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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时教案，共7页。教案主要包含了预习课本，引入新课，新知探究，典例分析，课堂小结，板书设计，作业等内容，欢迎下载使用。
在直线与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线垂直关系延续和提高，也是后续研究平面与平面垂直的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
课程目标
1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；
2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.
3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.
重点：直线和平面垂直的性质定理.
难点：直线和平面垂直的性质定理的应用.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
问题1：长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？
问题2：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本153-155页，思考并完成以下问题
1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？
2、与线面垂直有关的结论有哪些？
3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、直线与平面平行的性质定理
常用结论:
(1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.
(2)已知a⊥α.若平面α外的直线b与直线a垂直，则b//α.
(3)已知a⊥α.β//α，则a⊥β.
2、距离
(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.
(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.
四、典例分析、举一反三
题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用
例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点, MN⊥平面A1DC.
求证：（1）MN∥AD1;
（2）M是AB的中点.
【答案】证明见解析
【解析】（1）因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
(2)设AD1∩A1D=O,连接ON,在△A1DC中,
A1O=OD,A1N=NC.所以ON QUOTE 12 CD QUOTE 12 AB,即ON∥AM.
又因为MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.
因为ON= QUOTE 12 AB,所以AM= QUOTE 12 AB,即M是AB的中点.
解题技巧（证明两条直线平行的常见方法）
(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;
(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;
(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;
(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
跟踪训练一
1、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.
【答案】证明见解析
【解析】因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.
又因为a⊥AB，AB∩EB=B，
所以a⊥平面ABE.
因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.
因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.
又因为EA∩EB=E，
所以l⊥平面ABE.所以a∥l.
题型二 空间中的距离问题
例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.
【答案】18.
【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1，
可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，
所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，
所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，
由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，
所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB=3，
所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=13 ×3×6×3=18.
解题技巧 (空间中距离的转化)
（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.
（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.
（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.
跟踪训练二
1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.
(1)求证：AE⊥平面PAD.
(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.
【答案】(1)证明见解析，(2) 33.
【解析】解析 (1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，
因为AD∥BC，所以AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.
(2)因为AB=AP=2，则AD=2，AE=3，
所以VP-ACM=VC-PAM= 13 S△PAM·AE= 13×12×12×2×2×3＝33
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
8.6.2直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质
直线与平面平行的性质定理 例1 例2
常用结论
空间距离
线面距离
面面距离
七、作业
课本155页练习，162页习题8.6的13、14、15、16题.
通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线垂直和线面垂直时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.
文字语言
图形语言
符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行.
a⊥αb⊥α⇒a//b
在直线与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容既是直线与直线垂直关系延续和提高，也是后续研究平面与平面垂直的基础，既巩固了前面所学的内容，又为后面内容的学习做了知识上和方法上的准备，在教材中起着承前启后的作用。
课程目标
1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.
2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．
数学学科素养
1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；
2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.
3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.
重点：直线和平面垂直的性质定理.
难点：直线和平面垂直的性质定理的应用.
教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
问题1：长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？
问题2：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本153-155页，思考并完成以下问题
1、垂直与同一条直线的两条直线有什么位置关系？
2、与线面垂直有关的结论有哪些？
3、怎样定义直线与平面的距离、平面与平面的距离？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1、直线与平面平行的性质定理
常用结论:
(1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.
(2)已知a⊥α.若平面α外的直线b与直线a垂直，则b//α.
(3)已知a⊥α.β//α，则a⊥β.
2、距离
(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离.
(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离.
四、典例分析、举一反三
题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用
例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点, MN⊥平面A1DC.
求证：（1）MN∥AD1;
（2）M是AB的中点.
【答案】证明见解析
【解析】（1）因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
(2)设AD1∩A1D=O,连接ON,在△A1DC中,
A1O=OD,A1N=NC.所以ON QUOTE 12 CD QUOTE 12 AB,即ON∥AM.
又因为MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.
因为ON= QUOTE 12 AB,所以AM= QUOTE 12 AB,即M是AB的中点.
解题技巧（证明两条直线平行的常见方法）
(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;
(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;
(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;
(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
跟踪训练一
1、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.
【答案】证明见解析
【解析】因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.
又因为a⊥AB，AB∩EB=B，
所以a⊥平面ABE.
因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.
因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.
又因为EA∩EB=E，
所以l⊥平面ABE.所以a∥l.
题型二 空间中的距离问题
例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.
【答案】18.
【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1，
可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，
所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，
所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，
由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，
因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，
所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB=3，
所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=13 ×3×6×3=18.
解题技巧 (空间中距离的转化)
（1）利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.
（2）利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.
（3）通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.
跟踪训练二
1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.
(1)求证：AE⊥平面PAD.
(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.
【答案】(1)证明见解析，(2) 33.
【解析】解析 (1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，
所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，
因为AD∥BC，所以AE⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，
所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.
(2)因为AB=AP=2，则AD=2，AE=3，
所以VP-ACM=VC-PAM= 13 S△PAM·AE= 13×12×12×2×2×3＝33
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
8.6.2直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质
直线与平面平行的性质定理 例1 例2
常用结论
空间距离
线面距离
面面距离
七、作业
课本155页练习，162页习题8.6的13、14、15、16题.
通过本节课性质定理的学习，使学生进一步了解线线垂直和线面垂直时刻相互转化的，即空间问题和平面问题可以相互转化.
文字语言
图形语言
符号语言
垂直于同一个平面的两条直线平行.
a⊥αb⊥α⇒a//b
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