2021年全国各省市中考真题精编精练：图形的相似解答（含答案）

这是一份2021年全国各省市中考真题精编精练：图形的相似解答（含答案），共38页。试卷主要包含了〔2021•山西〕阅读与思考等内容，欢迎下载使用。

2021年全国各省市中考真题汇总：
图形的相似解答

1．〔2021•鄂州〕如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
〔1〕探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
〔2〕连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．假设＝，AE＝4，求BC的长．




2．〔2021•长春〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．
〔1〕求AM的长．
〔2〕tan∠MBO的值为 　 　．




3．〔2021•玉林〕如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．
〔1〕求证：△DFC∽△AED；
〔2〕假设CD＝AC，求的值．




4．〔2021•无锡〕如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
〔1〕求证：∠PBA＝∠OBC；
〔2〕假设∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．






5．〔2021•绥化〕如下图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
〔1〕在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于；
〔2〕将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求，出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．



6．〔2021•盐城〕如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
〔1〕求证：PC是⊙O的切线；
〔2〕假设AB＝3PA，求的值．





7．〔2021•山西〕阅读与思考
请阅读以下科普材料，并完成相应的任务．
图算法
图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线〔或曲线〕，并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比方想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．
再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？
我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．
图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．
任务：
〔1〕请根据以上材料简要说明图算法的优越性；
〔2〕请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：
①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；
②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．






8．〔2021•聊城〕如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
〔1〕求证：EF是⊙O的切线；
〔2〕假设BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．



9．〔2021•荆州〕在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F是对角线AC上不与点A，C重合的一点，过F作FE⊥AD于E，将△AEF沿EF翻折得到△GEF，点G在射线AD上，连接CG．
〔1〕如图1，假设点A的对称点G落在AD上，∠FGC＝90°，延长GF交AB于H，连接CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
〔2〕如图2，假设点A的对称点G落在AD延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF与△AEF是否全等，并说明理由．








10．〔2021•达州〕某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜测】
〔1〕如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，那么的值为 　 　；
〔2〕如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，那么的值为 　 　；
【类比探究】
〔3〕如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】
〔4〕如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AD＝9，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．
①求的值；
②连接BF，假设AE＝1，直接写出BF的长度．

11．〔2021•杭州〕如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
〔1〕求证：△ABG∽△AFC．
〔2〕AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长〔用含a，b的代数式表示〕．
〔3〕点E在线段AF上〔不与点A，点F重合〕，点D在线段AE上〔不与点A，点E重合〕，∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．





12．〔2021•广元〕如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上一点〔含端点A、B〕，过点B作BE垂直于射线CD，垂足为E，点F在射线CD上，且EF＝BE，连接AF、BF．

〔1〕求证：△ABF∽△CBE；
〔2〕如图2，连接AE，点P、M、N分别为线段AC、AE、EF的中点，连接PM、MN、PN．求∠PMN的度数及的值；
〔3〕在〔2〕的条件下，假设BC＝，直接写出△PMN面积的最大值．
13．〔2021•武汉〕如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，C是的中点，过点C作AD的垂线，垂足是E．连接AC交BD于点F．
〔1〕求证：CE是⊙O的切线；
〔2〕假设＝，求cos∠ABD的值．





14．〔2021•武汉〕问题提出
如图〔1〕，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？
问题探究
〔1〕先将问题特殊化如图〔2〕，当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；
〔2〕再探究一般情形如图〔1〕，当点D，F不重合时，证明〔1〕中的结论仍然成立．
问题拓展
如图〔3〕，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC〔k是常数〕，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．




15．〔2021•常德〕如图1，在△ABC中，AB＝AC，N是BC边上的一点，D为AN的中点，过点A作BC的平行线交CD的延长线于T，且AT＝BN，连接BT．
〔1〕求证：BN＝CN；
〔2〕在图1中AN上取一点O，使AO＝OC，作N关于边AC的对称点M，连接MT、MO、OC、OT、CM得图2．
①求证：△TOM∽△AOC；
②设TM与AC相交于点P，求证：PD∥CM，PD＝CM．






16．〔2021•黄冈〕如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．
〔1〕求证：△ABC∽△DEC；
〔2〕假设S△ABC：S△DEC＝4：9，BC＝6，求EC的长．




17．〔2021•上海〕如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
〔1〕当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②假设BE⊥CD，求的值；
〔2〕假设DE＝2，OE＝3，求CD的长．






18．〔2021•苏州〕如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F相交于点Q．AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．
〔1〕四边形EBHP的面积 　 　四边形GPFD的面积〔填“＞〞、“＝〞或“＜〞〕
〔2〕求证：△P1FQ∽△P2HQ；
〔3〕设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．




19．〔2021•青海〕如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
〔1〕求证：△BGD∽△DMA；
〔2〕求证：直线MN是⊙O的切线．





20．〔2021•乐山〕在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点〔不与点B、C重合〕，连结AD．
〔1〕如图1，假设∠C＝60°，点D关于直线AB的对称点为点E，连结AE，DE，那么∠BDE＝　 　；
〔2〕假设∠C＝60°，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，连结BE．
①在图2中补全图形；
②探究CD与BE的数量关系，并证明；
〔3〕如图3，假设＝k，且∠ADE＝∠C．试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系，并证明．


参考答案
1．解：〔1〕四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形；
〔2〕设AG＝2a，∵，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
∵AE＝4，
∴BC＝16．
2．解：〔1〕在菱形ABCD中，
AD∥BC，AD＝BC，
∴△AEM∽△CBM，
∴＝，
∵AE＝AD，
∴AE＝BC，
∴＝＝，
∴AM＝CM＝AC＝1．
〔2〕∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，
∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，
∴tan∠MBO＝＝．
故答案为：．
3．〔1〕证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，
∴∠DFC＝∠AED，
又∵DE∥BC，
∴∠DCF＝∠ADE，
∴△DFC∽△AED；
〔2〕∵CD＝AC，
∴＝
由〔1〕知△DFC和△AED的相似比为：＝，
故：＝〔〕2＝〔〕2＝．
4．证明：〔1〕∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA+∠ABO＝90°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠ACB，
∴∠OBC+∠ABO＝∠PBC+∠ABO＝90°，
∴∠PBA＝∠OBC；
〔2〕由〔1〕知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．

5．解：〔1〕如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．

〔2〕如图，△OA1B1即为所求．
线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×2+＝4+π．
6．〔1〕证明：连接OC，

∵PC2＝PA•PB，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
〔2〕解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OCPA，POPA，
∵OC⊥PC，
∴PC＝＝2PA，
∵△PAC∽△PCB，
∴＝＝＝．
7．解：〔1〕图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；〔答案不唯一〕．
〔2〕①当R1＝7.5，R2＝5时，
，
∴R＝3．
②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图

∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．
∵AM∥CO，
∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．
∴∠MAO＝∠M＝60°．
∴OA＝OM．
∴△OAM为等边三角形．
∴OM＝OA＝AM＝7.5．
∵AM∥CO，
∴△BCO∽△BAM．
∴．
∴．
∴OC＝3．
综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．
8．证明：〔1〕∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE是直径，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
又∵EF∥BC，
∴EF⊥AE，
∴EF是⊙O的切线；
〔2〕连接OC，设⊙O的半径为r，

∵AE⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝1，
∴HG＝HC+CG＝4，
∴AG＝＝＝5，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴〔3﹣r〕2+1＝r2，
解得：r＝，
∴AE＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴＝，
∴EF＝，
∵AH＝3，BH＝1，
∴AB＝＝＝，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDG＝180°，
∴∠B＝∠CDG，
又∵∠DGC＝∠AGB，
∴△DCG∽△BAG，
∴，
∴＝，
∴CD＝．
9．〔1〕如图1，
①证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠GAH＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，
∵∠FGC＝90°，
∴∠AGH+∠DGC＝90°，
∴∠DCG＝∠AGH，
∴△CDG∽△GAH．
②由翻折得∠EGF＝∠EAF，
∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，
∵CD＝AB＝2，AD＝4，
∴＝tan∠DAC＝＝，
∴DG＝CD＝×2＝1，
∴GA＝4﹣1＝3，
∵△CDG∽△GAH，
∴，
∴tan∠GHC＝＝．
〔2〕不全等，理由如下：
∵AD＝4，CD＝2，
∴AC＝＝，
∵∠GCF＝90°，
∴＝tan∠DAC＝，
∴CG＝AC＝×2＝，
∴AG＝＝5，
∴EA＝AG＝，
∴EF＝EA•tan∠DAC＝＝，
∴AF＝＝，
∴CF＝2＝，
∵∠GCF＝∠AEF＝90°，而CG≠EA，CF≠EF，
∴△GCF与△AEF不全等．


10．解：〔1〕如图1，设DE与CF交于点G，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC〔AAS〕，
∴DE＝CF，
∴＝1；
〔2〕如图2，设DB与CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴，
故答案为：．
〔3〕证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H，

∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABCH为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴，
∴，
∴DE•AB＝CF•AD；
〔4〕①如图4，过点C作CG⊥AD于点G，连接AC交BD于点H，CG与DE相交于点O，

∵CF⊥DE，GC⊥AD，
∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°，
∴∠FCG＝∠ADE，∠BAD＝∠CGF＝90°，
∴△DEA∽△CFG，
∴，
在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，AD＝9，
∴AB＝3，
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝，
∴，
设AH＝a，那么DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+〔3a〕2＝92，
∴a＝〔负值舍去〕，
∴AH＝，DH＝，
∴AC＝2AH＝，
∵S△ADC＝AD•CG，
∴×9CG，
∴CG＝，
∴；
②∵AC＝，CG＝，∠AGC＝90°，
∴AG＝＝＝，
由①得△DEA∽△CFE，
∴，
又∵，AE＝1，
∴FG＝，
∴AF＝AG﹣FG＝＝，
∴BF＝＝＝．
11．〔1〕证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
〔2〕解：由〔1〕知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
〔3〕证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
12．〔1〕证明：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，EF＝EB，∠BEF＝90°，
∴∠CBA＝∠EBF＝45°，AB＝BC，BF＝BE，
∴∠CBE＝∠ABF，＝＝，
∴△ABF∽△CBE．

〔2〕解：如图2中，延长PM交AF于T．

∵BE⊥CF，
∴∠CEB＝90°，
∵△ABF∽△CBE，
∴∠CEB＝∠AFB＝90°，＝＝，
∴AF＝EC，
∵∠EFB＝45°，
∴∠AFC＝45°，
∵AP＝PC，AM＝ME，
∴PT∥CF，PM＝EC，
∵AM＝ME，EN＝NF，
∴MN∥AF，MN＝AF，
∴四边形MNFT是平行四边形，MN＝PM，
∴∠TMN＝∠AFC＝45°，
∴∠PMN＝135°，
∴＝．

〔3〕解：∵MN＝PM，∠PMN＝135°，PM＝EC，
∴当EC的值最大时，PM的值最大，此时△PMN的面积最大，
∵当点E与B重合时，EC的值最大，EC的最大值为，
此时PM＝，MN＝PM＝1，
∴△PMN的面积的最大值为××1×＝．
13．〔1〕证明：连接OC交BD于点G，
∵点C是的中点，
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°,
∴∠EDB＝90°,
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°,
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC,
∴CE是⊙O的切线；
〔2〕解：连接BC，设FG＝x,OB＝r，
∵＝，
设DF＝t,DC＝t,
由〔1〕得，BC＝CD＝t,BG＝GD＝x+t,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠BCG+∠FCG＝90°,
∵∠DGC＝90°,
∴∠CFB+∠FCG＝90°,
∴∠BCG＝∠CFB,
∴Rt△BCG∽Rt△BFC,
∴BC2＝BG•BF,
∴〔t〕2＝〔x+t〕〔x+2t〕
解得x1＝t,x2＝﹣t〔不符合题意，舍去〕，
∴CG＝＝＝t,
∴OG＝r﹣t,
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2,
∴〔r﹣t〕2+〔2r〕2＝r2,
解得r＝t,
∴cos∠ABD＝＝＝．

14．解：〔1〕如图〔2〕，∵∠ACD+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD，
∵BC＝AC，EC＝DC，
∴△ACD≌△BCE〔SAS〕，
∴BE＝AD＝AF，∠EBC＝∠CAD，
故△CDE为等腰直角三角形，
故DE＝EF＝CF，
那么BF＝BD＝BE+ED＝AF+CF；
即BF﹣AF＝CF；

〔2〕如图〔1〕，由〔1〕知，△ACD≌△BCE〔SAS〕，

∴∠CAF＝∠CBE，BE＝AF，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，
∵∠FCE+∠ECG＝90°，∠ECG+∠GCB＝90°，
∴∠ACF＝∠GCB，
∵∠CAF＝∠CBE，BC＝AC，
∴△BCG≌△ACF〔AAS〕，
∴GC＝FC，BG＝AF，
故△GCF为等腰直角三角形，那么GF＝CF，
那么BF＝BG+GF＝AF+CF，
即BF﹣AF＝CF；

〔3〕由〔2〕知，∠BCE＝∠ACD，
而BC＝kAC，EC＝kDC，
即，
∴△BCE∽△CAD，
∴∠CAD＝∠CBE，
过点C作CG⊥CF交BF于点G，

由〔2〕知，∠BCG＝∠ACF，
∴△BGC∽△AFC，
∴＝，
那么BG＝kAF，GC＝kFC，
在Rt△CGF中，GF＝＝＝•FC，
那么BF＝BG+GF＝kAF+•FC，
即BF﹣kAF＝•FC．
15．证明：〔1〕∵AT∥BC，
∴∠ATD＝∠BCD，
∵点D是AN的中点，
∴AD＝DN，
在△ATD和△NCD中，
，
∴△ATD≌△NCD〔AAS〕，
∴CN＝AT，TD＝DC，
∵AT＝BN，
∴BN＝CN；
〔2〕①∵AT＝BN，AT∥BN，
∴四边形ATBN是平行四边形，
∵AB＝AC，BN＝CN，
∴AN⊥BC，
∴平行四边形ATBN是矩形，
∴∠TAN＝90°，
∵点M，点N关于AC对称，
∴CN＝MC，∠ACN＝∠ACM，
∴AT＝CM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠OAC+∠ACN＝90°，
∴∠OCA+∠ACM＝90°＝∠OCM，
∴∠OCM＝∠TAN，
又∵AT＝CM，OA＝OC，
∴△TAO≌△MCO〔SAS〕，
∴OT＝OM，∠TOA＝∠COM，
∴∠TOM＝∠AOC，，
∴△TOM∽△AOC；
②如图2，将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM，TE，

∴EM＝CM＝AT，
∴∠MEC＝∠MCE，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠ACM＝90°，
∴∠TAN+∠NAC+∠ACM＝180°，
∴∠TAC+∠ACM＝180°，
又∵∠AEM+∠CEM＝180°，
∴∠TAC＝∠AEM，
∴AT∥EM，
∴四边形ATEM是平行四边形，
∴TP＝PM，
又∵TD＝DC，
∴PD∥CM，PD＝CM．
16．证明：〔1〕∵∠BCE＝∠ACD．
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵∠A＝∠D，
∴△ABC∽△DEC；
〔2〕∵△ABC∽△DEC；
∴＝〔〕2＝，
又∵BC＝6，
∴CE＝9．
17．〔1〕①证明：如图1，

∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB．
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，
∴△DAC∽△OBC；
②解：如图2，假设BE⊥CD，

在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，
∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．
过点D作DH⊥BC于点H，
设AD＝CD＝2m，那么BH＝AD＝2m，
在Rt△DCH中，DC＝2m，
∴CH＝m，
∴BC＝BH+CH＝3m，
∴；
〔2〕①如图3，当点E在AD上时，

∵AD∥BC，
∴∠EAO＝∠BCO，∠AEO＝∠CBO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COB〔AAS〕，
∴OB＝OE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形．
设AD＝CD＝x，
∵DE＝2，
∴AE＝x﹣2，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
在Rt△ACE和Rt△DCE中，CE2＝AC2﹣AE2，CE2＝CD2﹣DE2，
∴62﹣〔x﹣2〕2＝x2﹣22，
解得x＝1+，或x＝1﹣〔舍去〕．
∴CD＝1+．
②如图4，当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，那么CE＝x﹣2，

设OB＝OC＝m，
∵OE＝3，
∴EB＝m+3，
∵△DAC∽△OBC，
∴，
∴，
∴．
又∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，
∴△EOC∽△ECB，
∴，
∴，
∴，
∴m＝，
将m＝代入，
整理得，x2﹣6x﹣10＝0，
解得x＝3+，或x＝3﹣〔舍去〕．
∴CD＝3+．
综合以上可得CD的长为1+或3+．
18．解：〔1〕∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∵GH∥AB，
∴∠B＝∠GHC＝90°，∠A＝∠PGD＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠PGD＝∠HPF＝90°，
∴四边形PFCH为矩形，
同理可得，四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，
∵AG＝a，AE＝b，AG：GD＝AE：EB＝1：2，
∴PE＝a，PG＝b，GD＝PF＝2a，EB＝PH＝2b，
∴四边形EBHP的面积＝PE•PH＝2ab，四边形GPFD的面积＝PG•PF＝2ab，
故答案为：＝；
〔2〕∵PP1＝PG，PP2＝PE，
由〔1〕知PE•PH＝2ab，PG•PF＝2ab，
∴PP2•PH＝PP1•PF，
即＝，
又∵∠FPP2＝∠HPP1，
∴△PP2F∽△PP1H，
∴∠PFP2＝∠PHP1，
∵∠P1QF＝∠P2QH，
∴△P1FQ∽△P2HQ；
〔3〕连接P1P2、FH，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
∵∠P1PP2＝∠C＝90°，
∴△PP1P2∽△CFH，
∴＝＝，＝〔〕2＝，
由〔2〕中△P1FQ∽△P2HQ，得＝，
∴＝，
∵∠P1QP2＝∠FQH，
∴△P1QP2∽△FQH，
∴＝〔〕2＝，
∵S1＝+，S2＝S△CFH+S△FQH，
∴S1＝S△CFH+S△FQH＝S2，
∴＝．

19．证明：〔1〕∵MN⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD＝∠DMA＝90°，
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，
∴∠ADM+∠CDM＝90°，
∵∠DBG+∠BDG＝90°，∠CDM＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠ADM，
∴△BGD∽△DMA；
〔2〕连接OD．
∴BO＝OA，BD＝DC，
∵OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵MN⊥AC，
∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线．

20．解：〔1〕∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴DE⊥AB，
∴∠BDE＝180°﹣60°﹣90°＝30°；
故答案为：30°；
〔2〕①补全图形如下：

②CD＝BE，证明如下：
∵AB＝AC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，
∴AD＝AE，∠EAD＝60°，
∴∠BAC＝∠EAD＝60°，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC〔SAS〕，
∴CD＝BE；
〔3〕AC＝k〔BD+BE〕，证明如下：
连接AE，如图：

∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠ADE＝∠C，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠DAE＝∠BAC，＝，
∴∠DAE﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴AE＝AD，
在△EAB和△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC〔SAS〕，
∴CD＝BE，
∴BC＝BD+CD＝BD+BE，
而＝＝k，
∴＝k，即AC＝k〔BD+BE〕．