浙教版中考数学几何专题训练：相似三角形精选好题-证明题25题（有答案）

这是一份浙教版中考数学几何专题训练：相似三角形精选好题-证明题25题（有答案），共28页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。


相似三角形精选好题
解答题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题（本大题共25小题，共200.0分）
1. 如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
(1)x为何值时，PQ//BC；
(2)是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；
(3)当S△BCQS△ABC=13时，求S△APQS△ABQ的值．







2. 如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．













3. 如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90∘，∠ADC=90∘，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．
(1)若∠A=60∘，求BC的长；
(2)若sinA=45，求AD的长．
(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)







4. 如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B.点E在AD边上，CD=CE．
(1)求证：△ABD∽△CAE；
(2)若AB=6，AC=92，BD=2，求AE的长．











5. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AE=2EB，AD=2，BC=5，EF//DC，交BC于点F，连接AF．
(1)求CF的长；
(2)若∠BFE=∠FAB，求AB的长．








6. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD=3，AB=5，求AFAG的值．








7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点D是BC边的中点，CD=2，tanB=34．
(1)求AD和AB的长；
(2)求sin∠BAD的值．













8. 从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40∘，∠B=60∘，求证：CD为△ABC的完美分割线．
(2)在△ABC中，∠A=48∘，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
(3)如图2，△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．










9. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30∘，测得大楼顶端A的仰角为45∘(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到0.1m)(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)












10. 如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高度BC为5米，tanA=13，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长.(结果保留根号)








11. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60∘.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45∘，已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=15米.(i=1：3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比)
(1)求点B距水平面AE的高度BH；
(2)求广告牌CD的高度．
(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米.参考数据：2≈1.414，3≈1.732)







12. 如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？







13. 如图所示，∠C=90∘，BC=8cm，AC=6cm，点P从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似？







14. 如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45∘，顶部的仰角为37∘，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长(精确到1m)
参考值：sin37∘=0.60，cos37∘=0.80，tan37∘=0.75．








15. 如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C，用测角器测得主教学楼顶端A的仰角为30∘，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E处(C，E，B三点在同一直线上)，又测得主教学楼顶端A的仰角为60∘，已知测角器CD的高度为1.6米，请计算主教学楼AB的高度.(3≈1.73，结果精确到0.1米)








16. 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60∘．
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)如果AB=3，EC=23，求DC的长．












17. 如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30∘，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60∘，求树高AB(结果保留根号)











18. 钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测.一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛(设N、M为该岛的东西两端点)最近距离为15海里(即MC=15海里)，在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东57∘方向(其中N、M、C在同一条直线上)，求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离.(精确到0.1海里)参考数据：sin57∘=0.84，cos57∘=0.54，tan57∘=1.54．







19. 探究证明：
(1)如图1，矩形ABCD中，点M、N分别在边BC，CD上，AM⊥BN，求证：BNAM=BCAB．
(2)如图2，矩形ABCD中，点M在边BC上，EF⊥AM，EF分别交AB，CD于点E、点F，试猜想EFAM与BCAB有什么数量关系？并证明你的猜想．
拓展应用：综合(1)、(2)的结论解决以下问题：
(3)如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90∘，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求DNAM的值．









20. 如图，在某次数学活动课中，小明为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼CD上的E处测得旗杆底端B的仰角∠BEF的度数为45∘，测得旗杆顶端A的仰角∠AEF的度数为17∘，旗杆底部B处与教学楼底部C处的水平距离BC为9m，求旗杆的高度(结果精确到0.1m)．
【参考数据：sin17∘=0.29，cos17∘=0.96，tan17∘=0.31】











21. 已知，如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E.求证：
(1)△ACE∽△BDE；
(2)BE⋅DC=AB⋅DE．












22. 如图，在△ABC中，点D为BC边的任意一点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E、F，且∠EDF与∠A互补．
(1)如图1，若AB=AC，D为BC的中点时，则线段DE与DF有何数量关系？请直接写出结论；
(2)如图2，若AB=kAC，D为BC的中点时，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出DE与DF的关系并说明理由；
(3)如图3，若ABAC=a，且BDCD=b，直接写出DEDF= ______ ．









23. 放风筝是大家喜爱的一种运动，星期天的上午小明在市政府广场上放风筝.如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30∘，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为45∘.已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米？(风筝线AD，BD均为线段，2≈1.414，3≈1.732，最后结果精确到1米)．








24. 禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只，测得A、B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45∘方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30∘方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截.求该可疑船只航行的平均速度(结果保留根号)．














25. 某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30∘方向，在C地北偏西45∘方向，C地在A地北偏东75∘方向.且BC=CD=20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？(最后结果保留整数，参考数据：sin15∘≈0.25，cos15∘≈0.97，tan15∘≈0.27，2≈1.4，3≈1.7)







答案和解析
【答案】
1. 解：(1)由题意知 AP=4x，CQ=3x
若PQ//BC   则△APQ∽△ABC，
APAB=AQAC，
∵AB=BC=20，AC=30，
∴AQ=30−3x，
∴4x20=30−3x30，
∴x=103，
∴当x=103时，PQ//BC．
(2)存在
∵△APQ∽△CQB 则APCQ=AQCB，
∴4x3x=30−3x20，
∴9x2−10x=0，
∴x1=0(舍去)．x2=109．
∴当AP的长为109时，△APQ∽△CQB，
(3)∵S△BCQS△ABC=13，
∴CQAC=13，
又∵AC=30，
∴CQ=10，
即3x=10x=103，
此时，AP=4x=403，
∴APAB=40320=23．
∴S△APQS△ABQ=APAB=23．  
2. 证明：∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90∘，
∴∠FAE+∠AFE=90∘，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90∘，
∴∠CBE+∠BFD=90∘，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠FAE=∠CBE，
∴△AFE∽△BCE．  
3. 解：(1)∵∠A=60∘，∠ABE=90∘，AB=6，tanA=BEAB，
∴∠E=30∘，BE=tan60∘⋅6=63，
又∵∠CDE=90∘，CD=4，sinE=CDCE，∠E=30∘，
∴CE=412=8，
∴BC=BE−CE=63−8；
(2))∵∠ABE=90∘，AB=6，sinA=45=BEAE，
∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，
∴3x=6，得x=2，
∴BE=8，AE=10，
∴tanE=ABBE=68=CDDE=4DE，
解得，DE=163，
∴AD=AE−DE=10−163=143，
即AD的长是143．  
4. (1)证明：∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
∴∠ADB=∠CEA．
∵∠DAC=∠B，
∴△ABD∽△CAE．

(2)解：由(1)△ABD∽△CAE，
∴ABAC=BDAE．
∵AB=6，AC=92，BD=2，
∴AE=32．  
5. 解：(1)作AG//CD交BC于点G，
∵AD//BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴GC=AD，
∵AD=2，
∴GC=2，
∵BC=5，
∴BG=BC−GC=5−2=3，
∵EF//DC，AG//CD，
∴EF//AG，
∴FGBF=AEEB，
∴FGBG=AEAB，
∵AE=2EB，
∴AEAB=23，
∴FGBG=23，
∵BG=3，
∴FG=2，
∴CF=FG+GC=2+2=4；
(2)∵∠BFE=∠FAB，∠B=∠B，
∴△BFE∽△BAF，
∴BEBF=BFAB，
∴AB⋅BE=BF2，
∴AB⋅13AB=BF2，
∵BF=BC−FG=5−4=1，
∴AB=3．  
6. 解：(1)∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90∘，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，

(2)由(1)可知：△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC=35
由(1)可知：∠AFE=∠AGC=90∘，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴AFAG=AEAC，
∴AFAG=35  
7. 解：(1)∵D是BC的中点，CD=2，
∴BD=DC=2，BC=4，
在Rt△ACB中，由 tanB=ACCB=34，
∴AC4=34，
∴AC=3，
由勾股定理得：AD=AC2+CD2=32+22=13，
AB=AC2+BC2=32+42=5；
(2)过点D作DE⊥AB于E，
∴∠C=∠DEB=90∘，
又∠B=∠B，
∴△DEB∽△ACB，
∴DEAC=DBAB，
∴DE3=25，
∴DE=65，
∴sin∠BAD=DEAD=6513=61365．  
8. 解：(1)如图1中，∵∠A=40∘，∠B=60∘，
∴∠ACB=80∘，
∴△ABC不是等腰三角形，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40∘，
∴∠ACD=∠A=40∘，
∴△ACD为等腰三角形，
∵∠DCB=∠A=40∘，∠CBD=∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴CD是△ABC的完美分割线．
(2)①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=48∘，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48∘，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96∘．
②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC=180∘−48∘2=66∘，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48∘，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114∘．
③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48∘，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48∘，
∵∠ADC>∠BCD，矛盾，舍弃．
∴∠ACB=96∘或114∘．
(3)由已知AC=AD=2，
∵△BCD∽△BAC，
∴BCBA=BDBC，设BD=x，
∴(2)2=x(x+2)，
∵x>0，
∴x=3−1，
∵△BCD∽△BAC，
∴CDAC=BDBC=3−12，
∴CD=3−12×2=6−2．  
9. 解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．
则DE=BF=CH=10m，
在直角△ADF中，∵AF=80m−10m=70m，∠ADF=45∘，
∴DF=AF=70m．
在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30∘，
∴CE=DEtan30∘=1033=103(m)，
∴BC=BE−CE=70−103≈70−17.32≈52.7(m)．
答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．  
10. 解：如图，点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，
∵tanA=13，
，
∴设B′B=x，则B′C=3x，
在Rt△B′CB中，
B′B2+B′C2=BC2，
即：x2+(3x)2=(5)2，
x=22(负值舍去)，
∴BD=B′C=322，  
11. 解：(1)过B作BG⊥DE于G，
Rt△ABH中，i=tan∠BAH=13=33，
∴∠BAH=30∘，
∴BH=12AB=5；

(2)∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，
∴四边形BHEG是矩形．
∵由(1)得：BH=5，AH=53，
∴BG=AH+AE=53+15，
Rt△BGC中，∠CBG=45∘，
∴CG=BG=53+15．
Rt△ADE中，∠DAE=60∘，AE=15，
∴DE=3AE=153．
∴CD=CG+GE−DE=53+15+5−153=20−103≈2.7m．
答：宣传牌CD高约2.7米．  
12. 解：设同时运动ts时两个三角形相似，
当△PCQ∽△BCA，则PCBC=CQAC，4t8=8−2t16，t=0.8；
当△PCQ∽△ACB，则CQBC=PCAC，8−2t8=4t16，t=2．
答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．  
13. 解：设经过y秒后，△CPQ∽△CBA，此时BP=2y，CQ=y．
∵CP=BC−BP=8−2y，CB=8，CQ=y，CA=6．
∵△CPQ∽△CBA，
∴CPCB=CQCA，
∴8−2y8=y6
∴y=2.4
设经过y秒后，△CPQ∽△CAB，此时BP=2y，CQ=y．
∴CP=BC−BP=8−2y．
∵△CPQ∽△CAB，
∴CPCA=CQCB
∴8−2y6=y8
∴y=3211
所以，经过2.4秒或者经过3211后两个三角形都相似  
14. 解：作AE⊥CD于E，
∵AB=15m，
∴DE=AB=15m，
∵∠DAE=45∘，
∴AE=DE=15m，
在Rt△ACE中，tan∠CAE=CEAE，
则CE=AE⋅tan37∘=15×0.75≈11cm，
∴AB=CE+DE=11+15=26m．
答：实验楼的垂直高度即CD长为26m．  
15. 解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=AGFG，
∴FG=AGtan∠AFG=AG3，
在Rt△ACG中，tan∠ACG=AGCG，
∴CG=AGtan∠ACG=3AG．
又∵CG−FG=24m，
即3AG−AG3=24m，
∴AG=123m，
∴AB=123+1.6≈22.4m．  
16. (1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60∘，
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；

(2)解：由(1)证得△ABD∽△DCE，
∴BDAB=CEDC，
设CD=x，则BD=3−x，
∴3−x3=23x，
∴x=1或x=2，
∴DC=1或DC=2．  
17. 解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米，
在Rt△ACF中，tan∠ACF=AFCF，
则CF=AFtan∠ACF=xtanα=xtan30∘=3x，
在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x(米)，
在直角△ABF中，tan∠AEB=ABBE，则BE=ABtan∠AEB=x+4tan60∘=33(x+4)米．
∵CF−BE=DE，即3x−33(x+4)=3．
解得：x=33+42，
则AB=33+42+4=33+122(米)．
答：树高AB是33+122米.  
18. 解：在Rt△ACM中，tan∠CAM=tan45∘=CMAC=1，
∴AC=CM=15，
∴BC=AC−AB=15−4=11．
在Rt△BCN中，tan∠CBN=tan57∘=CNBC=1.54．
∴CN=1.54B C=16.94．
∴MN=16.94−15=1.94≈1.9海里．
答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离约为1.9海里．  
19. 解：(1)如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=90∘
∴∠NBA+∠NBC=90∘，
∵AM⊥BN，
∴∠MAB+∠NBA=90∘，
∴∠NBC=∠MAB，
∴△BCN∽△ABM，
∴BNAM=BCAB．

(2)结论：EFAM=BCAB．
理由：如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴BG=EF，
∵EF⊥AM，
∴BG⊥AM，
∴∠GBA+∠MAB=90∘，
∵∠ABC=∠C=90∘，
∴∠GBC+∠GBA=90∘，
∴∠MAB=∠GBC，
∴△GBC∽△MAB，
∴BGAM=BCAB，
∴EFAM=BCAB．

(3)如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形．

∵∠ABC=90∘，
∴四边形ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90∘，RS=AB=10，AR=BS，
∵AM⊥DN，
∴由(2)中结论可得：DNAM=BSAB，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ACD≌△ACB，
∠ADC=∠ABC=90∘，
∴∠SDC+∠RDA=90∘，
∵∠RAD+∠RDA=90∘，
∴∠RAD=∠SDC，
∴△RAD∽△SDC，
∴∴CDAD=SCRD，设SC=x，
∴510=xRD，
∴RD=2x，DS=10−2x，
在Rt△CSD中，∵CD2=DS2+SC2，
∴52=(10−2x)2+x2，
∴x=3或5(舍弃)，
∴BS=5+x=8，
∴DNAM=BSAB=810=45．  
20. 解：如图，由题意得EF=BC=9m，∠AEF=17∘，∠BEF=45∘，
在Rt△BEF中，
∵tan∠BEF=tan45∘=BFEF，
∴BF=EF=9m.                                                            
在Rt△AEF中，
∵tan17∘=AFEF，
∴AF=9×0.31=2.79m．
∴AB=AF+BF=11.79≈11.8m．
答：旗杆AB的高度约为11.8m．  
21. 证明：(1)∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BDE=∠ACE，
∴△ACE∽△BDE；

(2)∵△ACE∽△BDE，
∴BEAE=EDEC，
∵∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAB，
∴AEEC=ABCD，
∴BEED=ABCD，
∴BE⋅DC=AB⋅DE．  
22. ba  
23. 解：作DH⊥BC于H，设DH=x米．
∵∠ACD=90∘，
∴在直角△ADH中，∠DAH=30∘，AD=2DH=2x，AH=DH÷tan30∘=3x，
在直角△BDH中，∠DBH=45∘，BH=DH=x，BD=2x，
∵AH−BH=AB=10米，
∴3x−x=10，
∴x=5(3+1)，
∴小明此时所收回的风筝的长度为：
AD−BD=2x−2x=(2−2)×5(3+1)≈(2−1.414)×5×(1.732+1)≈8米．
答：小明此时所收回的风筝线的长度约是8米．  
24. 解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，则AD=(200−x)海里，
∵∠ABC=45∘，
∴BD=CD=x，
∵∠BAC=30∘，
∴tan30∘=CDAD，
在Rt△ACD中，则CD=AD⋅tan30∘=33(200−x)，
则x=33(200−x)，
解得，x=1003−100，
即BD=1003−100，
在Rt△BCD中，cos45∘=BDBC，
解得：BC=1006−1002，
则(1006−1002)÷4=25(6−2)(海里/时)，
则该可疑船只的航行速度约为25(6−2)海里/时．  
25. 解：由题意可知∠DCA=180∘−75∘−45∘=60∘，
∵BC=CD，
∴△BCD是等边三角形．
过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：
由题意可知∠DAC=75∘−30∘=45∘，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠DBC=60∘ BD=BC=CD=20km，
∴∠ADB=∠DBC−∠DAC=15∘，
∴BE=sin15∘BD≈0.25×20≈5m，
∴AB=BEsin45∘=522≈7m，
∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47m．
答：从A地跑到D地的路程约为47m．  
【解析】
1. (1)当PQ//BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
(2)由△APQ∽△CQB 得出APCQ=AQCB，进一步代入求x的值；
(3)当S△BCQS△ABC=13时得出CQ：AC=1：3，那么CQ=10cm，此时时间x正好是(1)的结果，那么此时PQ//BC，由此可根据平行这个特殊条件，得出三角形APQ和ABC的面积比，然后再根据三角形PBQ的面积=三角形ABC的面积−三角形APQ的面积−三角形BQC的面积来得出答案即可．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．
2. 根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90∘，再证明∠FAE=∠CBE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了等腰三角形的性质，证题的关键是挖掘题目的隐藏条件：对顶角相等．
3. (1)要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；
(2)要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．
本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．
4. (1)由CE=CD，推出∠CDE=∠CED，推出∠ADB=∠CEA，由∠DAC=∠B，即可证明．
(2)由(1)△ABD∽△CAE，得到ABAC=BDAE，把AB=6，AC=92，BD=2，代入计算即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，就提到过房间数灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5. (1)作AG//CD交BC于点G，根据平行四边形的性质可知CG=AD=2，由EF//AG，AE=2EB，利用平行线分线段成比例定理可求出FG=2，CF=FG+GC即可求出结果；
(2)先证明△BFE∽△BAF，得到BEBF=BFAB，由BE=13AB和BF=1可求出AB．
本题主要考查了梯形的性质、平行四边形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质，作AG//CD交BC于点G，构造平行四边形和相似三角形是解决问题的关键．
6. (1)由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90∘，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
(2)△ADE∽△ABC，ADAB=AEAC，又易证△EAF∽△CAG，所以AFAG=AEAC，从而可知AFAG=ADAB．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．
7. (1)由中点定义求BC=4，根据tanB=34得：AC=3，由勾股定理得：AB=5，AD=13；
(2)作高线DE，证明△DEB∽△ACB，求DE的长，再利用三角函数定义求结果．
本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
8. (1)根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．
(2)分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．
(3)设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得BCBA=BDBC，列出方程即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．
9. 如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE−CE．
本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题.要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
10. 点D与点C重合时，B′C=BD，∠B′CB=∠CBD=∠A，利用tanA=13得到，然后设B′B=x，则B′C=3x，在Rt△B′CB中，利用勾股定理求得答案即可．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．
11. (1)过B作DE的垂线，设垂足为G.分别在Rt△ABH中，通过解直角三角形求出BH、AH；
(2)在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45∘，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE−DE即可求出宣传牌的高度．
此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
12. 设同时运动ts时两个三角形相似，再分△PCQ∽△BCA或△PCQ∽△ACB两种情况进行讨论即可．
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
13. 设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：△CPQ∽△CBA与△CPQ∽△CAB
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型．
14. 作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出CE和AE，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
15. 利用60∘的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上1.6m即为主教学楼的高度AB．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．
16. (1)△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60∘，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
(2)由△ABD∽△DCE，得到BDAB=CEDC，然后代入数值求得结果．
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方程思想的应用．
17. 作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF−BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
18. 在直角△ACM，∠CAM=45度，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN=CN−CM即可求解．
本题考查了三角函数，从图形中抽象出直角三角形并正确求得BC的长度是关键．
19. (1)根据两角对应相等两三角形相似即可证明．
(2)结论：EFAM=BCAB.如图2中，过点B作BG//EF交CD于G，首先证明四边形BEFG是平行四边形，推出BG=EF，由△GBC∽△MAB，得BGAM=BCAB，由此即可证明．
(3)如图3中，过点D作平行于AB的直线交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，连接AC，则四边形ABSR是平行四边形.由(2)中结论可得：DNAM=BSAB，想办法求出BS即可解决问题．
本题考查相似三角形综合题、矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
20. 先根据锐角三角函数的定义求出BF及AF的长，再由AB=AF+BF即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
21. (1)根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，即可得到结论；
(2)根据相似三角形的性质得到BEAE=EDEC，由于∠E=∠E，得到△ECD∽△EAB，由相似三角形的性质得到AEEC=ABCD，等量代换得到BEED=ABCD，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
22. 解：(1)结论：DF=DE，
理由：如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90∘，


∵AB=AC，点D为BC中点，
∴AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵在四边形AMDN中.，∠DMA=∠DNA=90∘，
∴∠MAN+∠MDN=180∘，
又∵∠EDF与∠MAN互补，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠EDM=∠FDN，
在△DEM与△DFN中，
∠DME=∠DNF∠EDM=∠FDNDM=DN，
∴△DEM≌△DFN，
∴DE=DF．

(2)结论DE：DF=1：k．
理由：如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90∘，

∵BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC，
∴12⋅AB⋅DM=12⋅AC⋅DN，∵AB=kAC，
∴DN=kDM，
由(2)可知，∠EDM=∠FDN，∠DEM=∠DFN=90∘，
∴△DME∽△DNF，
∴DEDF=DMDN=1k．

(3)结论：DEDF=ba．
理由：如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同(2)可证∠EDM=∠FDN，

又∵∠EMD=∠FND=90∘，
∴△DEM∽△DFN，
∴DEDF=DMDN，
∵BDCD=b，
∴S△ABD：S△ADC=b，
∴12⋅AB⋅DM：12⋅AC⋅DN=b，∵AB：AC=a，
∴DM：DN=ba，
∴DEDF=DMDN=ba．
故答案为ba．
(1)如图1，连接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，则∠EMD=∠FND=90∘，只要证明△DEM≌△DFN即可．
(2)结论DE：DF=1：k.如图2，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，则∠EMD=∠FND=90∘，由12⋅AB⋅DM=12⋅AC⋅DN，AB=kAC，推出DN=kDM，再证明
△DME∽△DNF，即可．
(3)结论DE：DF=1：k.如图3，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，同(2)可证∠EDM=∠FDN，由12⋅AB⋅DM：12⋅AC⋅DN=b，AB：AC=a，推出DM：DN=ba，再证明△DEM∽△DFN即可．
本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的面积、奇偶分析的性质定理等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，学会理由面积法证明线段之间的关系，属于中考常考题型．
23. 作DH⊥BC于H，设DH=x米，根据三角函数表示出AH于BH的长，根据AH−BH=AB得到一个关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得AD−BD的长，即可解题．
本题考查了直角三角形的运用，考查了30∘角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得DH的长是解题的关键．
24. 先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=(200−x)海里，在Rt△BCD中，根据tan45∘=CDBD，求出CD，再根据BD=CD求出BD，在Rt△BCD中，根据cos45∘=BDBC，求出BC，从而得出答案．
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
25. 求出∠DCA的度数，再判断出BC=CD，据此即可判断出△BCD是等边三角形.过点B作BE⊥AD，垂足为E，求出∠DAC的度数，利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．
本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题；通过解直角三角形求出AB是解决问题的关键．