人教a版数学【选修1-1】作业：2.3.2抛物线的简单几何性质（含答案）

2.3.2　抛物线的简单几何性质

课时目标　1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．

1．抛物线的简单几何性质

设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)

(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是__________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．

(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．

(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．

(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．

(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为______．

2．直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程

____________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴______________，此时直线与抛物线有______个公共点．

3．抛物线的焦点弦

设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．

(1)以AB为直径的圆与准线相切．

(2)|AB|＝2(x0＋)(焦点弦长与中点坐标的关系)．

(3)|AB|＝x1＋x2＋p.

(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝，y1y2＝－p2.

一、选择题

1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是(　　)

A．x2＝－y或y2＝x

B．y2＝－x或x2＝y

C．y2＝－x

D．x2＝y

2．若抛物线y2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是(　　)

A．成等差数列

B．既成等差数列又成等比数列

C．成等比数列

D．既不成等比数列也不成等差数列

3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(　　)

A.          B．3           C.          D.

4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)

A．y2＝±4x                B．y2＝±8x

C．y2＝4x                 D．y2＝8x

5．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为(　　)

A．1            B．2         C．3             D．4

6．过抛物线y2＝ax (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于(　　)

A．2a          B．         C．4a         D．

二、填空题

7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．

8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．

9．过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则＝________.

三、解答题

10．设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．

11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．

能力提升

12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于(　　)

A．4      B．8         C．8             D．16

13．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．

(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；

(2)求线段AB的长的最小值．

1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．

2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．

2．3.2　抛物线的简单几何性质

答案

知识梳理

1．(1)x≥0　右　增大　(2)x轴　抛物线的轴

(3)顶点　坐标原点　(4)离心率　1　(5)p　

2．k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0　两　一　没有

平行或重合　一

作业设计

1．B　[由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．]

2．A　[设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，

则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，

因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，

即|P1F|－＋|P3F|－＝2，

所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.]

3．A　[

如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 ＝.]

4．B　[y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x＝0得y＝－.

∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]

5．C　[∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．]

6．D　[可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，

|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.]

7．y2＝4x

解析　设抛物线方程为y2＝ax.将y＝x代入y2＝ax，得x＝0或x＝a，∴＝2.∴a＝4.

∴抛物线方程为y2＝4x.

8．2

解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y＝4x1，y＝4x2.

∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．

∵x1≠x2，∴＝＝1.

∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.

将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．

∴|AB|＝4.又F(1,0)到y＝x的距离为，

∴S△ABF＝××4＝2.

9.

解析　抛物线x2＝2py (p>0)的焦点为F，则直线AB的方程为y＝x＋，

由消去x，得12y2－20py＋3p2＝0，解得y1＝，y2＝.

由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知＝＝＝.

10．解　由y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，

其准线方程为y＝－.

由题意知－＝－2或－＝4，

解得m＝或m＝－.

则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.

11．解　方法一　设以Q为中点的弦AB端点坐标为

A(x1，y1)、B(x2，y2)，

则有y＝8x1，                                         ①

y＝8x2，                                              ②

∵Q(4,1)是AB的中点，

∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.                                 ③

①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．                    ④

将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，

即4＝，∴k＝4.

∴所求弦AB所在的直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.

方法二　设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1.

由消去x，

得ky2－8y－32k＋8＝0，

此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，

得y1＋y2＝，又y1＋y2＝2，∴k＝4.

∴所求弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0.

12. B

　[如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2，4)．

设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，

∴|PF|＝x0＋2＝8，选B.]

13．解　由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，

B(x2，y2)．

分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.

(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，

从而x1＝4－1＝3.

代入y2＝4x，解得y1＝±2.

∴点A的坐标为

(3,2)或(3，－2)．

(2)当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为y＝k(x－1)．

与抛物线方程联立，

消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

因为直线与抛物线相交于A、B两点，

则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.

由抛物线的定义可知，

|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，

所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.