2022年中考数学真题分类汇编：圆类几何证明题(含答案)

2022年中考数学真题汇编圆类几何证明题

1. (2022·湖南省郴州市)如图，在中，以为直径的与线段交于点，过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于点．
   求证：直线是的切线；
   若的半径为，，求的长．

2. (2022·广西壮族自治区贵港市)如图，在中，，点是边的中点，点在边上，经过点且与边相切于点，．
   求证：是的切线；
   若，，求的半径及的长．

3. (2022·山东省烟台市)如图，是的外接圆，．
   请用尺规作出的切线保留作图痕迹，不写作法；
   在的条件下，若与切线所夹的锐角为，的半径为，求的长．

4. (2022·山东省聊城市)如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，交于点，连接，连接并延长交的延长线于点，．
   连接，求证：是的切线；
   若，，求的长．

5. (2022·辽宁省营口市)如图，在中，，以为直径作与交于点，过点作的切线交的延长线于点．
   求证：；
   若，，求的半径．

6. (2022·湖南省张家界市)如图，四边形内接于圆，是直径，点是的中点，延长交的延长线于点．
   求证：；
   若，，求的长．

7. (2022·辽宁省盘锦市)如图，内接于，，连接并延长交于点，连接，过点作与的延长线交于点．
   求证：与相切；
   若，，求线段，的长．

8. (2022·贵州省铜仁市)如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点．
   求证：；
   若，，求的长．

9. (2022·辽宁省铁岭市)如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，点为的中点，连接．
   求证：与相切；
   若，，，求的长．

10. (2022·四川省广安市)如图，为的直径，、是上的两点，延长至点，连接，．
    求证：是的切线．
    若，，求的半径．
     

11. (2022·内蒙古自治区呼和浩特市)如图，在中，，以为直径的交于点，交线段的延长线于点，连接．
    求证：；
    若，，求．

12. (2022·北京市)如图，是的直径，是的一条弦，，连接，．
    求证：；
    连接，过点作，交的延长线于点，延长，交于点若为的中点，求证：直线为的切线．

13. (2022·广西壮族自治区百色市)如图，为的直径，是上一点，过点的直线交的延长线于点，作，垂足为，已知平分．
    求证：是的切线；
    若，求的值．

14. (2022·山东省临沂市)如图，是的切线，为切点，直线交于，两点，连接，过圆心作的平行线，分别交的延长线、及于点，，．
    求证：；
    若是的中点，的半径为，求阴影部分的面积．

15. (2022·辽宁省)如图，在中，，▱的顶点，在斜边上，顶点，分别在边，上，以点为圆心，长为半径的恰好经过点和点．
    求证：与相切；
    若，，求的长．

16. (2022·湖北省恩施土家族苗族自治州)如图，为外一点，、为的切线，切点分别为、，直线交于点、，交于点．
    求证：．
    若，求证：．
    若，，求的长．

17. (2022·内蒙古自治区赤峰市)如图，已知为的直径，点为外一点，，连接，是的垂直平分线，交于点，垂足为点，连接、，且．
    求证：是的切线；
    若，，求的值．

18. (2022·湖北省潜江市)如图，正方形内接于，点为的中点，连接交于点，延长交于点，连接．
    求证：；
    若，求和的长．

19. (2022·贵州省毕节市)如图，在中，，是边上一点，以为直径的与相切于点，连接并延长交的延长线于点．
    求证：；
    若，，求的直径．

20. (2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)请在图中作出的外接圆尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
    如图，是的外接圆，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于点．
    求证：；
    若，，求的半径．
     

21. (2022·山东省威海市)如图，四边形是的内接四边形，连接，，延长至点．
    若，求证：；
    若，的半径为，求．

22. (2022·江苏省无锡市)如图，边长为的等边三角形内接于，点为上的动点点、除外，的延长线交于点，连接．
    求证：∽；
    当时，求的长．

23. (2022·陕西省)如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为，连接并延长，交于点．
    求证：；
    若的半径，，求线段的长．

24. (2022·新建生产建设兵团)如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，连接，延长交过点的切线于点．
    求证：；
    求证：；
    若，，求的长．

25. (2022·江苏省扬州市)如图，为的弦，交于点，交过点的直线于点，且．
    试判断直线与的位置关系，并说明理由；
    若，，求的长．

参考答案

1.连接，根据，，得，从而，由，即可得，故是的切线；
连接，连接，由，，得，又，可得是等边三角形，即可得，，而是的直径，得，可得，在中，即得的长是．
本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线，等腰三角形性质及应用，含特殊角的直角三角形三边关系等，解题的关键是判定是等边三角形．
 

2.作，垂足为，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得，再通过导角得出是的平分线，再利用角平分线的性质可得，从而证明结论；
根据，，可得，，设的半径为，则，利用∽，可得的值，再利用勾股定理求出的长．
本题主要考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
 

3.过点作即可；
连接，证明，利用三角形内角和定理求出，推出，求出可得结论．
本题考查作图复杂作图，三角形的外接圆，切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

4.根据证≌，得出，即可得出结论；
根据勾股定理求出，证∽，设圆的半径为，根据线段比例关系列方程求出，利用勾股定理求出，最后根据求出即可．
本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
 

5.根据切线的性质可得，从而可得，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用等角的余角相等即可解答；
根据已知可得，然后利用的结论可得∽，从而利用相似三角形的性质可得，然后根据，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

6.连接，通过证明≌，利用全等三角形的性质分析推理；
通过证明∽，利用相似三角形的性质分析计算．
本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，理解相关性质定理，正确添加辅助线是解题关键．
 

7.连接，根据圆周角定理得，再根据，可得，从而证明结论；
过点作交于，由是圆的直径，得，又，，即得，根据，知是等腰直角三角形，，又是等腰直角三角形，，得，故CF，从而．
本题主要考查了圆周角定理，切线的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，作辅助线构造特殊的直角三角形是解题的关键．
 

8.连接，则，利用，可得，通过证明得出，结论得证；
连接，在中，利用求得线段的长；在中，利用，解直角三角形可得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的判定与性质．连接过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

9.连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用直角三角形三角形斜边上的中线可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据垂直定义可得，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，然后利用同角的余角相等可得，从而可证∽，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，直线与圆的位置关系，熟练掌握解直角三角形，以及切线的判定与性质是解题的关键．
 

10.连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

11.连接，利用直径所对的圆周角是直角可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
利用的结论可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用勾股定理求出的长，最后证明∽，利用相似三角形的性质求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．
 

12.连接，首先利用垂径定理得，知，再利用同弧所对的圆心角等于圆周角的一半可得结论；
连接，首先由点为的中点，可得，则，再利用圆的性质，可说明，，从而得出，从而证明结论．
本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

13.根据垂直定义可得，然后利用等腰三角形和角平分线的性质可证，从而利用平行线的性质可得，即可解答；
先在中，利用勾股定理求出的长，然后证明字模型相似三角形∽，从而利用相似三角形的性质可求出，的长，进而在中，利用锐角三角函数的定义求出的值，即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

14.连接，由切线的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论；
求出，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

15.连接，利用平行四边形的性质和圆的性质可得四边形是平行四边形，则，从而得出，从而证明结论；
过点作于点，根据，可得的长，由，得▱是菱形，则，从而得出和的长，进而求出的长．
本题主要考查了圆的切线的判定，平行四边形的判定与性质，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练运用相等角的三角函数值相等是解题的关键．
 

16.连接，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；
利用的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
，则，，，，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接是解决此类问题常添加的辅助线．
 

17.利用等腰三角形的三线合一，平行线的判定与性质和圆的切线的判定定理解答即可；
利用全等三角形的判定与性质得到，利用相似三角形的判定与性质求得线段，再利用直角三角形的边角关系定理在中，求得，则结论可得．
本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，灵活应用等量代换是解题的关键．
 

18.利用相似三角形的判定与性质解答即可；
连接，利用平行线分线段成比例定理求得；利用相交弦定理求即可．
本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理，相交弦定理，灵活运用上述定理及性质是解题的关键．
 

19.连接，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；
连接，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
 

20.利用尺规作图分别作出、的垂直平分线交于点，以为圆心、为半径作圆即可；
连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质证明结论；
连接，根据圆周角定理得到，根据正切的定义求出，根据勾股定理求出，得到答案．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

21.根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；
连接并延长交于点，连接，根据圆周角定理得出，，解直角三角形即可得解．
此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键．
 

22.由对顶角的性质，圆周角定理得出，，即可证明∽；
过点作于点，由等边三角形的性质得出，，由，得出，，由相似三角形的性质得，
得出，由含角的直角三角形的性质得出，设，则，，，进而得出，利用勾股定理得出一元二次方程，解方程求出的值，即可求出的长度．
本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识是解决问题的关键．
 

23.根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
 

24.利用等腰三角形的性质可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答；
利用切线的性质可得，利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，再利用的结论可得，然后可证，最后利用平行线的性质可得，即可解答；
根据直径所对的圆周角是直角可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，再根据同弧所对的圆周角相等可得，进而可证∽，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后再利用的结论可证∽，利用相似三角形的性质可求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及圆周角定理是解题的关键．
 

25.连接，由等腰三角形的性质得出，，结合对顶角的性质得出，由垂直的性质得出，进而得出，即可得出直线与相切；
由，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出的值，进而得出，再利用勾股定理得出，即可求出的长．
本题考查了切线的判定，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质，切线的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，一元二次方程的解法是解决问题的关键．