高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布课后测评

4.2.3　二项分布与超几何分布

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(2019湖南高二月考)一工厂生产的100个产品中有90个一等品,10个二等品,现从这批产品中抽取4个,则其中恰好有一个二等品的概率为(　　)

A.1- B.

C. D.

解析由超几何分布概率公式可知,所求概率为.

故选D.

答案D

2.(2020湖北高三月考)某学校成立了A,B,C三个课外学习小组,每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4位学生中,恰有2人申请A学习小组的概率是              (　　)

A. B. C. D.

解析设每位学生申请课外学习小组为一次试验,这是4次独立重复试验,记“申请A学习小组”为事件A,则P(A)=,由独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式可知,恰有2人申请A学习小组的概率是22=,故选D.

答案D

3.(多选)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9,他连续射击4次,且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则下列四个选项中,正确的是(　　)

A.他第3次击中目标的概率是0.9

B.他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1

C.他至少击中目标1次的概率是1-0.14

D.他恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.93×0.1

解析∵射击一次击中目标的概率是0.9,∴第3次击中目标的概率是0.9,∴A正确;

∵连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,∴本题是一个独立重复试验,

根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是×0.93×0.1,∴B不正确;

∵至少击中目标1次的概率是1-0.14,∴C正确;

∵恰好有连续2次击中目标的概率为3×0.92×0.12,∴D不正确.故选AC.

答案AC

4.(2020山东济宁高二月考)在10个排球中有6个正品,4个次品.从中抽取4个,则正品数比次品数少的概率为              (　　)

A. B. C. D.

解析正品数比次品数少,有两种情况:0个正品4个次品,1个正品3个次品,由超几何分布的概率可知,当0个正品4个次品时P1=.

当1个正品3个次品时P2=.

所以正品数比次品数少的概率为P1+P2=.

故选A.

答案A

5.将一枚硬币连掷三次,出现“2个正面,1个反面”的概率是　　　　　;出现“1个正面,2个反面”的概率是　　　　　. 

解析设正面向上为事件A,则P(A)=,

“2个正面,1个反面”的概率为P(A)2(1-P(A))=3×2×1-=,

“1个正面,2个反面”的概率为P(A)(1-P(A))2=3××1-2=.

答案

能力提升练

1.有20个零件,其中16个一等品,4个二等品,若从零件中任取3个,那么至少有1个是一等品的概率是(　　)

A. B.

C. D.1-

解析全部都是二等品的概率为,故至少有1个是一等品的概率为1-,故选D.

答案D

2.(2020辽宁高一期末)某射击运动员射击一次命中目标的概率为p,已知他独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率为,则p为(　　)

A. B. C. D.

解析因为射击一次命中目标的概率为p,所以射击一次未命中目标的概率为1-p.

因为每次射击结果相互独立,所以三次都未命中的概率为(1-p)3.

因为连续射击三次,至少有一次命中的对立事件为三次都未射中,所以连续射击三次,至少有一次命中的概率为1-(1-p)3=,解得p=.

故选A.

答案A

3.(多选)若随机变量ξ~B5,,则P(ξ=k)最大时,k的值可以为(　　)

A.1 B.2 C.4 D.5

解析依题意P(ξ=k)=×k×5-k,k=0,1,2,3,4,5.

可以求得P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=,P(ξ=4)=,P(ξ=5)=.故当k=2或1时,P(ξ=k)最大.故选AB.

答案AB

4.(2019内蒙古高三月考)连续投掷2枚大小相同,质地均匀的骰子3次,则恰有2次点数之和不小于10的概率为 (　　)

A. B. C. D.

解析连续投掷2枚大小相同,质地均匀的骰子1次,基本事件总数n=6×6=36,出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有:(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共有6个,所以每次投掷,两骰子点数之和不小于10的概率为,又投掷3次,相当于3次独立重复试验,故恰有两次点数之和不小于10的概率为2×.故选B.

答案B

5.(2019天津静海大邱庄中学高三月考)已知某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次,至少击中3次的概率为(　　)

A.0.85 B.0.819 2 C.0.8 D.0.75

解析因为某射击运动员,每次击中目标的概率都是0.8,则该射击运动员射击4次看作4次独立重复试验,则至少击中3次的概率(0.8)3(1-0.8)+0.84=0.819 2.

答案B

6.数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能求解其中的4道题,则他能及格的概率是　　　　　. 

解析由超几何分布的概率公式可得,他能及格的概率是P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=.

答案

7.(2019江苏泰州中学高二期中)如图,在小地图中,一机器人从点A(0,0)出发,每秒向上或向右移动1格到达相应点,已知每次向上移动1格的概率是,向右移动1格的概率是,则该机器人6秒后到达点B(4,2)的概率为　　　　　. 

解析由题意,可得6秒内向右移动4次,向上移动2次,则所求概率为42=.

答案

8.(2019天津南开中学高三月考)甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏,每队3人.随机播放一首歌曲,参赛者开始抢答,每人只有一次抢答机会,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,且各人回答正确与否相互之间没有影响.

(1)若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范,求抽到的两名选手在同一个队的概率;

(2)用ξ表示甲队的总得分,求随机变量ξ的分布列和数学期望;

(3)求两队得分之和大于4的概率.

解(1)6个选手中抽取两名选手共有=15种结果,抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队,共有2=6种结果.

用A表示事件:“从两队的6个选手中抽取两名选手,抽到的两名选手在同一个队.”

P(A)=.

故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范,抽到的两名选手在同一个队的概率为.

(2)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,且ξ~B3,,

P(ξ=0)=3=,

P(ξ=1)=2=,

P(ξ=2)=2=,

P(ξ=3)=3=.

所以ξ的分布列为

(3)用B表示事件:“两队得分之和大于4”,包括:两队得分之和为5,两队得分之和为6,用A1表示事件:“两队得分之和为5”,包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分.

P(A1)=3×+×=.

用A2表示事件:“两队得分之和为6”,甲队3分乙队3分,P(A2)=3×.

P(B)=P(A1)+P(A2)=.

素养培优练

1.(2019广东高二期末)某同学通过英语听力测试的概率为,他连续测试n次,要保证他至少有一次通过的概率大于0.9,那么n的最小值是(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

解析由题意可得,1-1-n>0.9,

即n<0.1,所以n≥4,故选B.

答案B

2.(2020浙江高三专题练习)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.

(1)求乙以4比1获胜的概率;

(2)求甲获胜且比赛局数多于5局的概率.

解(1)由已知,甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是,记“乙以4比1获胜”为事件A,则A表示前4局乙赢了3局甲赢了一局,且第五局乙赢,所以P(A)=3×.

(2)记“甲获胜且比赛局数多于5局”为事件B,则B表示甲以4比2获胜,或甲以4比3获胜.

因为甲以4比2获胜,表示前5局比赛中甲赢了3局且第六局比赛中甲赢了,这时,无需进行第7局比赛,故甲以4比2获胜的概率为3×2×.

甲以4比3获胜,表示前6局比赛中甲赢了3局且第七局比赛中甲赢了,故甲以4比3获胜的概率为3×3×,所以P(B)=.