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广东省东莞市2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版 含答案）
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这是一份广东省东莞市2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（word版 含答案），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年广东省东莞市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．9的算术平方根是（ ）
A．81 B．±3 C．﹣3 D．3
2．下列图中是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题错误的是（ ）
A．是无理数 B．+2是无理数
C．是分数 D．是无理数
4．如图，若AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．40° C．35° D．20°
5．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批节能灯的使用寿命
B．了解深圳初中生每天家庭作业所需时间
C．考察人们保护环境的意识
D．调查七年级一个班级学生的每天运动时间
6．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣2021
7．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
8．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
10．在数轴上，点A对应的数是﹣6，点B对应的数是﹣2，点O对应的数是0．动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（ ）
A．PB B．OP C．OQ D．QB
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．若点A（a﹣1，a+2）在x轴上，则A点的坐标是 ．
12．把方程2x﹣y＝7变形，用含x的式子来表示y，则y＝ ．
13．为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．（注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校平均每天睡眠时间低于8时的学生有 人．
14．已知直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOC＝25°12′，则∠BOE的度数为 °．（单位用度表示）
15．对于有理数a，b定义新运算：“△”，a△b＝b，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号）
①5△7＝9△7；②若a△b＝b△a，则a＝b；③该运算满足交换律；④该运算满足结合律．
16．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第98个图形中花盆的个数为 ．
三、解答题（本题共9小题，17、18、19每小题6分，20、21、22每小题6分，23、24、25题10分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+（+1）﹣﹣|1﹣|
18．（6分）解方程组：
（1）．
（2）．
19．（6分）解不等式：并把它的解集表示在数轴上．
20．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1．
（1）画出平移后的△A1B1C1；并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）三角形ABC的面积为 平方单位．（直接写出结果）
21．（8分）某市语委办为了解本市八年级学生汉字书写能力情况，随机抽查了部分八年级学生，并将调查数据进行整理，请解答以下问题：
正确书写出的字数x（个）
频数（人）
频率
0≤x≤5
8
0.16
5＜x≤10
10＜x≤15
16
0.32
15＜x≤20
8
0.16
20＜x≤25
4
0.08
25＜x≤30
2
0.04
（1）把频数、频率分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）根据统计图，可知“正确书写的字数”的中位数应处的范围是 ；
（3）若正确书写的字数不超过15个为不及格，请求出不及格人数占所抽查人数的百分比；并根据调查数据估计，该市20000名八年级学生中，有多少名学生不及格？对此，请你用一句话谈谈你的建议或感想．
22．（8分）李老师为学校购买口罩，第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，KN95型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，KN95型口罩100个．若两次购买的同类口罩单价相同，求这两种口罩的单价．
23．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，DG∥BC吗？为什么？
24．（10分）建设新农村，绿色好家园．为了减少冬季居民取暖带来的环境污染，国家特推出煤改电工程．某学校准备安装一批柜式空调（A型）和挂壁式空调（B型）．经市场调查发现，3台A型空调和2台B型空调共需21000元；1台A型空调和4台B型空调共需17000元．
（1）求A型空调和B型空调的单价．
（2）为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐．甲商场：A型空调和B型空调均打八折出售；乙商场：A型空调打九折出售，B型空调打七折出售．已知某学校需要购买A型空调和B型空调共16台，则该学校选择在哪家商场购买更划算？
25．（10分）如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16厘米，AC＝12厘米，BC＝20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA＝AP
（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的；
（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．9的算术平方根是（ ）
A．81 B．±3 C．﹣3 D．3
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3．
故选：D．
2．下列图中是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据两条直线相交，所成的角中，相对的一组是对顶角，可判断对顶角．
【解答】解：A、∠1和∠2没有公共的顶点，不是对顶角，故选项错误；
B、∠1和∠2是对顶角，故选项正确；
C、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误；
D、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误．
故选：B．
3．下列命题错误的是（ ）
A．是无理数 B．+2是无理数
C．是分数 D．是无理数
【分析】根据实数的分类和无理数的定义进行判断．
【解答】解：为无理数，+2为无理数，为无理数，它不是分数．
故选：C．
4．如图，若AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．40° C．35° D．20°
【分析】先根据平行线的性质求出∠ACD的度数，再由AC＝CD得出∠CAD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠ACD＝∠1＝70°．
∵AD＝CD，
∴∠CAD＝∠ACD＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
5．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批节能灯的使用寿命
B．了解深圳初中生每天家庭作业所需时间
C．考察人们保护环境的意识
D．调查七年级一个班级学生的每天运动时间
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、了解一批节能灯的使用寿命，有破坏性，适宜采用样调查方式，故本选项不合题意；
B、了解深圳初中生每天家庭作业所需时间，样本容量较大，适宜采用样调查方式，故本选项不合题意；
C、考察人们保护环境的意识，样本容量较大，适宜采用样调查方式，故本选项不合题意；
D、调查七年级一个班级学生的每天运动时间，适宜采用普查方式，故本选项符合题意．
故选：D．
6．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣2021
【分析】正数大于负数，C选项是正数，不是最小，排除C；负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：＝﹣，
∵正数大于负数，
∴C选项不是最小，排除C选项；
∵2021＞，
∴﹣2021＜﹣＜﹣，
∴最小的数是﹣2021，
故选：D．
7．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】估算确定出范围即可．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴4＜＜5，
则的值在4和5之间，
故选：C．
8．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据关键语句“甲、乙两数之和是42，”可得方程：x+y＝42，“甲数的3倍等于乙数的4倍”可得方程3x＝4y，联立两个方程即可．
【解答】解：设甲数为x，乙数为y，由题意得：
，
故选：B．
9．已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
【分析】各式利用不等式的性质化简，判断即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣y＞0，ax＞ay（a＞0），x+2＞y+2，2﹣x＜2﹣y．
故选：D．
10．在数轴上，点A对应的数是﹣6，点B对应的数是﹣2，点O对应的数是0．动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（ ）
A．PB B．OP C．OQ D．QB
【分析】设出运动的时间，表示出点P、点Q在数轴上所表示的数，进而求出线段PQ，OQ、PB、OP、QB，在做出选择即可．
【解答】解：设运动的时间为t秒，则运动后点P所表示的数为﹣6+3t，点Q表示的数为﹣2+t，
PQ＝|﹣6+3t﹣（﹣2+t）|＝2|t﹣2|；
OQ＝|﹣2+t﹣0|＝|t﹣2|，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．若点A（a﹣1，a+2）在x轴上，则A点的坐标是 （﹣3，0） ．
【分析】根据x轴上点的坐标特点可得a的值，从而可得答案．
【解答】解：∵点A（a﹣1，a+2）在x轴上，
∴a+2＝0，
解得：a＝﹣2，
∴A（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
12．把方程2x﹣y＝7变形，用含x的式子来表示y，则y＝ 2x﹣7 ．
【分析】把x看做已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x﹣y＝7，
解得：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7
13．为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．（注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校平均每天睡眠时间低于8时的学生有 600 人．
【分析】根据D组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生，根据条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，用该校的总人数乘以平均每天睡眠时间低于8小时的人数所占的百分比即可．
【解答】解：本次共调查的学生数是：17÷34%＝50（人），
B组的人数是：50﹣5﹣13﹣17＝15（人），
1500×＝600（人），
故答案为：600．
14．已知直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOC＝25°12′，则∠BOE的度数为 64.8 °．（单位用度表示）
【分析】由对顶角相等可以得到∠BOD的度数，EO⊥CD可得∠EOD＝90°．用∠EOD﹣∠BOD，结论可得．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°．
∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝25°12′，
∴∠BOD＝25°12′．
∴∠BOE＝∠EOD﹣∠BOD＝90°﹣25°12′＝64°48′＝64.8°．
故答案为64.8．
15．对于有理数a，b定义新运算：“△”，a△b＝b，则关于该运算，下列说法正确的是 ①②④ ．（请填写正确说法的序号）
①5△7＝9△7；②若a△b＝b△a，则a＝b；③该运算满足交换律；④该运算满足结合律．
【分析】根据对于有理数a，b定义新运算：“△”，a△b＝b，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【解答】解：①∵5△7＝7，9△7＝7，
∴5△7＝9△7，故①正确；
②∵a△b＝b△a，
∴b＝a，即a＝b，故②正确；
③当a≠b时，则a△b≠b△a，故③错误，
④∵（a△b）△c＝b△c＝c，a△（b△c）＝a△c＝c，
∴（a△b）△c＝a△（b△c），故④正确．
故答案为：①②④．
16．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第98个图形中花盆的个数为 9900 ．
【分析】设第n个图形中有an（n为正整数）个花盆，根据各图形中花盆数量的变化可找出变化规律“an＝（n+1）（n+2）（n为正整数）”，再代入n＝98即可得出结论．
【解答】解：设第n个图形中有an（n为正整数）个花盆．
观察图形，可知：a1＝6＝2×3，a2＝12＝3×4，a3＝20＝4×5，…，
∴an＝（n+1）（n+2）（n为正整数），
∴a98＝（98+1）×（98+2）＝9900．
故答案为：9900．
三、解答题（本题共9小题，17、18、19每小题6分，20、21、22每小题6分，23、24、25题10分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+（+1）﹣﹣|1﹣|
【分析】分别根据立方根的性质，二次根式的性质以及绝对值的性质化简计算即可．
【解答】解：原式＝3+2+﹣4﹣+1＝2．
18．（6分）解方程组：
（1）．
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：6x+2x＝8，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②×5得：26y＝156，
解得：y＝6，
把y＝6代入②得：﹣x+30＝24，
解得：x＝6，
则方程组的解为．
19．（6分）解不等式：并把它的解集表示在数轴上．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣1）≤12﹣2（x+2），
去括号，得：6x﹣3x+3≤12﹣2x﹣4，
移项，得：6x﹣3x+2x≤12﹣4﹣3，
合并同类项，得：5x≤5，
系数化为1，得：x≤1，
将解集表示在数轴上如下：
．
20．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1．
（1）画出平移后的△A1B1C1；并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）三角形ABC的面积为 1.5 平方单位．（直接写出结果）
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（2，1）；
（2）三角形ABC的面积＝2×2﹣×2×1﹣×1×1﹣×2×1＝1.5．
故答案为1.5．
21．（8分）某市语委办为了解本市八年级学生汉字书写能力情况，随机抽查了部分八年级学生，并将调查数据进行整理，请解答以下问题：
正确书写出的字数x（个）
频数（人）
频率
0≤x≤5
8
0.16
5＜x≤10
12
0.24
10＜x≤15
16
0.32
15＜x≤20
8
0.16
20＜x≤25
4
0.08
25＜x≤30
2
0.04
（1）把频数、频率分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）根据统计图，可知“正确书写的字数”的中位数应处的范围是 10＜x≤15 ；
（3）若正确书写的字数不超过15个为不及格，请求出不及格人数占所抽查人数的百分比；并根据调查数据估计，该市20000名八年级学生中，有多少名学生不及格？对此，请你用一句话谈谈你的建议或感想．
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系，即第一组的频数为8人，占调查认识的16%，可求出样本容量，进而求出“5＜x≤6”的频数和频率，进而补全频数分布表、频数分布直方图；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）求出样本中“正确书写的字数不超过15个”所占的百分比，即可估计总体的百分比，进而求出字数不超过15个的人数．
【解答】解：（1）8÷0.16＝50（人），
50﹣8﹣16﹣8﹣4﹣2＝12（人），
12÷50＝0.24，
补全频数分布表、频数分布直方图如下：
（2）将“正确书写的字数”从小到大排列处在中间位置的两个数都在10＜x≤15组内，
故答案为：10＜x≤15；
（3）20000×（0.16+0.24+0.32）＝20000×0.72＝14400（人），
“不及格”所占的比例较高，需要加强正确手写的训练．
答：不及格人数占所抽查人数的百分比为72%，该市20000名八年级学生中，有14400名学生不及格，
22．（8分）李老师为学校购买口罩，第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，KN95型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，KN95型口罩100个．若两次购买的同类口罩单价相同，求这两种口罩的单价．
【分析】设医用外科口罩的单价为x元/个，KN95型口罩的单价为y元/个，根据“第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，KN95型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，KN95型口罩100个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设医用外科口罩的单价为x元/个，KN95型口罩的单价为y元/个，
依题意，得：，
解得：．
答：医用外科口罩的单价为3元/个，KN95型口罩的单价为7元/个．
23．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，DG∥BC吗？为什么？
【分析】（1）根据垂直定义得出∠CDF＝∠EFB＝90°，根据平行线判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠2＝∠BCD，推出∠1＝∠BCD，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：（1）CD∥EF，
理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF．
（2）DG∥BC，
理由是：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC．
24．（10分）建设新农村，绿色好家园．为了减少冬季居民取暖带来的环境污染，国家特推出煤改电工程．某学校准备安装一批柜式空调（A型）和挂壁式空调（B型）．经市场调查发现，3台A型空调和2台B型空调共需21000元；1台A型空调和4台B型空调共需17000元．
（1）求A型空调和B型空调的单价．
（2）为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐．甲商场：A型空调和B型空调均打八折出售；乙商场：A型空调打九折出售，B型空调打七折出售．已知某学校需要购买A型空调和B型空调共16台，则该学校选择在哪家商场购买更划算？
【分析】（1）设A型空调的单价为x元，B型空调的单价为y元，根据“3台A型空调和2台B型空调共需21000元；1台A型空调和4台B型空调共需17000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A型空调m（0≤m≤16，且m为整数）台，则购买B型空调（16﹣m）台，设在甲商场购买共需w甲元，在乙商场购买共需w乙元，利用总价＝单价×数量，可用含m的代数式表示出w甲，w乙，分w甲＞w乙，w甲＝w乙和w甲＜w乙三种情况，求出m的取值范围（或m的值），此题得解．
【解答】解：（1）设A型空调的单价为x元，B型空调的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A型空调的单价为5000元，B型空调的单价为3000元．
（2）设购买A型空调m（0≤m≤16，且m为整数）台，则购买B型空调（16﹣m）台，设在甲商场购买共需w甲元，在乙商场购买共需w乙元，
根据题意得：w甲＝5000×0.8m+3000×0.8（16﹣m）＝1600m+38400；w乙＝5000×0.9m+3000×0.7（16﹣m）＝2400m+33600．
当w甲＞w乙时，16000m+38400＞2400m+33600，
解得：m＜6；
当w甲＝w乙时，16000m+38400＝2400m+33600，
解得：m＝6；
当w甲＜w乙时，16000m+38400＜2400m+33600，
解得：m＞6．
答：当0≤m＜6时，选择乙商场购买更划算；当m＝6时，选择甲、乙两商场所需费用一样；当6＜m≤16时，选择甲商场购买更划算．
25．（10分）如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16厘米，AC＝12厘米，BC＝20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA＝AP
（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的；
（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的
【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．
【解答】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，
∵AQ＝AP，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4．
∴t＝4s时，AQ＝AP．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，
∴•AB•AQ＝וAB•AC，
∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9．
∴t＝9s时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的．
（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，
①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝（16﹣2t），解得t＝16（不合题意舍弃）．
②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝（2t﹣16），解得t＝．
③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，
∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，
∵AQ＝BP，
∴t﹣12＝（2t﹣16），解得t＝16，
综上所述，t＝s或16s时，AQ＝BP．
2020-2021学年广东省东莞市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．9的算术平方根是（ ）
A．81 B．±3 C．﹣3 D．3
2．下列图中是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列命题错误的是（ ）
A．是无理数 B．+2是无理数
C．是分数 D．是无理数
4．如图，若AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．40° C．35° D．20°
5．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批节能灯的使用寿命
B．了解深圳初中生每天家庭作业所需时间
C．考察人们保护环境的意识
D．调查七年级一个班级学生的每天运动时间
6．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣2021
7．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
8．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
9．已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
10．在数轴上，点A对应的数是﹣6，点B对应的数是﹣2，点O对应的数是0．动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（ ）
A．PB B．OP C．OQ D．QB
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．若点A（a﹣1，a+2）在x轴上，则A点的坐标是 ．
12．把方程2x﹣y＝7变形，用含x的式子来表示y，则y＝ ．
13．为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．（注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校平均每天睡眠时间低于8时的学生有 人．
14．已知直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOC＝25°12′，则∠BOE的度数为 °．（单位用度表示）
15．对于有理数a，b定义新运算：“△”，a△b＝b，则关于该运算，下列说法正确的是 ．（请填写正确说法的序号）
①5△7＝9△7；②若a△b＝b△a，则a＝b；③该运算满足交换律；④该运算满足结合律．
16．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第98个图形中花盆的个数为 ．
三、解答题（本题共9小题，17、18、19每小题6分，20、21、22每小题6分，23、24、25题10分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+（+1）﹣﹣|1﹣|
18．（6分）解方程组：
（1）．
（2）．
19．（6分）解不等式：并把它的解集表示在数轴上．
20．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1．
（1）画出平移后的△A1B1C1；并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）三角形ABC的面积为 平方单位．（直接写出结果）
21．（8分）某市语委办为了解本市八年级学生汉字书写能力情况，随机抽查了部分八年级学生，并将调查数据进行整理，请解答以下问题：
正确书写出的字数x（个）
频数（人）
频率
0≤x≤5
8
0.16
5＜x≤10
10＜x≤15
16
0.32
15＜x≤20
8
0.16
20＜x≤25
4
0.08
25＜x≤30
2
0.04
（1）把频数、频率分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）根据统计图，可知“正确书写的字数”的中位数应处的范围是 ；
（3）若正确书写的字数不超过15个为不及格，请求出不及格人数占所抽查人数的百分比；并根据调查数据估计，该市20000名八年级学生中，有多少名学生不及格？对此，请你用一句话谈谈你的建议或感想．
22．（8分）李老师为学校购买口罩，第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，KN95型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，KN95型口罩100个．若两次购买的同类口罩单价相同，求这两种口罩的单价．
23．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，DG∥BC吗？为什么？
24．（10分）建设新农村，绿色好家园．为了减少冬季居民取暖带来的环境污染，国家特推出煤改电工程．某学校准备安装一批柜式空调（A型）和挂壁式空调（B型）．经市场调查发现，3台A型空调和2台B型空调共需21000元；1台A型空调和4台B型空调共需17000元．
（1）求A型空调和B型空调的单价．
（2）为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐．甲商场：A型空调和B型空调均打八折出售；乙商场：A型空调打九折出售，B型空调打七折出售．已知某学校需要购买A型空调和B型空调共16台，则该学校选择在哪家商场购买更划算？
25．（10分）如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16厘米，AC＝12厘米，BC＝20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA＝AP
（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的；
（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．9的算术平方根是（ ）
A．81 B．±3 C．﹣3 D．3
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3．
故选：D．
2．下列图中是对顶角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据两条直线相交，所成的角中，相对的一组是对顶角，可判断对顶角．
【解答】解：A、∠1和∠2没有公共的顶点，不是对顶角，故选项错误；
B、∠1和∠2是对顶角，故选项正确；
C、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误；
D、不是两条直线相交所成的角，不是对顶角，故选项错误．
故选：B．
3．下列命题错误的是（ ）
A．是无理数 B．+2是无理数
C．是分数 D．是无理数
【分析】根据实数的分类和无理数的定义进行判断．
【解答】解：为无理数，+2为无理数，为无理数，它不是分数．
故选：C．
4．如图，若AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是（ ）
A．70° B．40° C．35° D．20°
【分析】先根据平行线的性质求出∠ACD的度数，再由AC＝CD得出∠CAD的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝70°，
∴∠ACD＝∠1＝70°．
∵AD＝CD，
∴∠CAD＝∠ACD＝70°，
∴∠2＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故选：B．
5．下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A．了解一批节能灯的使用寿命
B．了解深圳初中生每天家庭作业所需时间
C．考察人们保护环境的意识
D．调查七年级一个班级学生的每天运动时间
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A、了解一批节能灯的使用寿命，有破坏性，适宜采用样调查方式，故本选项不合题意；
B、了解深圳初中生每天家庭作业所需时间，样本容量较大，适宜采用样调查方式，故本选项不合题意；
C、考察人们保护环境的意识，样本容量较大，适宜采用样调查方式，故本选项不合题意；
D、调查七年级一个班级学生的每天运动时间，适宜采用普查方式，故本选项符合题意．
故选：D．
6．下列各数中，最小的数是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣2021
【分析】正数大于负数，C选项是正数，不是最小，排除C；负数比较大小，绝对值大的反而小．
【解答】解：＝﹣，
∵正数大于负数，
∴C选项不是最小，排除C选项；
∵2021＞，
∴﹣2021＜﹣＜﹣，
∴最小的数是﹣2021，
故选：D．
7．估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】估算确定出范围即可．
【解答】解：∵16＜21＜25，
∴4＜＜5，
则的值在4和5之间，
故选：C．
8．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．若设甲数为x，乙数为y，由题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据关键语句“甲、乙两数之和是42，”可得方程：x+y＝42，“甲数的3倍等于乙数的4倍”可得方程3x＝4y，联立两个方程即可．
【解答】解：设甲数为x，乙数为y，由题意得：
，
故选：B．
9．已知x＞y，那么下列正确的是（ ）
A．x+y＞0 B．ax＞ay C．x﹣2＞y+2 D．2﹣x＜2﹣y
【分析】各式利用不等式的性质化简，判断即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣y＞0，ax＞ay（a＞0），x+2＞y+2，2﹣x＜2﹣y．
故选：D．
10．在数轴上，点A对应的数是﹣6，点B对应的数是﹣2，点O对应的数是0．动点P、Q分别从A、B同时出发，以每秒3个单位，每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，线段PQ的长度始终是另一线段长的整数倍，这条线段是（ ）
A．PB B．OP C．OQ D．QB
【分析】设出运动的时间，表示出点P、点Q在数轴上所表示的数，进而求出线段PQ，OQ、PB、OP、QB，在做出选择即可．
【解答】解：设运动的时间为t秒，则运动后点P所表示的数为﹣6+3t，点Q表示的数为﹣2+t，
PQ＝|﹣6+3t﹣（﹣2+t）|＝2|t﹣2|；
OQ＝|﹣2+t﹣0|＝|t﹣2|，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）
11．若点A（a﹣1，a+2）在x轴上，则A点的坐标是 （﹣3，0） ．
【分析】根据x轴上点的坐标特点可得a的值，从而可得答案．
【解答】解：∵点A（a﹣1，a+2）在x轴上，
∴a+2＝0，
解得：a＝﹣2，
∴A（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
12．把方程2x﹣y＝7变形，用含x的式子来表示y，则y＝ 2x﹣7 ．
【分析】把x看做已知数求出y即可．
【解答】解：方程2x﹣y＝7，
解得：y＝2x﹣7，
故答案为：2x﹣7
13．为了解某校学生的睡眠情况，该校数学小组随机调查了部分学生一周的平均每天睡眠时间，设每名学生的平均每天睡眠时间为x时，共分为四组：A．6≤x＜7，B．7≤x＜8，C．8≤x＜9，D．9≤x≤10，将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．（注：学生的平均每天睡眠时间不低于6时且不高于10时．）若该校有1500名学生，根据抽样调查结果，请估计该校平均每天睡眠时间低于8时的学生有 600 人．
【分析】根据D组的人数和所占的百分比，可以计算出本次共调查了多少名学生，根据条形统计图中的数据，可以计算出B组的人数，用该校的总人数乘以平均每天睡眠时间低于8小时的人数所占的百分比即可．
【解答】解：本次共调查的学生数是：17÷34%＝50（人），
B组的人数是：50﹣5﹣13﹣17＝15（人），
1500×＝600（人），
故答案为：600．
14．已知直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠AOC＝25°12′，则∠BOE的度数为 64.8 °．（单位用度表示）
【分析】由对顶角相等可以得到∠BOD的度数，EO⊥CD可得∠EOD＝90°．用∠EOD﹣∠BOD，结论可得．
【解答】解：∵EO⊥CD，
∴∠EOD＝90°．
∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝25°12′，
∴∠BOD＝25°12′．
∴∠BOE＝∠EOD﹣∠BOD＝90°﹣25°12′＝64°48′＝64.8°．
故答案为64.8．
15．对于有理数a，b定义新运算：“△”，a△b＝b，则关于该运算，下列说法正确的是 ①②④ ．（请填写正确说法的序号）
①5△7＝9△7；②若a△b＝b△a，则a＝b；③该运算满足交换律；④该运算满足结合律．
【分析】根据对于有理数a，b定义新运算：“△”，a△b＝b，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【解答】解：①∵5△7＝7，9△7＝7，
∴5△7＝9△7，故①正确；
②∵a△b＝b△a，
∴b＝a，即a＝b，故②正确；
③当a≠b时，则a△b≠b△a，故③错误，
④∵（a△b）△c＝b△c＝c，a△（b△c）＝a△c＝c，
∴（a△b）△c＝a△（b△c），故④正确．
故答案为：①②④．
16．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第98个图形中花盆的个数为 9900 ．
【分析】设第n个图形中有an（n为正整数）个花盆，根据各图形中花盆数量的变化可找出变化规律“an＝（n+1）（n+2）（n为正整数）”，再代入n＝98即可得出结论．
【解答】解：设第n个图形中有an（n为正整数）个花盆．
观察图形，可知：a1＝6＝2×3，a2＝12＝3×4，a3＝20＝4×5，…，
∴an＝（n+1）（n+2）（n为正整数），
∴a98＝（98+1）×（98+2）＝9900．
故答案为：9900．
三、解答题（本题共9小题，17、18、19每小题6分，20、21、22每小题6分，23、24、25题10分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：+（+1）﹣﹣|1﹣|
【分析】分别根据立方根的性质，二次根式的性质以及绝对值的性质化简计算即可．
【解答】解：原式＝3+2+﹣4﹣+1＝2．
18．（6分）解方程组：
（1）．
（2）．
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：6x+2x＝8，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①+②×5得：26y＝156，
解得：y＝6，
把y＝6代入②得：﹣x+30＝24，
解得：x＝6，
则方程组的解为．
19．（6分）解不等式：并把它的解集表示在数轴上．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣1）≤12﹣2（x+2），
去括号，得：6x﹣3x+3≤12﹣2x﹣4，
移项，得：6x﹣3x+2x≤12﹣4﹣3，
合并同类项，得：5x≤5，
系数化为1，得：x≤1，
将解集表示在数轴上如下：
．
20．（8分）三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O为坐标原点，A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A1B1C1．
（1）画出平移后的△A1B1C1；并写出点A的对应点A1的坐标；
（2）三角形ABC的面积为 1.5 平方单位．（直接写出结果）
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（2，1）；
（2）三角形ABC的面积＝2×2﹣×2×1﹣×1×1﹣×2×1＝1.5．
故答案为1.5．
21．（8分）某市语委办为了解本市八年级学生汉字书写能力情况，随机抽查了部分八年级学生，并将调查数据进行整理，请解答以下问题：
正确书写出的字数x（个）
频数（人）
频率
0≤x≤5
8
0.16
5＜x≤10
12
0.24
10＜x≤15
16
0.32
15＜x≤20
8
0.16
20＜x≤25
4
0.08
25＜x≤30
2
0.04
（1）把频数、频率分布表和频数分布直方图补充完整；
（2）根据统计图，可知“正确书写的字数”的中位数应处的范围是 10＜x≤15 ；
（3）若正确书写的字数不超过15个为不及格，请求出不及格人数占所抽查人数的百分比；并根据调查数据估计，该市20000名八年级学生中，有多少名学生不及格？对此，请你用一句话谈谈你的建议或感想．
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系，即第一组的频数为8人，占调查认识的16%，可求出样本容量，进而求出“5＜x≤6”的频数和频率，进而补全频数分布表、频数分布直方图；
（2）根据中位数的意义求解即可；
（3）求出样本中“正确书写的字数不超过15个”所占的百分比，即可估计总体的百分比，进而求出字数不超过15个的人数．
【解答】解：（1）8÷0.16＝50（人），
50﹣8﹣16﹣8﹣4﹣2＝12（人），
12÷50＝0.24，
补全频数分布表、频数分布直方图如下：
（2）将“正确书写的字数”从小到大排列处在中间位置的两个数都在10＜x≤15组内，
故答案为：10＜x≤15；
（3）20000×（0.16+0.24+0.32）＝20000×0.72＝14400（人），
“不及格”所占的比例较高，需要加强正确手写的训练．
答：不及格人数占所抽查人数的百分比为72%，该市20000名八年级学生中，有14400名学生不及格，
22．（8分）李老师为学校购买口罩，第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，KN95型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，KN95型口罩100个．若两次购买的同类口罩单价相同，求这两种口罩的单价．
【分析】设医用外科口罩的单价为x元/个，KN95型口罩的单价为y元/个，根据“第一次用3350元购买医用外科口罩1000个，KN95型口罩50个；第二次用5200元购买医用外科口罩1500个，KN95型口罩100个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设医用外科口罩的单价为x元/个，KN95型口罩的单价为y元/个，
依题意，得：，
解得：．
答：医用外科口罩的单价为3元/个，KN95型口罩的单价为7元/个．
23．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
（1）CD与EF平行吗？为什么？
（2）如果∠1＝∠2，DG∥BC吗？为什么？
【分析】（1）根据垂直定义得出∠CDF＝∠EFB＝90°，根据平行线判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得出∠2＝∠BCD，推出∠1＝∠BCD，根据平行线的判定推出即可．
【解答】解：（1）CD∥EF，
理由是：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF．
（2）DG∥BC，
理由是：∵CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC．
24．（10分）建设新农村，绿色好家园．为了减少冬季居民取暖带来的环境污染，国家特推出煤改电工程．某学校准备安装一批柜式空调（A型）和挂壁式空调（B型）．经市场调查发现，3台A型空调和2台B型空调共需21000元；1台A型空调和4台B型空调共需17000元．
（1）求A型空调和B型空调的单价．
（2）为响应国家号召，有两家商场分别推出了优惠套餐．甲商场：A型空调和B型空调均打八折出售；乙商场：A型空调打九折出售，B型空调打七折出售．已知某学校需要购买A型空调和B型空调共16台，则该学校选择在哪家商场购买更划算？
【分析】（1）设A型空调的单价为x元，B型空调的单价为y元，根据“3台A型空调和2台B型空调共需21000元；1台A型空调和4台B型空调共需17000元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A型空调m（0≤m≤16，且m为整数）台，则购买B型空调（16﹣m）台，设在甲商场购买共需w甲元，在乙商场购买共需w乙元，利用总价＝单价×数量，可用含m的代数式表示出w甲，w乙，分w甲＞w乙，w甲＝w乙和w甲＜w乙三种情况，求出m的取值范围（或m的值），此题得解．
【解答】解：（1）设A型空调的单价为x元，B型空调的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A型空调的单价为5000元，B型空调的单价为3000元．
（2）设购买A型空调m（0≤m≤16，且m为整数）台，则购买B型空调（16﹣m）台，设在甲商场购买共需w甲元，在乙商场购买共需w乙元，
根据题意得：w甲＝5000×0.8m+3000×0.8（16﹣m）＝1600m+38400；w乙＝5000×0.9m+3000×0.7（16﹣m）＝2400m+33600．
当w甲＞w乙时，16000m+38400＞2400m+33600，
解得：m＜6；
当w甲＝w乙时，16000m+38400＝2400m+33600，
解得：m＝6；
当w甲＜w乙时，16000m+38400＜2400m+33600，
解得：m＞6．
答：当0≤m＜6时，选择乙商场购买更划算；当m＝6时，选择甲、乙两商场所需费用一样；当6＜m≤16时，选择甲商场购买更划算．
25．（10分）如图1，P点从点A开始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移动，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，若AB＝16厘米，AC＝12厘米，BC＝20厘米，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间，那么：
（1）如图1，若P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，试求出t为何值时，QA＝AP
（2）如图2，点Q在CA上运动，试求出t为何值时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的；
（3）如图3，当P点到达C点时，P、Q两点都停止运动，试求当t为何值时，线段AQ的长度等于线段BP的长的
【分析】（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，由AQ＝AP，可得方程12﹣t＝2t，解方程即可．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，根据三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，列出方程即可解决问题．
（3）分三种情形讨论即可①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动．②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动．③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，分别列出方程求解即可．
【解答】解：（1）当P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动时，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，
∵AQ＝AP，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4．
∴t＝4s时，AQ＝AP．
（2）当Q在线段CA上时，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，
∵三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的，
∴•AB•AQ＝וAB•AC，
∴×16×（12﹣t）＝×16×12，解得t＝9．
∴t＝9s时，三角形QAB的面积等于三角形ABC面积的．
（3）由题意可知，Q在线段CA上运动的时间为12秒，P在线段AB上运动时间为8秒，
①当0＜t≤8时，P在线段AB上运动，Q在线段CA上运动，设CQ＝t，AP＝2t，则AQ＝12﹣t，BP＝16﹣2t，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝（16﹣2t），解得t＝16（不合题意舍弃）．
②当8＜t≤12时，Q在线段CA上运动，P在线段BC上运动，设CQ＝t，则AQ＝12﹣t，BP＝2t﹣16，
∵AQ＝BP，
∴12﹣t＝（2t﹣16），解得t＝．
③当t＞12时，Q在线段AB上运动，P在线段BC上运动时，
∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，
∵AQ＝BP，
∴t﹣12＝（2t﹣16），解得t＝16，
综上所述，t＝s或16s时，AQ＝BP．
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