第1章 1.2.2　空间中的平面与空间向量-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义

这是一份第1章 1.2.2　空间中的平面与空间向量-【新教材】人教B版（2019）高中数学选择性必修第一册讲义，共3页。
如图，在直棱柱ABC­A1B1C1中，
(1)与哪些棱平行的向量与平面ABC平行，这些向量是否两两互相平行？
(2)与哪些棱平行的向量与平面ABC垂直，这些向量是否两两相互平行？
空间中的直线根据它的方向向量和一个点，可以描述直线的位置，对于空间中的平面能否利用向量来描述其位置？
1．平面的法向量
(1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．
思考1：平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？
[提示] 无数个 平行
思考2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？
[提示] 垂直
(2)平面的法向量的性质
①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．
②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行．
③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量eq \(AB,\s\up7(→))一定与向量n垂直，即n·eq \(AB,\s\up7(→))＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．
(3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α．
(4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合．
2．三垂线定理及其逆定理
(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．
(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．
提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．( )
(2)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直．( )
(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)× 不一定．当a＝0时，也满足a∥l，尽管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量．
(2)× 不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l．
(3)√
2．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交
B [∵a＝(1,0,2)，u＝－2(1,0,2)＝－2a，∴u与a平行，∴l⊥α．]
3．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系为( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．不能确定
C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．]
4．设平面α的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于________．
4 [因为α∥β，∴两平面的法向量平行，∴eq \f(1,－2)＝eq \f(2,－4)＝eq \f(－2,k)，∴k＝4．]
【例1】 如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝eq \r(3)，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．
[解] ∵在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，
PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝eq \r(3)，
∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，C(1，eq \r(3)，0)，
D(0，eq \r(3)，0)，P(0,0,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，
eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq \(AC,\s\up7(→))＝(1，eq \r(3)，0)，
设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up7(→))＝\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0，,n·\(AC,\s\up7(→))＝x＋\r(3)y＝0，))取y＝－eq \r(3)，得n＝(3，－eq \r(3)，3)．
∴平面ACE的一个法向量为n＝(3，－eq \r(3)，3)．
利用待定系数法求法向量的解题步骤
eq \([跟进训练])
1．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求平面PAB的一个法向量．
[解] 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝eq \r(3)AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D­xyz，
则A(1,0,0)，B(0，eq \r(3)，0)，P(0,0,1)．
∴eq \(AB,\s\up7(→))＝(－1，eq \r(3)，0)，eq \(PB,\s\up7(→))＝(0，eq \r(3)，－1)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n⊥\(AB,\s\up7(→))，,n⊥\(PB,\s\up7(→))，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\(PB,\s\up7(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋\r(3)y＝0，,\r(3)y－z＝0，))因此可取n＝(eq \r(3)，1，eq \r(3))．
∴平面PAB的一个法向量为(eq \r(3)，1，eq \r(3))．
[探究问题]
1．平面的法向量有何特点？
[提示] 设向量n是平面α的一个法向量．则
(1)n是一个非零向量．
(2)向量n与平面α垂直．
(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反．
(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面．
2．用向量法证明空间线面垂直关系的关键是什么？
[提示] 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则
【例2】 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．证明：
(1)C1M∥平面ADE；
(2)平面ADE⊥平面A1D1F．
[思路探究] 建立空间坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．
[证明] (1)以D为原点，向量eq \(DA,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(DD1,\s\up7(→))的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1．
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，C1(0,1,1)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，eq \(DA,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，eq \(C1M,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，－\f(1,2)))．
设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m·\(DA,\s\up7(→))＝0，,m·\(DE,\s\up7(→))＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝0，,a＋b＋\f(1,2)c＝0.))
令c＝2，得m＝(0，－1,2)，
∵m·eq \(C1M,\s\up7(→))＝(0，－1,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－1，－\f(1,2)))＝0＋1－1＝0，
∴eq \(C1M,\s\up7(→))⊥m．
又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面ADE．
(2)由D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，
得eq \(D1A1,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq \(D1F,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，－1))，
设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(D1A1,\s\up7(→))＝0，,n·\(D1F,\s\up7(→))＝0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,\f(1,2)y－z＝0.))
令y＝2，则n＝(0,2,1)．
∵m·n＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0－2＋2＝0，
∴m⊥n．∴平面ADE⊥平面A1D1F．
1．(变结论)本例条件不变，试求直线D1E的一个方向向量和平面EFM的一个法向量．
[解] 如本例建系定坐标，D1(0,0,1)，
Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，0，\f(1,2)))，
所以eq \(D1E,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，－\f(1,2)))，即直线D1E的一个方向向量．
设平面EFM的法向量为n＝(x，y，z)，
因为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，所以eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq \(EM,\s\up7(→))＝(0，－1,0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(EF,\s\up7(→))＝0，,n·\(EM,\s\up7(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x－\f(1,2)y－\f(1,2)z＝0，,－y＝0.))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z＝－2x，,y＝0，))令x＝1，则z＝－2．
所以平面EFM的一个法向量为(1,0，－2)．
2．(变条件，变结论)在本例中设D1B1的中点为N，其他条件不变．试证：EN⊥平面B1AC．
[证明] 如本例解析，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1，\f(1,2)))，
Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，A(1，0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)．
∴eq \(EN,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，eq \(AB1,\s\up7(→))＝(0,1,1)，
eq \(AC,\s\up7(→))＝(－1,1,0)，
∴eq \(EN,\s\up7(→))·eq \(AB1,\s\up7(→))＝0，eq \(EN,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(EN,\s\up7(→))⊥eq \(AB1,\s\up7(→))，eq \(EN,\s\up7(→))⊥eq \(AC,\s\up7(→))，即EN⊥AB1，EN⊥AC．
又AB1∩AC＝A，∴EN⊥平面B1AC．
利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算．
提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示．
【例3】 如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C．
[证明] 连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又DD1⊥平面ABCD，
∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影，
∴BD1⊥AC而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影，
∴BD1⊥AB1，又AB1∩AC＝A，∴BD1⊥平面AB1C．
利用三垂线定理证明垂直的步骤
(1)找平面(基准面)及平面的垂线．
(2)找射影线(平面上的直线与斜线)．
(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直．
eq \([跟进训练])
2．在四面体PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB．
[证明] 过P作PH⊥平面ABC，连AH延长交BC于E，
连BH并延长交AC于F，PH⊥平面ABC，PA⊥BC，
而PA在面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH，
同理可证BF⊥AC．则H为△ABC的垂心，连CH并延长交AB于G，
于是CG⊥AB，而CH是PC在面ABC的射影，故PC⊥AB．
1．三垂线定理以及逆定理是证明线线垂直、线面垂直的有力工具，应用时要分清定理和逆定理的关系
线射垂直线斜垂直
2．利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果．
1．若直线l的方向向量a＝(1,2，－1)，平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，若l⊥α，则实数k＝( )
A．2 B．－10 C．－2 D．10
A [∵直线l的方向向量a＝(1,2，－1)，
平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，l⊥α，
∴a∥m，∴eq \f(1,－2)＝eq \f(2,－4)＝eq \f(－1,k)，解得k＝2．]
2．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
D [∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，∴k＝－5．]
3．若两个向量eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,2,3)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(3,2,1)，则平面ABC的一个法向量为( )
A．(－1,2，－1) B．(1,2,1)
C．(1,2，－1) D．(－1,2,1)
A [两个向量eq \(AB,\s\up7(→))＝(1,2,3)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(3,2,1)，
设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up7(→))＝x＋2y＋3z＝0，,n·\(AC,\s\up7(→))＝3x＋2y＋z＝0.))
取x＝－1，得平面ABC的一个法向量为(－1,2，－1)．]
4．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________．
－9 [由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0．∴z＝－9．]
5．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝eq \r(6)，M是CC1中点，求证：AB1⊥A1M．
[证明] 连接AC1，∵eq \f(AC,MC1)＝eq \f(\r(3),\f(\r(6),2))＝eq \r(2)，eq \f(CC1,C1A1)＝eq \f(\r(6),\r(3))＝eq \r(2)，
∠ACC1＝∠A1C1M，
∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，
∠AC1C＝∠MA1C1，
∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，∴A1M⊥AC1．
由三垂线定理知，AB1⊥A1M．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．(重点)
2．会用平面的法向量证明平行与垂直．(重点)
3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理证明有关垂直问题．(难点)
1．通过本节知识的学习，培养数学抽象素养．
2．借助向量法证明有关平行与垂直问题，提升逻辑推理、数学运算素养．
求平面的法向量
利用法向量证明空间中的位置关系
位置关系
向量关系
向量运算关系
坐标关系
l⊥m
a⊥b
a·b＝0
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
l⊥α
a∥u
a＝λu，λ∈R
a1＝λu1，a2＝λu2，a3＝λu3
α⊥β
u⊥v
u·v＝0
u1v1＋u2v2＋u3v3＝0
三垂线定理及逆定理的应用