三线合一定理即可求出AD与OD的长度．
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，
由等边三角形的三线合一定理可知：OD=OA=2，
由勾股定理可知：OA=，
∴A（﹣2，﹣2）
故答案为：（﹣2，﹣2）
【点评】本题考查等边三角形的性质，解题的关键是作出OB边上的高，然后利用三线合一定理求出AD与OD的长度，本题属于基础题型．
三．解答题（共10小题，满分66分）
19．（6分）解不等式组．
【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：解不等式①，得x＜1．
解不等式②，得x≥0，
故不等式组的解集为0≤x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中x=+1．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式=•
=
当x=+1时，
原式=
=
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
21．（6分）（1）计算： +|3﹣|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（）﹣2
（2）解方程： +=1．
【分析】（1）先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算；
（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【解答】解：（1）+|3﹣|﹣2sin60°+（2017﹣π）0+（）﹣2
=2+3﹣﹣2×+1+
=2+3﹣﹣+1+4
=8；
（2）+=1
整理得﹣=1
1﹣x=x﹣3
解得x=2
经检验：x=2是分式方程的解．
【点评】本题主要考查了实数的运算以及解分式方程，解题时注意：实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．解分式方程时，一定要检验．
22．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2）请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出A1的坐标．
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，并写出A3的坐标．
【分析】根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．
【解答】解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；
（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；
（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．
【点评】此题了考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解本题的关键．
23．（6分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：∠A=∠D．
【分析】证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得．
【解答】证明：如图，∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠A=∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等常用的方法是证明所在的三角形全等．
24．（6分）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证；
（2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求．
【解答】（1）证明：∵∠A=∠F，
∴DE∥BC，
∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF，
∴∠DMF=∠2，
∴DB∥EC，
则四边形BCED为平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN=∠CBN，
∵EC∥DB，
∴∠CNB=∠DBN，
∴∠CNB=∠CBN，
∴CN=BC=DE=2．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
25．（6分）如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．
26．（6分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，求线段EF的长．
【分析】首先证明△AGF≌△ACF，则AG=AC=4，GF=CF，证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
【解答】解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA），
∴AG=AC=6，GF=CF，
则BG=AB﹣AG=8﹣6=2．
又∵BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF=BG=1．
故答案是：1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．
27．（8分）近年来雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进A、B两种设备．每台B种设备价格比每台A种设备价格多0.7万元，花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同．
（1）求A种、B种设备每台各多少万元？
（2）根据单位实际情况，需购进A、B两种设备共20台，总费用不高于15万元，求A种设备至少要购买多少台？
【分析】（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台，根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最小正整数即可．
【解答】解：（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备（x+0.7）万元，
根据题意得： =，
解得：x=0.5．
经检验，x=0.5是原方程的解，
∴x+0.7=1.2．
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.2万元．
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备（20﹣m）台，
根据题意得：0.5m+1.2（20﹣m）≤15，
解得：m≥．
∵m为整数，
∴m≥13．
答：A种设备至少要购买13台．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价结合花3万元购买A种设备和花7.2万元购买B种设备的数量相同，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×数量结合总费用不高于15万元，列出关于m的一元一次不等式．
28．（10分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【分析】（1）由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）连接AF、BD，由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，证出AB∥DF，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中，，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：如图所示：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，
∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
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